Автоморфизмы симметрических и знакопеременных групп

В теории групп , разделе математики , автоморфизмы и внешние автоморфизмы симметрических групп и знакопеременных групп являются как стандартными примерами этих автоморфизмов, так и объектами изучения сами по себе, в частности, исключительный внешний автоморфизм S6 _, симметрической группы из 6 элементов.

Краткое содержание

Общий случай

• ${\displaystyle n\neq 2,6}$: , и таким образом . ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})=\mathrm {S} _{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Out} (\mathrm {S} _{n})=\mathrm {C} _{1}}$

Формально является полным и естественное отображение является изоморфизмом. ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}\to \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})}$

• ${\displaystyle n\neq 1,2,6}$: , а внешний автоморфизм — сопряжение нечетной перестановкой . ${\displaystyle \operatorname {Out} (\mathrm {A} _{n})=\mathrm {S} _{n}/\mathrm {A} _{n}=\mathrm {C} _{2}}$
• ${\displaystyle n\neq 2,3,6}$: ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{n})=\operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})=\mathrm {S} _{n}}$

Действительно, естественные отображения являются изоморфизмами. ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}\to \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})\to \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{n})}$

Исключительные случаи

• ${\displaystyle n=1,2}$: тривиально:

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{1})=\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{1})=\operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{1})=\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{1})=\mathrm {C} _{1}}$

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{2})=\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{2})=\operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{2})=\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{2})=\mathrm {C} _{1}}$

• ${\displaystyle n=3}$: ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{3})=\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{3})=\mathrm {S} _{3}/\mathrm {A} _{3}=\mathrm {C} _{2}}$
• ${\displaystyle n=6}$: , и является полупрямым произведением . ${\displaystyle \operatorname {Out} (\mathrm {S} _{6})=\mathrm {C} _{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{6})=\mathrm {S} _{6}\rtimes \mathrm {C} _{2}}$
• ${\displaystyle n=6}$: , и ${\displaystyle \operatorname {Out} (\mathrm {A} _{6})=\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{6})=\operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{6})=\mathrm {S} _{6}\rtimes \mathrm {C} _{2}.}$

Исключительный внешний автоморфизм S6

Среди симметрических групп только S ₆ имеет нетривиальный внешний автоморфизм, который можно назвать исключительным (по аналогии с исключительными алгебрами Ли ) или экзотическим . Фактически, Out(S ₆ ) = C ₂ . ^[2]

Это было обнаружено Отто Гёльдером в 1895 году. ^{[2] [3]}

Специфика внешнего автоморфизма заключается в следующем. 360 перестановок в четной подгруппе (A ₆ ) преобразуются между собой:

• единственная перестановка идентичности отображается сама на себя;
• 3-цикл, такой как (1 2 3), отображается в произведение двух 3-циклов, таких как (1 4 5)(2 6 3), и наоборот, что составляет 40 перестановок в каждую сторону;
• 5-цикл, такой как (1 2 3 4 5), отображается в другой 5-цикл, такой как (1 3 6 5 2), что составляет 144 перестановки;
• произведение двух 2-циклов, например (1 2)(3 4), отображается в другое произведение двух 2-циклов, например (3 5)(4 6), что составляет 45 перестановок;
• произведение 2-цикла и 4-цикла, например (1 2 3 4)(5 6), отображается в другую такую ​​же перестановку, например (1 4 2 6)(3 5), что составляет 90 оставшихся перестановок.

И нечетная часть также сохраняется:

• 2-цикл, такой как (1 2), отображается в произведение трех 2-циклов, таких как (1 2)(3 4)(5 6), и наоборот, причем в каждом направлении имеется 15 перестановок;
• произведение 2-цикла и 3-цикла, например (1 2 3)(4 5), преобразуется в 6-цикл, например (1 2 5 3 4 6), и наоборот, что составляет 120 перестановок в каждую сторону;
• 4-цикл, такой как (1 2 3 4), отображается в другой 4-цикл, такой как (1 6 2 4), что составляет 90 оставшихся перестановок.

Таким образом, учтены все 720 перестановок на 6 элементах. Внешний автоморфизм не сохраняет структуру цикла в целом, отображая некоторые одиночные циклы в произведение двух или трех циклов и наоборот.

