Экспоненциальный интеграл

Специальная функция, определяемая интегралом

График экспоненциальной интегральной функции E n(z) при n=2 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

В математике показательный интеграл Ei — это специальная функция на комплексной плоскости .

Он определяется как один определенный интеграл отношения показательной функции к ее аргументу .

Определения

Для действительных ненулевых значений  x показательный интеграл Ei( x ) определяется как

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,dt=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,dt.}$

^[1]

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0+}E_{1}(-x\pm i\delta )=-\operatorname {Ei} (x)\mp i\pi ,\qquad x>0.}$

Характеристики

Некоторые свойства приведенного ниже показательного интеграла в некоторых случаях позволяют избежать его явного вычисления с помощью приведенного выше определения.

Сходящийся ряд

График функции (вверху) и функции (внизу). ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$

Для действительных или комплексных аргументов за пределами отрицательной действительной оси можно выразить как ^[2] ${\displaystyle E_{1}(z)}$

${\displaystyle E_{1}(z)=-\gamma -\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k\;k!}}\qquad (\left|\operatorname {Arg} (z)\right|<\pi )}$

где — постоянная Эйлера–Маскерони . Сумма сходится для всех комплексных , и мы берем обычное значение комплексного логарифма, имеющего ветвь, разрезанную вдоль отрицательной действительной оси. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z}$

Эту формулу можно использовать для вычисления с помощью операций с плавающей точкой для вещественных чисел от 0 до 2,5. Для результат неточен из-за отмены . ${\displaystyle E_{1}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x>2.5}$

Рамануджан нашел более быстрый сходящийся ряд :

${\displaystyle {\rm {Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\exp {(x/2)}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}}$

Асимптотический (расходящийся) ряд

Относительная погрешность асимптотического приближения при различном числе членов в усеченной сумме ${\displaystyle ~N~}$

К сожалению, сходимость ряда выше медленная для аргументов большего модуля. Например, для получения ответа с точностью до трех значащих цифр для требуется более 40 членов . ^[3] Однако для положительных значений x существует расходящееся приближение ряда, которое можно получить путем интегрирования по частям: ^[4] ${\displaystyle E_{1}(10)}$ ${\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)}$

${\displaystyle E_{1}(x)={\frac {\exp(-x)}{x}}\left(\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-x)^{n}}}+O(N!x^{-N})\right)}$

Относительная погрешность приведенного выше приближения отображена на рисунке справа для различных значений , числа членов в усеченной сумме ( красным и розовым цветом). ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle N=5}$

Асимптотика за пределами всех порядков

Используя интегрирование по частям, можно получить явную формулу ^[5] Для любого фиксированного абсолютное значение остаточного члена уменьшается, затем увеличивается. Минимум достигается при , в точке . Эта граница называется «асимптотикой за пределами всех порядков». $${\displaystyle \operatorname {Ei} (z)={\frac {e^{z}}{z}}\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {k!}{z^{k}}}+e_{n}(z)\right),\quad e_{n}(z)\equiv (n+1)!\ ze^{-z}\int _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t^{n+2}}}\,dt}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |e_{n}(z)|}$ ${\displaystyle n\sim |z|}$ ${\displaystyle \vert e_{n}(z)\vert \leq {\sqrt {\frac {2\pi }{\vert z\vert }}}e^{-\vert z\vert }}$

Экспоненциальное и логарифмическое поведение: заключение в скобки

Раскрытие скобок по элементарным функциям ${\displaystyle E_{1}}$

Из двух рядов, предложенных в предыдущих подразделах, следует, что ведет себя как отрицательная экспонента для больших значений аргумента и как логарифм для малых значений. Для положительных действительных значений аргумента может быть заключена в скобки элементарными функциями следующим образом: ^[6] ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<E_{1}(x)<e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)\qquad x>0}$

Левая часть этого неравенства показана на графике слева синим цветом, центральная часть показана черным цветом, а правая часть показана красным цветом. ${\displaystyle E_{1}(x)}$

Определение Эйн

Оба эти выражения можно записать проще, используя всю функцию ^[7], определенную как ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ein} }$

${\displaystyle \operatorname {Ein} (z)=\int _{0}^{z}(1-e^{-t}){\frac {dt}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}}$

(обратите внимание, что это всего лишь знакопеременный ряд в приведенном выше определении ). Тогда мы имеем ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}(z)\,=\,-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}}(z)\qquad \left|\operatorname {Arg} (z)\right|<\pi }$

