Эргодическая последовательность

Целочисленная последовательность в математике

В математике эргодическая последовательность — это определенный тип целочисленной последовательности , обладающий определенными свойствами равнораспределения.

Определение

Пусть будет бесконечной, строго возрастающей последовательностью положительных целых чисел. Тогда, если задано целое число q , эта последовательность называется эргодической по модулю q, если для всех целых чисел выполняется ${\displaystyle A=\{a_{j}\}}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq q}$

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {N(A,t,k,q)}{N(A,t)}}={\frac {1}{q}}}$

где

${\displaystyle N(A,t)={\mbox{card}}\{a_{j}\in A:a_{j}\leq t\}}$

и card — это количество (количество элементов) множества, то есть это количество элементов в последовательности A , которые меньше или равны t , и ${\displaystyle N(A,t)}$

${\displaystyle N(A,t,k,q)={\mbox{card}}\{a_{j}\in A:a_{j}\leq t,\,a_{j}\mod q=k\}}$

таково число элементов в последовательности A , меньших t , которые эквивалентны k по модулю q . То есть последовательность является эргодической, если она становится равномерно распределенной по модулю q, когда последовательность стремится к бесконечности. ${\displaystyle N(A,t,k,q)}$

Эквивалентное определение состоит в том, что сумма

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{N(A,t)}}\sum _{j;a_{j}\leq t}\exp {\frac {2\pi ika_{j}}{q}}=0}$

обращаются в нуль для каждого целого числа k с . ${\displaystyle k\mod q\neq 0}$

Если последовательность эргодична для всех q , то иногда говорят, что она эргодична для периодических систем .

Примеры

Последовательность положительных целых чисел эргодична для всех q .

Почти все последовательности Бернулли , то есть последовательности, связанные с процессом Бернулли , являются эргодическими для всех q . То есть, пусть будет вероятностным пространством случайных величин над двумя буквами . Тогда, учитывая , что случайная величина равна 1 с некоторой вероятностью p и равна нулю с некоторой вероятностью 1- p ; это определение процесса Бернулли. С каждым связана последовательность целых чисел ${\displaystyle (\Omega ,Pr)}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle X_{j}(\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\omega }=\{n\in \mathbb {Z} :X_{n}(\omega )=1\}}$

Тогда почти каждая последовательность эргодична. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\omega }}$

Смотрите также

• Эргодическая теория
• Эргодический процесс , для использования термина в обработке сигналов