Это также дает другой внешний автоморфизм A ₆ , и это единственный исключительный внешний автоморфизм конечной простой группы: ^[4] для бесконечных семейств простых групп существуют формулы для числа внешних автоморфизмов, и простая группа порядка 360, рассматриваемая как A ₆ , должна иметь два внешних автоморфизма, а не четыре. Однако, когда A ₆ рассматривается как PSL(2, 9), группа внешних автоморфизмов имеет ожидаемый порядок. (Для спорадических групп , т. е. тех, которые не попадают в бесконечное семейство, понятие исключительного внешнего автоморфизма плохо определено, поскольку нет общей формулы.)

Строительство

Существует множество конструкций, перечисленных в (Януш и Ротман, 1982).

Обратите внимание, что как внешний автоморфизм он представляет собой класс автоморфизмов, хорошо определенный только с точностью до внутреннего автоморфизма, поэтому не существует естественного автоморфизма, который можно было бы записать.

Один из методов:

• Построить экзотическое отображение (вложение) S ₅  → S ₆ ; см. ниже
• S ₆ действует сопряжением на шесть сопряженных этой подгруппы, давая отображение S ₆  → S _X , где X — множество сопряженных элементов. Отождествление X с числами 1, ..., 6 (что зависит от выбора нумерации сопряженных элементов, т. е. с точностью до элемента из S ₆ (внутренний автоморфизм)) дает внешний автоморфизм S ₆  → S ₆ .
• Это отображение является внешним автоморфизмом, поскольку транспозиция не отображается в транспозицию, но внутренние автоморфизмы сохраняют структуру цикла.

Далее можно работать с действием умножения смежных классов или действием сопряжения сопряженных классов.

Чтобы увидеть, что S ₆ имеет внешний автоморфизм, напомним, что гомоморфизмы из группы G в симметрическую группу S _n по сути совпадают с действиями G на множестве из n элементов, а подгруппа, фиксирующая точку, является тогда подгруппой индекса не более n в G . Наоборот, если у нас есть подгруппа индекса n в G , действие на смежных классах дает транзитивное действие G на n точках и, следовательно, гомоморфизм в S _n .

Построение из графовых разделов

Прежде чем приступать к более математически строгим построениям, полезно понять простую конструкцию.

Возьмем полный граф с 6 вершинами, K ₆ . Он имеет 15 ребер, которые можно разбить на идеальные паросочетания 15 различными способами, каждое идеальное паросочетание представляет собой набор из трех ребер, никакие два из которых не имеют общей вершины. Можно найти набор из 5 идеальных паросочетаний из набора из 15 таких, что никакие два паросочетания не имеют общей вершины, и что между ними находятся все 5 × 3 = 15 ребер графа; эта факторизация графа может быть выполнена 6 различными способами.

Рассмотрим перестановку 6 вершин и посмотрим, как она влияет на 6 различных факторизаций. Мы получаем отображение из 720 входных перестановок в 720 выходных перестановок. Это отображение — в точности внешний автоморфизм S ₆ .

Будучи автоморфизмом, отображение должно сохранять порядок элементов, но в отличие от внутренних автоморфизмов оно не сохраняет структуру цикла, тем самым указывая на то, что это должен быть внешний автоморфизм . Например, 2-цикл отображается в произведение трех 2-циклов; легко видеть, что 2-цикл влияет на все 6 факторизаций графа некоторым образом, и, следовательно, не имеет неподвижных точек, если рассматривать его как перестановку факторизаций. Тот факт, что вообще возможно построить этот автоморфизм, опирается на большое количество числовых совпадений, которые применимы только к n = 6 .

Экзотическая карта S5→ С6

Существует подгруппа (на самом деле, 6 сопряженных подгрупп) группы S ₆ , которая абстрактно изоморфна группе S ₅ , но действует транзитивно как подгруппы группы S ₆ на множестве из 6 элементов. (Образ очевидного отображения S _n  → S _{n +1} фиксирует элемент и, таким образом, не является транзитивным.)

Силовские 5-подгруппы

Януш и Ротман строят это следующим образом:

• S ₅ действует транзитивно посредством сопряжения на множестве своих 6 силовских 5-подгрупп , давая вложение S ₅  → S ₆ как транзитивную подгруппу порядка 120.