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)\,=\,\gamma +\ln {x}-\operatorname {Ein} (-x)\qquad x\neq 0}$

Связь с другими функциями

Уравнение Куммера

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0}$

обычно решается с помощью конфлюэнтных гипергеометрических функций и Но когда и то есть, ${\displaystyle M(a,b,z)}$ ${\displaystyle U(a,b,z).}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle b=1,}$

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(1-z){\frac {dw}{dz}}=0}$

у нас есть

${\displaystyle M(0,1,z)=U(0,1,z)=1}$

для всех z . Второе решение тогда дается как E ₁ (− z ). Фактически,

${\displaystyle E_{1}(-z)=-\gamma -i\pi +{\frac {\partial [U(a,1,z)-M(a,1,z)]}{\partial a}},\qquad 0<{\rm {Arg}}(z)<2\pi }$

с производной, вычисленной при Другая связь с конфлюэнтными гипергеометрическими функциями заключается в том, что E ₁ представляет собой экспоненту, умноженную на функцию U (1,1, z ): ${\displaystyle a=0.}$

${\displaystyle E_{1}(z)=e^{-z}U(1,1,z)}$

Экспоненциальный интеграл тесно связан с логарифмической интегральной функцией li( x ) формулой

${\displaystyle \operatorname {li} (e^{x})=\operatorname {Ei} (x)}$

для ненулевых действительных значений . ${\displaystyle x}$

Обобщение

Экспоненциальный интеграл можно также обобщить до

${\displaystyle E_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,dt,}$

что можно записать как частный случай верхней неполной гамма-функции : ^[8]

${\displaystyle E_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).}$

Обобщенную форму иногда называют функцией Мисры ^[9] , определяемой как ${\displaystyle \varphi _{m}(x)}$

${\displaystyle \varphi _{m}(x)=E_{-m}(x).}$

Многие свойства этой обобщенной формы можно найти в Цифровой библиотеке математических функций NIST.

Включение логарифма определяет обобщенную интегро-экспоненциальную функцию ^[10]

${\displaystyle E_{s}^{j}(z)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{1}^{\infty }\left(\log t\right)^{j}{\frac {e^{-zt}}{t^{s}}}\,dt.}$

Неопределенный интеграл:

${\displaystyle \operatorname {Ei} (a\cdot b)=\iint e^{ab}\,da\,db}$

по форме похожа на обычную производящую функцию для , число делителей : ${\displaystyle d(n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }d(n)x^{n}=\sum \limits _{a=1}^{\infty }\sum \limits _{b=1}^{\infty }x^{ab}}$

Производные

Производные обобщенных функций можно вычислить по формуле ^[11] ${\displaystyle E_{n}}$

${\displaystyle E_{n}'(z)=-E_{n-1}(z)\qquad (n=1,2,3,\ldots )}$

Обратите внимание, что функцию легко оценить (что делает эту рекурсию полезной), поскольку она всего лишь . ^[12] ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle e^{-z}/z}$

Экспоненциальный интеграл мнимого аргумента

${\displaystyle E_{1}(ix)}$против ; действительная часть черная, мнимая часть красная. ${\displaystyle x}$

Если мнимая, то она имеет неотрицательную действительную часть, поэтому мы можем использовать формулу ${\displaystyle z}$

${\displaystyle E_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt}$

чтобы получить связь с тригонометрическими интегралами и : ${\displaystyle \operatorname {Si} }$ ${\displaystyle \operatorname {Ci} }$

${\displaystyle E_{1}(ix)=i\left[-{\tfrac {1}{2}}\pi +\operatorname {Si} (x)\right]-\operatorname {Ci} (x)\qquad (x>0)}$

Действительная и мнимая части изображены на рисунке справа черными и красными кривыми. ${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(ix)}$

Приближения

Существует ряд приближений для экспоненциальной интегральной функции. Они включают в себя:

