Экзотический R4

Гладкое 4-многообразие, гомеоморфное, но не диффеоморфное евклидову пространству

В математике экзотика — это дифференцируемое многообразие , которое гомеоморфно (т.е. сохраняет форму), но не диффеоморфно (т.е. не гладко) евклидову пространству. Первые примеры были найдены в 1982 году Майклом Фридманом и другими, используя контраст между теоремами Фридмана о топологических 4-многообразиях и теоремами Саймона Дональдсона о гладких 4-многообразиях. ^{[1] [2]} Существует континуум недиффеоморфных дифференцируемых структур , как впервые показал Клиффорд Таубс . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

До этой конструкции уже было известно о существовании недиффеоморфных гладких структур на сферах – экзотических сфер  , хотя вопрос о существовании таких структур для частного случая 4-сферы оставался открытым (и остается открытым по состоянию на 2024 год). Для любого положительного целого числа n, отличного от 4, не существует экзотических гладких структур , другими словами, если n ≠ 4, то любое гладкое многообразие, гомеоморфное , диффеоморфно ^[4] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n};}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Маленький экзотический R4с

Экзотическое называется малым , если его можно гладко вложить в открытое подмножество стандартного ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Небольшую экзотику можно построить, начав с нетривиального гладкого 5-мерного h - кобордизма (который существует согласно доказательству Дональдсона, что теорема о h -кобордизме неверна в этом измерении) и используя теорему Фридмана о том, что топологическая теорема о h -кобордизме верна в этом измерении. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Большой экзотический R4с

Экзотическое множество называется большим , если его нельзя гладко вложить в открытое подмножество стандартного множества. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Примеры больших экзотик можно построить, используя тот факт, что компактные 4-многообразия часто можно разбить как топологическую сумму (согласно работе Фридмана), но нельзя разбить как гладкую сумму (согласно работе Дональдсона). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Майкл Хартли Фридман и Лоуренс Р. Тейлор (1986) показали, что существует максимальное экзотическое множество , в которое все остальные могут быть плавно вложены как открытые подмножества. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Связанные экзотические структуры

Ручки Кассона гомеоморфны по теореме Фридмана (где — замкнутый единичный круг), но из теоремы Дональдсона следует, что не все они диффеоморфны Другими словами, некоторые ручки Кассона являются экзотическими ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}.}$

Неизвестно (по состоянию на 2022 год), существуют ли какие-либо экзотические 4-сферы; такая экзотическая 4-сфера была бы контрпримером к гладкой обобщенной гипотезе Пуанкаре в размерности 4. Некоторые правдоподобные кандидаты даны поворотами Глюка .

Смотрите также

• Акбулутская пробка - инструмент, используемый для создания экзотических ' из классов в ^[5] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle H^{3}(S^{3},\mathbb {R} )}$
• Атлас (топология)

Примечания

1. Кирби (1989), стр. 95
2. Фридман и Куинн (1990), стр. 122
3. Таубс (1987), Теорема 1.1
4. Столлингс (1962), в частности, Следствие 5.2
5. Ассельмейер-Малуга, Торстен; Круль, Ежи (28.08.2014). "Абелевы гербы, обобщенные геометрии и слоения малых экзотических R^4". arXiv : 0904.1276 [hep-th].

Ссылки

• Freedman, Michael H. ; Quinn, Frank (1990). Топология 4-многообразий . Princeton Mathematical Series. Том 39. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08577-3.
• Фридман, Майкл Х.; Тейлор, Лоуренс Р. (1986). «Универсальное сглаживание четырехмерного пространства». Журнал дифференциальной геометрии . 24 (1): 69–78. doi : 10.4310/jdg/1214440258 . ISSN  0022-040X. MR  0857376.
• Кирби, Робион К. (1989). Топология 4-многообразий . Конспект лекций по математике. Том 1374. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-51148-2.
• Scorpan, Alexandru (2005). Дикий мир 4-многообразий . Providence, RI: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3749-8.
• Столлингс, Джон (1962). «Кусочно-линейная структура евклидова пространства». Proc. Cambridge Philos. Soc . 58 (3): 481–488. Bibcode :1962PCPS...58..481S. doi :10.1017/s0305004100036756. S2CID  120418488. МР 0149457
• Gompf, Robert E. ; Stipsicz, András I. (1999). 4-многообразия и исчисление Кирби . Аспирантура по математике . Том 20. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0994-6.
• Таубс, Клиффорд Генри (1987). «Калибровочная теория на асимптотически периодических 4-многообразиях». Журнал дифференциальной геометрии . 25 (3): 363–430. doi : 10.4310/jdg/1214440981 . MR  0882829. PE  1214440981.