Это следует из рассмотрения 5-циклов: каждый 5-цикл порождает группу порядка 5 (следовательно, силовскую подгруппу), имеется 5!/5 = 120/5 = 24 5-циклов, что дает 6 подгрупп (поскольку каждая подгруппа также включает единицу), и S _n действует транзитивно посредством сопряжения на множестве циклов данного класса, следовательно, транзитивно посредством сопряжения на этих подгруппах.

В качестве альтернативы можно использовать теоремы Силова, которые в общем случае утверждают, что все силовские p-подгруппы сопряжены.

ПГЛ(2,5)

Проективная линейная группа размерности два над конечным полем с пятью элементами, PGL(2, 5), действует на проективной прямой над полем с пятью элементами, P ¹ ( F ₅ ), которое имеет шесть элементов. Более того, это действие является точным и 3- транзитивным , как это всегда имеет место для действия проективной линейной группы на проективной прямой. Это дает отображение PGL(2, 5) → S ₆ как транзитивную подгруппу. Отождествление PGL(2, 5) с S ₅ и проективной специальной линейной группы PSL(2, 5) с A ₅ дает искомые экзотические отображения S ₅  → S ₆ и A ₅  → A ₆ . ^[5]

Следуя той же философии, можно реализовать внешний автоморфизм как следующие два неэквивалентных действия S ₆ на множестве из шести элементов: ^[6]

• обычное действие как группа перестановок;
• шесть неэквивалентных структур абстрактного 6-элементного множества как проективной прямой P ¹ ( F ₅ ) – прямая имеет 6 точек, а проективная линейная группа действует 3-транзитивно, поэтому, фиксируя 3 точки, существует 3! = 6 различных способов расположить оставшиеся 3 точки, что дает желаемое альтернативное действие.

Группа Фробениуса

Другой способ: чтобы построить внешний автоморфизм S ₆ , нам нужно построить «необычную» подгруппу индекса 6 в S ₆ , другими словами, такую, которая не является одной из шести очевидных подгрупп S _{5 ,} фиксирующих точку (которые как раз соответствуют внутренним автоморфизмам S ₆ ).

Группа Фробениуса аффинных преобразований F 5 (отображений , где a  ≠ 0) имеет порядок 20 = (5 − 1) · 5 и действует на поле с 5 элементами, следовательно, является подгруппой S _{5 . (Действительно} , это нормализатор упомянутой выше силовской 5-группы, рассматриваемой как группа порядка 5 трансляций  F ₅ .) ${\displaystyle x\mapsto ax+b}$

S ₅ действует транзитивно на пространстве смежных классов, которое представляет собой набор из 120/20 = 6 элементов (или посредством сопряжения, что дает действие, описанное выше).

Другие конструкции

Эрнст Витт нашел копию Aut(S ₆ ) в группе Матье M ₁₂ (подгруппа T , изоморфная S ₆ , и элемент σ , который нормализует T и действует внешним автоморфизмом). Подобно тому, как S ₆ действует на множество из 6 элементов двумя разными способами (имея внешний автоморфизм), M ₁₂ действует на множество из 12 элементов двумя разными способами (имея внешний автоморфизм), хотя, поскольку M ₁₂ сама по себе исключительна, этот внешний автоморфизм не считается исключительным.

Полная группа автоморфизмов A ₆ естественным образом появляется как максимальная подгруппа группы Матье M ₁₂ двумя способами: либо как подгруппа, фиксирующая разделение 12 точек на пару множеств из 6 элементов, либо как подгруппа, фиксирующая подмножество из 2 точек.

