Экзистенциальная количественная оценка

Математическое использование слова «существует»

В логике предикатов экзистенциальная квантификация — это тип квантора , логическая константа , которая интерпретируется как «существует», «есть хотя бы один» или «для некоторых». Обычно он обозначается символом логического оператора ∃, который при использовании вместе с переменной-предикатом называется квантором существования (« ∃ x » или « ∃( x ) » или « (∃ x )» ^[1] ). Экзистенциальная количественная оценка отличается от универсальной количественной оценки («для всех»), которая утверждает, что свойство или отношение справедливо для всех членов области. ^{[2] [3]} Некоторые источники используют термин «экзистенциализация» для обозначения экзистенциальной количественной оценки. ^[4]

Основы

Рассмотрим формулу, которая утверждает, что некоторое натуральное число , умноженное само на себя, равно 25.

0·0 = 25, или 1·1 = 25, или 2·2 = 25, или 3·3 = 25,...

Это может показаться логическим дизъюнкцией из-за неоднократного использования «или». Однако эллипсы не позволяют интегрировать и интерпретировать это как дизъюнкция в формальной логике . Вместо этого заявление можно было бы перефразировать более формально:

Для некоторого натурального числа n n · n = 25.

Это единственное утверждение, использующее экзистенциальную количественную оценку.

Это утверждение более точное, чем исходное, поскольку фраза «и так далее» не обязательно включает в себя все натуральные числа и исключает все остальное. А поскольку предметная область не была указана явно, фразу нельзя было интерпретировать формально. Однако в количественном утверждении натуральные числа упоминаются явно.

Этот конкретный пример верен, потому что 5 — натуральное число, и когда мы подставляем 5 вместо n , мы получаем «5·5 = 25», что верно. Не имеет значения, что « n · n = 25» верно только для одного натурального числа 5; даже существования единственного решения достаточно, чтобы доказать истинность этой экзистенциальной количественной оценки. Напротив, утверждение «Для некоторого четного числа n n · n = 25» неверно, поскольку четных решений нет.

Таким образом, область дискурса , которая определяет значения, которые может принимать переменная n , имеет решающее значение для истинности или ложности утверждения. Логические союзы используются для ограничения области дискурса выполнением данного предиката. Например:

Для некоторого положительного нечетного числа n n · n = 25

логически эквивалентно _

Для некоторого натурального числа n n нечетно и n · n = 25.

Здесь «и» является логическим союзом.

В символической логике «∃» (повернутая буква « E » шрифтом без засечек ) используется для обозначения экзистенциальной количественной оценки. ^[5] Таким образом, если P ( a , b , c ) является предикатом « a · b = c», и является множеством натуральных чисел, то ${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle \exists {n}{\in }\mathbb {N} \,P(n,n,25)}$

это (истинное) утверждение

Для некоторого натурального числа n n · n = 25.

Аналогично, если Q ( n ) — предикат « n четно», то

${\displaystyle \exists {n}{\in }\mathbb {N} \,{\big (}Q(n)\;\!\;\!{\wedge }\;\!\;\!P(n,n,25){\big )}}$

это (ложное) утверждение

Для некоторого натурального числа n n четно и n · n = 25.

В математике доказательство «некоторого» утверждения может быть достигнуто либо с помощью конструктивного доказательства , которое демонстрирует объект, удовлетворяющий «некоторому» утверждению, либо с помощью неконструктивного доказательства , которое показывает, что такой объект должен существовать, но без демонстрации его. .

Характеристики

Отрицание

Кванторизованная пропозициональная функция — это утверждение; таким образом, как и операторы, количественные функции могут быть инвертированы. Этот символ используется для обозначения отрицания. ${\displaystyle \lnot \ }$

Например, если P ( x ) является предикатом « x больше 0 и меньше 1», то для области дискурса X всех натуральных чисел экзистенциальная квантификация «Существует натуральное число x , которое больше 0 и меньше 1 дюйма можно символически обозначить как:

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

Можно доказать, что это ложь. По правде говоря, нужно сказать: «Это не тот случай, когда существует натуральное число x , которое больше 0 и меньше 1», или, выражаясь символически:

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$.

Если в области дискурса нет элемента, для которого утверждение истинно, то оно должно быть ложным для всех этих элементов. То есть отрицание

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

логически эквивалентно: «Для любого натурального числа x x не больше 0 и не меньше 1», или:

${\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

В общем случае, отрицание экзистенциальной квантификации пропозициональной функции является универсальной квантификацией отрицания этой пропозициональной функции; символически,

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

(Это обобщение законов Де Моргана на логические предикаты.)