• Приближение Свами и Охии ^[13] где $${\displaystyle E_{1}(x)=\left(A^{-7.7}+B\right)^{-0.13},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\ln \left[\left({\frac {0.56146}{x}}+0.65\right)(1+x)\right]\\B&=x^{4}e^{7.7x}(2+x)^{3.7}\end{aligned}}}$$
• Приближение Аллена и Гастингса ^{[13] [14]} где $${\displaystyle E_{1}(x)={\begin{cases}-\ln x+{\textbf {a}}^{T}{\textbf {x}}_{5},&x\leq 1\\{\frac {e^{-x}}{x}}{\frac {{\textbf {b}}^{T}{\textbf {x}}_{3}}{{\textbf {c}}^{T}{\textbf {x}}_{3}}},&x\geq 1\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\textbf {a}}&\triangleq [-0.57722,0.99999,-0.24991,0.05519,-0.00976,0.00108]^{T}\\{\textbf {b}}&\triangleq [0.26777,8.63476,18.05902,8.57333]^{T}\\{\textbf {c}}&\triangleq [3.95850,21.09965,25.63296,9.57332]^{T}\\{\textbf {x}}_{k}&\triangleq [x^{0},x^{1},\dots ,x^{k}]^{T}\end{aligned}}}$$
• Разложение непрерывной дроби ^[14] $${\displaystyle E_{1}(x)={\cfrac {e^{-x}}{x+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{x+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {2}{x+{\cfrac {3}{\ddots }}}}}}}}}}}}.}$$
• Приближение Барри и др. ^[15] : где — константа Эйлера–Маскерони . $${\displaystyle E_{1}(x)={\frac {e^{-x}}{G+(1-G)e^{-{\frac {x}{1-G}}}}}\ln \left[1+{\frac {G}{x}}-{\frac {1-G}{(h+bx)^{2}}}\right],}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {1}{1+x{\sqrt {x}}}}+{\frac {h_{\infty }q}{1+q}}\\q&={\frac {20}{47}}x^{\sqrt {\frac {31}{26}}}\\h_{\infty }&={\frac {(1-G)(G^{2}-6G+12)}{3G(2-G)^{2}b}}\\b&={\sqrt {\frac {2(1-G)}{G(2-G)}}}\\G&=e^{-\gamma }\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \gamma }$

Обратная функция экспоненциального интеграла

Обратную функцию экспоненциального интеграла можно выразить в виде степенного ряда : ^[16]

${\displaystyle \forall |x|<{\frac {\mu }{\ln(\mu )}},\quad \mathrm {Ei} ^{-1}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}{\frac {P_{n}(\ln(\mu ))}{\mu ^{n}}}}$

где — константа Рамануджана–Зольднера , а — полиномиальная последовательность, определяемая следующим рекуррентным соотношением : ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (P_{n})}$

${\displaystyle P_{0}(x)=x,\ P_{n+1}(x)=x(P_{n}'(x)-nP_{n}(x)).}$

Для и имеем формулу: ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \deg P_{n}=n}$

${\displaystyle P_{n}(x)=\left.\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)^{n-1}\left({\frac {te^{x}}{\mathrm {Ei} (t+x)-\mathrm {Ei} (x)}}\right)^{n}\right|_{t=0}.}$

Приложения

• Передача тепла, зависящая от времени
• Неравновесный поток грунтовых вод в решении Тейса (называемый функцией скважины )
• Перенос излучения в звездных и планетарных атмосферах
• Уравнение радиальной диффузии для переходного или нестационарного течения с линейными источниками и стоками
• Решения уравнения переноса нейтронов в упрощенных одномерных геометриях ^[17]

Смотрите также

• Интеграл Гудвина–Стейтона
• Функции Бикли–Нейлора

Примечания

1. Абрамовиц и Стигун, стр. 228, 5.1.7
2. Абрамовиц и Стигун, стр. 229, 5.1.11
3. Бляйстейн и Хандельсман, с. 2
4. Блейстейн и Хандельсман, с. 3
5. О'Мэлли, Роберт Э. (2014), О'Мэлли, Роберт Э. (ред.), «Асимптотические приближения», Исторические разработки в области сингулярных возмущений , Cham: Springer International Publishing, стр. 27–51, doi :10.1007/978-3-319-11924-3_2, ISBN 978-3-319-11924-3, получено 2023-05-04
6. Абрамовиц и Стигун, стр. 229, 5.1.20
7. Абрамовиц и Стигун, стр. 228, см. сноску 3.
8. Абрамовиц и Стигун, стр. 230, 5.1.45
9. По Мисре (1940), стр. 178
10. Милгрэм (1985)
11. Абрамовиц и Стигун, стр. 230, 5.1.26
12. Абрамовиц и Стигун, стр. 229, 5.1.24
13. Giao, Pham Huy (2003-05-01). «Повторный взгляд на аппроксимацию функции скважины и простой графический метод сопоставления кривых для решения Тейса». Ground Water . 41 (3): 387–390. Bibcode :2003GrWat..41..387G. doi :10.1111/j.1745-6584.2003.tb02608.x. ISSN  1745-6584. PMID  12772832. S2CID  31982931.
14. Tseng, Peng-Hsiang; Lee, Tien-Chang (1998-02-26). "Численная оценка экспоненциального интеграла: приближение функции Явления". Журнал гидрологии . 205 (1–2): 38–51. Bibcode :1998JHyd..205...38T. doi :10.1016/S0022-1694(97)00134-0.
15. Barry, D. A; Parlange, J. -Y; Li, L (2000-01-31). "Приближение для экспоненциального интеграла (функция Тейсвелла)". Journal of Hydrology . 227 (1–4): 287–291. Bibcode : 2000JHyd..227..287B. doi : 10.1016/S0022-1694(99)00184-5.
16. "Обратная функция экспоненциального интеграла Ei-1(x)". Mathematics Stack Exchange . Получено 2024-04-24 .
17. Джордж И. Белл; Сэмюэл Гласстон (1970). Теория ядерного реактора . Van Nostrand Reinhold Company.