Другой способ увидеть, что S ₆ имеет нетривиальный внешний автоморфизм, — использовать тот факт, что A ₆ изоморфна PSL ₂ (9), чья группа автоморфизмов — проективная полулинейная группа PΓL ₂ (9), в которой PSL ₂ (9) имеет индекс 4, что дает внешнюю группу автоморфизмов порядка 4. Самый наглядный способ увидеть этот автоморфизм — дать интерпретацию через алгебраическую геометрию над конечными полями следующим образом. Рассмотрим действие S ₆ на аффинном 6-пространстве над полем k с 3 элементами. Это действие сохраняет несколько вещей: гиперплоскость H , на которой координаты в сумме равны 0, прямую L в H, где все координаты совпадают, и квадратичную форму q, заданную суммой квадратов всех 6 координат. Ограничение q на H имеет линию дефекта L , поэтому существует индуцированная квадратичная форма Q на 4-мерном H / L , которую можно проверить на невырожденность и нерасщепленность. Нулевая схема Q в H / L определяет гладкую квадратичную поверхность X в ассоциированном проективном 3-пространстве над k . Над алгебраическим замыканием k X является произведением двух проективных прямых, поэтому по аргументу спуска X является ограничением Вейля на k проективной прямой над квадратичной этальной алгеброй K . Поскольку Q не расщепляется над k , вспомогательный аргумент со специальными ортогональными группами над k заставляет K быть полем (а не произведением двух копий k ). Естественное S ₆ -действие на все в поле зрения определяет отображение из S ₆ в группу k -автоморфизмов X , которое является полупрямым произведением G из PGL ₂ ( K ) = PGL ₂ (9) против инволюции Галуа. Это отображение нетривиально переносит простую группу A ₆ в (следовательно, на) подгруппу PSL ₂ (9) индекса 4 в полупрямом произведении G , так что S ₆ тем самым идентифицируется как подгруппа индекса 2 группы G (а именно, подгруппа группы G , порожденная PSL ₂(9) и инволюция Галуа. Сопряжение любым элементом G вне S ₆ определяет нетривиальный внешний автоморфизм S ₆ .

Структура внешнего автоморфизма

На циклах он обменивает перестановки типа (12) с (12)(34)(56) (класс 2 ¹ с классом 2 ³ ), и типа (123) с (145)(263) (класс 3 ¹ с классом 3 ² ). Внешний автоморфизм также обменивает перестановки типа (12)(345) с (123456) (класс 2 ¹ 3 ¹ с классом 6 ¹ ). Для каждого из других типов циклов в S ₆ внешний автоморфизм фиксирует класс перестановок типа цикла.

На A ₆ он меняет местами 3-циклы (типа (123)) с элементами класса 3 ² (типа (123)(456)).

Никаких других внешних автоморфизмов.

Чтобы убедиться, что ни одна из других симметричных групп не имеет внешних автоморфизмов, проще всего действовать в два этапа:

1. Во-первых, покажите, что любой автоморфизм, сохраняющий класс сопряженности транспозиций, является внутренним автоморфизмом. (Это также показывает, что внешний автоморфизм S ₆ уникален; см. ниже.) Обратите внимание, что автоморфизм должен переводить каждый класс сопряженности (характеризующийся циклической структурой , которую разделяют его элементы) в (возможно, другой) класс сопряженности.
2. Во-вторых, покажите, что каждый автоморфизм (кроме указанного выше для S ₆ ) стабилизирует класс транспозиций.

Последнее можно продемонстрировать двумя способами:

• Для любой симметрической группы, отличной от S ₆ , не существует другого класса сопряженности, состоящего из элементов порядка 2, который имел бы то же число элементов, что и класс транспозиций.
• Или следующим образом:

Каждая перестановка второго порядка (называемая инволюцией ) является произведением k > 0 непересекающихся транспозиций, так что она имеет циклическую структуру 2 ^k 1 ^{n −2 k} . Что особенного в классе транспозиций ( k = 1)?

Если образовать произведение двух различных транспозиций τ ₁ и τ ₂ , то всегда получится либо 3-цикл, либо перестановка типа 2 ² 1 ^{n −4} , так что порядок полученного элемента будет либо 2, либо 3. С другой стороны, если образовать произведение двух различных инволюций σ ₁ , σ ₂ типа k > 1 , то при условии n ≥ 7 всегда можно получить элемент порядка 6, 7 или 4 следующим образом. Мы можем сделать так, чтобы произведение содержало либо

• два 2-цикла и 3-цикл (для k = 2 и n ≥ 7)
• 7-цикл (для k = 3 и n ≥ 7)
• два 4-цикла (для k = 4 и n ≥ 8)

При k ≥ 5 присоединяем к перестановкам σ ₁ , σ ₂ последнего примера избыточные 2-циклы, которые взаимно уничтожают друг друга, и мы все равно получим два 4-цикла.