Распространенной ошибкой является утверждение «не все люди состоят в браке» (т. е. «не существует человека, состоящего в браке»), тогда как подразумевается «не все люди состоят в браке» (т. е. «существует человек, который не состоит в браке»). :

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

Отрицание также выражается через утверждение «нет», в отличие от «для некоторых»:

${\displaystyle \nexists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

В отличие от квантора всеобщности, квантор существования распределяется по логическим дизъюнкциям:

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor Q(x)\to \ (\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,Q(x))}$

Правила вывода

Правило вывода – это правило, оправдывающее логический шаг от гипотезы к заключению. Существует несколько правил вывода, в которых используется квантор существования.

Экзистенциальное введение (∃I) заключает, что если известно, что пропозициональная функция истинна для определенного элемента области дискурса, то должно быть верно, что существует элемент, для которого функция пропозиции истинна. Символически,

${\displaystyle P(a)\to \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

Экзистенциальная конкретизация , проводимая в стиле дедукции Fitch, продолжается путем ввода нового суб-вывода с заменой субъекта экзистенциально-квантифицированной переменной, которая не появляется ни в одном активном суб-выводе. Если внутри этого подвывода можно прийти к заключению, в котором не появляется замещаемый субъект, то можно выйти из этого подвывода с этим выводом. Аргументация экзистенциального исключения (∃E) следующая: если дано, что существует элемент, для которого функция предложения истинна, и если к выводу можно прийти, присвоив этому элементу произвольное имя, этот вывод обязательно истинен. , если оно не содержит имени. Символически для произвольного c и предложения Q , в котором c не встречается:

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to \ ((P(c)\to \ Q)\to \ Q)}$

${\displaystyle P(c)\to \ Q}$должно быть истинным для всех значений c в одном и том же домене X ; в противном случае логика не следует: если c не является произвольным, а вместо этого является конкретным элементом области дискурса, то утверждение P ( c ) может неоправданно дать больше информации об этом объекте.

Пустой набор

Формула всегда неверна, независимо от P ( x ). Это потому, что обозначает пустое множество , и в пустом множестве не существует ни одного x любого описания, не говоря уже о x , удовлетворяющем заданному предикату P ( x ). См. также «Пустая истина» для получения дополнительной информации. ${\displaystyle \exists {x}{\in }\varnothing \,P(x)}$ ${\displaystyle \varnothing }$

Как сопряженный

В теории категорий и теории элементарных топосов квантор существования можно понимать как левый сопряженный функтор между степенными множествами , функтор обратного образа функции между множествами ; аналогично квантор всеобщности является правым сопряженным . ^[6]

Кодирование

В Unicode и HTML символы кодируются U+ 2203 ∃ СУЩЕСТВУЕТ ( ∃, ∃ · как математический символ) и U+2204 ∄ НЕ СУЩЕСТВУЕТ ( ∄, ∄, ∄ ). 

В TeX символ создается с помощью «\exists».

Источник

Считается, что впервые этот символ был использован Джузеппе Пеано в его книге по математической логике и обозначениям Formulario Mathematico 0f 1896 года . Впоследствии Бертран Рассел популяризировал его использование в качестве квантификатора существования. Благодаря своим исследованиям в области теории множеств Пеано также ввел символы , обозначающие пересечение и объединение множеств. ^[7] ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \cup }$

Смотрите также

• Экзистенциальная оговорка
• Теорема существования
• Логика первого порядка
• Квантор Линдстрема
• Список логических символов - для символа Юникода ∃
• Кванторная дисперсия
• Количественная оценка уникальности

Примечания

1. Бергманн, Мерри (2014). Книга логики . МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-803841-9.
2. «Предикаты и квантификаторы». www.csm.ornl.gov . Проверено 4 сентября 2020 г.
3. «1.2 Кванторы». www.whitman.edu . Проверено 4 сентября 2020 г.
4. Аллен, Колин; Хэнд, Майкл (2001). Логический учебник. МТИ Пресс. ISBN 0262303965.
5. Этот символ также известен как экзистенциальный оператор . Иногда его обозначают буквой V.
6. Сондерс Мак Лейн , Ике Мурдейк, (1992): Пучки в геометрии и логике Springer-Verlag ISBN 0-387-97710-4 . См. стр. 58 . 
7. Уэбб, Стивен (2018). Столкновение символов. Чам: Международное издательство Springer. дои : 10.1007/978-3-319-71350-2. ISBN 978-3-319-71349-6.

Рекомендации

• Хинман, П. (2005). Основы математической логики . АК Петерс. ISBN 1-56881-262-0.