Основной ассортимент

В математике , в частности в теории меры , существенный диапазон или множество существенных значений функции интуитивно является «непренебрежимо малым» диапазоном функции: он не меняется между двумя функциями, которые равны почти всюду . Один из способов представления существенного диапазона функции — это множество , на котором «сосредоточен» диапазон функции.

Формальное определение

Пусть будет мерным пространством , и пусть будет топологическим пространством . Для любой измеримой функции мы говорим, что существенный диапазон означает множество ${\displaystyle (X,{\cal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle (Y,{\cal {T}})}$ ${\displaystyle ({\cal {A}},\sigma ({\cal {T}}))}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\left\{y\in Y\mid 0<\mu (f^{-1}(U)){\text{ for all }}U\in {\cal {T}}{\text{ with }}y\in U\right\}.}$^{[1] : Пример 0.A.5  [2] [3]}

Эквивалентно, , где — мера продвижения вперед на под и обозначает поддержку ^[ 4 ] ${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\operatorname {supp} (f_{*}\mu )}$ ${\displaystyle f_{*}\mu }$ ${\displaystyle \sigma ({\cal {T}})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f_{*}\mu )}$ ${\displaystyle f_{*}\mu .}$

Основные ценности

Фраза « существенное значение » иногда используется для обозначения элемента существенного диапазона ^{[5] : Упражнение 4.1.6  [6] : Пример 7.1.11} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f.}$

Особые случаи, представляющие общий интерес

И=С

Скажем , снабжен своей обычной топологией. Тогда существенный диапазон f задается как ${\displaystyle (Y,{\cal {T}})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\left\{z\in \mathbb {C} \mid {\text{for all}}\ \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}:0<\mu \{x\in X:|f(x)-z|<\varepsilon \}\right\}.}$^{[7] : Определение 4.36  [8] [9] : см. Упражнение 6.11}

Другими словами: существенный диапазон комплекснозначной функции — это множество всех комплексных чисел z, таких, что прообраз каждой ε-окрестности z при f имеет положительную меру.

(И,Т) является дискретным

Скажем , является дискретным , т.е. является множеством мощности , т.е. дискретной топологии на Тогда существенный диапазон f является множеством значений y в Y со строго положительной -мерой: ${\displaystyle (Y,{\cal {T}})}$ ${\displaystyle {\cal {T}}={\cal {P}}(Y)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f_{*}\mu }$

${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\{y\in Y:0<\mu (f^{\text{pre}}\{y\})\}=\{y\in Y:0<(f_{*}\mu )\{y\}\}.}$^{[10] : Пример 1.1.29  [11] [12]}

Характеристики

• Существенная область измеримой функции, являясь носителем меры , всегда замкнута.
• Существенный диапазон ess.im(f) измеримой функции всегда является подмножеством . ${\displaystyle {\overline {\operatorname {im} (f)}}}$
• Существенный образ не может быть использован для различения функций, которые почти всюду равны: Если выполняется - почти всюду , то . ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\operatorname {ess.im} (g)}$
• Эти два факта характеризуют существенный образ: это наибольшее множество, содержащееся в замыканиях для всех g, которые равны f: ${\displaystyle \operatorname {im} (g)}$

${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\bigcap _{f=g\,{\text{a.e.}}}{\overline {\operatorname {im} (g)}}}$.

• Необходимый диапазон удовлетворяет . ${\displaystyle \forall A\subseteq X:f(A)\cap \operatorname {ess.im} (f)=\emptyset \implies \mu (A)=0}$
• Этот факт характеризует существенное изображение: это наименьшее замкнутое подмножество с этим свойством. ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Существенный супремум действительной функции равен супремуму ее существенного образа, а существенный инфимум равен инфимуму ее существенной области значений. Следовательно, функция существенно ограничена тогда и только тогда, когда ограничена ее существенная область значений.
• Существенная область значений существенно ограниченной функции f равна спектру , где f рассматривается как элемент C *-алгебры . ${\displaystyle \sigma (f)}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$

Примеры

• Если — нулевая мера, то существенный образ всех измеримых функций пуст. ${\displaystyle \mu }$
• Это также иллюстрирует тот факт, что даже если существенный диапазон функции является подмножеством замыкания диапазона этой функции, равенство двух множеств не обязательно.
• Если открыто, непрерывно и мера Лебега , то выполняется. Это выполняется в более общем случае для всех мер Бореля , которые назначают ненулевую меру каждому непустому открытому множеству. ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)={\overline {\operatorname {im} (f)}}}$

Расширение

Понятие существенного диапазона можно распространить на случай , где — сепарабельное метрическое пространство . Если и — дифференцируемые многообразия одинаковой размерности, если VMO и если , то . ^[13] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\in }$ ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)\neq Y}$ ${\displaystyle \deg f=0}$

Смотрите также

• Эссенциальный супремум и эссенциальный инфимум
• мера
• L ^p пространство

Ссылки

1. Циммер, Роберт Дж. (1990). Основные результаты функционального анализа . Издательство Чикагского университета. стр. 2. ISBN 0-226-98337-4.
2. Куксин, Сергей ; Ширикян, Армен (2012). Математика двумерной турбулентности . Cambridge University Press. стр. 292. ISBN 978-1-107-02282-9.
3. Кон, Марк А. (1985). Распределения вероятностей в квантовой статистической механике . Springer. стр. 74, 84. ISBN 3-540-15690-9.
4. Драйвер, Брюс (7 мая 2012 г.). Инструменты анализа с примерами (PDF) . стр. 327.См. упражнение 30.5.1.
5. Сигал, Ирвинг Э .; Кунце, Рэй А. (1978). Интегралы и операторы (2-е исправленное и дополненное изд.). Springer. стр. 106. ISBN 0-387-08323-5.
6. Богачев, Владимир И.; Смолянов, Олег Г. (2020). Действительный и функциональный анализ . Московские лекции. Springer. С. 283. ISBN 978-3-030-38219-3. ISSN  2522-0314.
7. Уивер, Ник (2013). Теория меры и функциональный анализ . World Scientific. стр. 142. ISBN 978-981-4508-56-8.
8. Бхатия, Раджендра (2009). Заметки о функциональном анализе . Hindustan Book Agency. стр. 149. ISBN 978-81-85931-89-0.
9. Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение . Wiley. стр. 187. ISBN 0-471-31716-0.
10. Cf. Tao, Terence (2012). Topics in Random Matrix Theory . American Mathematical Society. стр. 29. ISBN 978-0-8218-7430-1.
11. См. Фридман, Дэвид (1971). Цепи Маркова . Холден-Дэй. стр. 1.
12. См. Chung, Kai Lai (1967). Цепи Маркова со стационарными вероятностями перехода . Springer. стр. 135.
13. Брезис, Хаим; Ниренберг, Луис (сентябрь 1995 г.). «Теория степеней и BMO. Часть I: Компактные многообразия без границ». Selecta Mathematica . 1 (2): 197–263. doi :10.1007/BF01671566.

• Уолтер Рудин (1974). Действительный и комплексный анализ (2-е изд.). McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-054234-1.