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон; Ирен Стиган (1964). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Абрамовиц и Стиган . Нью-Йорк: Довер. ISBN 978-0-486-61272-0., Глава 5.
• Бендер, Карл М.; Стивен А. Орсзаг (1978). Продвинутые математические методы для ученых и инженеров . McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-004452-4.
• Блейштейн, Норман; Ричард А. Хандельсман (1986). Асимптотические разложения интегралов . Дувр. ISBN 978-0-486-65082-1.
• Басбридж, Ида В. (1950). «Об интегро-экспоненциальной функции и оценке некоторых интегралов, включающих ее». Quart. J. Math. (Оксфорд) . 1 (1): 176–184. Bibcode :1950QJMat...1..176B. doi :10.1093/qmath/1.1.176.
• Станкевич, А. (1968). "Таблицы интегро-показательных функций". Acta Astronomica . 18 : 289. Bibcode :1968AcA....18..289S.
• Шарма, Р. Р.; Зохури, Бахман (1977). «Общий метод точной оценки экспоненциальных интегралов E ₁ (x), x>0». J. Comput. Phys . 25 (2): 199–204. Bibcode :1977JCoPh..25..199S. doi :10.1016/0021-9991(77)90022-5.
• Кёльбиг, КС (1983). «Об интеграле exp(−μt)tν−1logmt dt». Math. Comput . 41 (163): 171–182. doi : 10.1090/S0025-5718-1983-0701632-1 .
• Милгрэм, М.С. (1985). «Обобщенная интегро-экспоненциальная функция». Математика вычислений . 44 (170): 443–458. doi : 10.1090/S0025-5718-1985-0777276-4 . JSTOR  2007964. MR  0777276.
• Misra, Rama Dhar; Born, M. (1940). "О стабильности кристаллических решеток. II". Математические труды Кембриджского философского общества . 36 (2): 173. Bibcode :1940PCPS...36..173M. doi :10.1017/S030500410001714X. S2CID  251097063.
• Chiccoli, C.; Lorenzutta, S.; Maino, G. (1988). «О вычислении обобщенных экспоненциальных интегралов E _ν (x)». J. Comput. Phys . 78 (2): 278–287. Bibcode :1988JCoPh..78..278C. doi :10.1016/0021-9991(88)90050-2.
• Chiccoli, C.; Lorenzutta, S.; Maino, G. (1990). "Недавние результаты для обобщенных экспоненциальных интегралов". Computer Math. Applic . 19 (5): 21–29. doi :10.1016/0898-1221(90)90098-5.
• MacLeod, Allan J. (2002). «Эффективное вычисление некоторых обобщенных экспоненциальных интегралов». J. Comput. Appl. Math . 148 (2): 363–374. Bibcode :2002JCoAM.148..363M. doi : 10.1016/S0377-0427(02)00556-3 .
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Раздел 6.3. Экспоненциальные интегралы», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, архивировано из оригинала 2011-08-11 , извлечено 2011-08-09
• Темме, Н. М. (2010), «Экспоненциальные, логарифмические, синусные и косинусные интегралы», в Олвер, Фрэнк У. Дж .; Лозье, Дэниел М.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз У. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.

Внешние ссылки

• «Интегральная показательная функция», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Документация NIST по обобщенному экспоненциальному интегралу
• Вайсштейн, Эрик В. «Экспоненциальный интеграл». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «En-Function». Математический мир .
• «Экспоненциальный интеграл Ei». Сайт Wolfram Functions.
• Экспоненциальные, логарифмические, синусные и косинусные интегралы в DLMF .