Теперь мы приходим к противоречию, поскольку если класс транспозиций перевести с помощью автоморфизма f в класс инволюций, у которого k > 1, то существуют две транспозиции τ ₁ , τ ₂ такие, что f ( τ ₁ ) f ( τ ₂ ) имеет порядок 6, 7 или 4, но мы знаем, что τ ₁ τ ₂ имеет порядок 2 или 3.

Никаких других внешних автоморфизмов S6

S ₆ имеет ровно один (класс) внешних автоморфизмов: Out(S ₆ ) = C ₂ .

Чтобы увидеть это, заметим, что существует только два класса сопряженности S ₆ размера 15: транспозиции и классы 2 ³ . Каждый элемент Aut(S ₆ ) либо сохраняет каждый из этих классов сопряженности, либо меняет их местами. Любой представитель внешнего автоморфизма, построенного выше, меняет местами классы сопряженности, тогда как подгруппа индекса 2 стабилизирует транспозиции. Но автоморфизм, стабилизирующий транспозиции, является внутренним, поэтому внутренние автоморфизмы образуют подгруппу индекса 2 Aut(S ₆ ), поэтому Out(S ₆ ) = C ₂ .

Более кратко: автоморфизм, стабилизирующий транспозиции, является внутренним, и существует только два класса сопряженности порядка 15 (транспозиции и тройные транспозиции), поэтому внешняя группа автоморфизмов имеет порядок не выше 2.

Маленькийн

Симметричный

Для n = 2, S ₂  = C ₂  =  Z /2 и группа автоморфизмов тривиальна (очевидно, но более формально, потому что Aut( Z /2) = GL(1,  Z /2) =  Z /2 ^*  = C ₁ ). Таким образом, внутренняя группа автоморфизмов также тривиальна (также потому, что S ₂ абелева).

Переменный

Для n = 1 и 2, A ₁  = A ₂  = C ₁ тривиально, поэтому группа автоморфизмов также тривиальна. Для n  = 3, A ₃  = C ₃  =  Z /3 абелева (и циклическая): группа автоморфизмов GL(1,  Z /3 ^* ) = C ₂ , а внутренняя группа автоморфизмов тривиальна (потому что она абелева).

Примечания

1. Януш и Ротман 1982.
2. Lam, TY , & Leep, DB (1993). "Комбинаторная структура на группе автоморфизмов S ₆ ". Expositiones Mathematicae , 11(4), 289–308.
3. Отто Гёльдер (1895), "Bildung zusammengesetzter Gruppen", Mathematische Annalen , 46, 321–422.
4. Конвей, Дж. Х .; Кертис, Р. Т.; Нортон, С. П .; Паркер, Р. А .; Уилсон, Р. А. (2003), АТЛАС конечных групп , Oxford University Press, стр. xvi, ISBN 978-0-19-853199-9
5. Карнахан, Скотт (27 октября 2007 г.), «Малые конечные множества», Secret Blogging Seminar , заметки о докладе Жана-Пьера Серра .{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
6. Снайдер, Ной (28.10.2007), «Внешний автоморфизм S6», Секретный семинар блогов

Ссылки

• https://web.archive.org/web/20071227060045/http://polyomino.f2s.com/david/haskell/outers6.html
• Некоторые мысли о числе 6, Джона Баеза: связывают внешний автоморфизм с правильным икосаэдром
• «12 точек в PG(3, 5) с 95040 самопреобразованиями» в «Красоте геометрии» Коксетера: обсуждается внешний автоморфизм на первых двух страницах
• Януш, Джеральд; Ротман, Джозеф (июнь–июль 1982 г.), «Внешние автоморфизмы S ₆ », The American Mathematical Monthly , 89 (6): 407–410, doi :10.2307/2321657, JSTOR  2321657
• Фурнель, Томас А. (1 января 1993 г.), «Симметрии куба и внешние автоморфизмы S ₆ », The American Mathematical Monthly , 100 (4): 377–380, doi :10.2307/2324961, JSTOR  2324961
• Лоример, П. Дж. (1 января 1966 г.), «Внешние автоморфизмы S ₆ », The American Mathematical Monthly , 73 (6): 642–643, doi : 10.2307/2314806, JSTOR  2314806
• Миллер, Дональд У. (1 января 1958 г.), «О теореме Гёльдера», The American Mathematical Monthly , 65 (4): 252–254, doi :10.2307/2310241, JSTOR  2310241