Кольцо-частное

Reduction of a ring by one of its ideals

В теории колец , раздела абстрактной алгебры , фактор-кольцо , также известное как фактор-кольцо , разностное кольцо ^[1] или кольцо классов вычетов , представляет собой конструкцию, весьма похожую на фактор-группу в теории групп и на фактор-пространство в линейной алгебре . ^{[2] [3]} Это конкретный пример фактора , рассматриваемый с точки зрения общей установки универсальной алгебры . Начиная с кольца и двустороннего идеала в , строится новое кольцо, фактор-кольцо , элементами которого являются смежные классы в с учетом специальных и операций. (Обозначение фактор-кольца всегда использует дробную косую черту "/".) ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \cdot }$

Кольца частных отличаются от так называемого «поля частных» или поля дробей целостной области , а также от более общих «колец частных», полученных путем локализации .

Формальное построение факторкольца

Для кольца и двустороннего идеала в можно определить отношение эквивалентности следующим образом: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle a\sim b}$ тогда и только тогда, когда находится в . ${\displaystyle a-b}$ ${\displaystyle I}$

Используя свойства идеала, нетрудно проверить, что является отношением конгруэнтности . В случае мы говорим, что и конгруэнтны по модулю (например, и конгруэнтны по модулю, поскольку их разность является элементом идеала , четных целых чисел ). Класс эквивалентности элемента в задается формулой: ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle \left[a\right]=a+I:=\left\lbrace a+r:r\in I\right\rbrace }$$

Этот класс эквивалентности иногда также записывается как и называется «классом вычетов по модулю ». ${\displaystyle a{\bmod {I}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I}$

Множество всех таких классов эквивалентности обозначается как ; оно становится кольцом, кольцом множителей или кольцом частных по модулю , если определить ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$

• ${\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}$;
• ${\displaystyle (a+I)(b+I)=(ab)+I}$.

(Здесь нужно проверить, что эти определения корректны . Сравните смежный класс и факторгруппу .) Нулевой элемент равен , а мультипликативное тождество равно . ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle {\bar {0}}=(0+I)=I}$ ${\displaystyle {\bar {1}}=(1+I)}$

Отображение из в , определяемое формулой, является сюръективным кольцевым гомоморфизмом , иногда называемым естественным факторным отображением или каноническим гомоморфизмом . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle p(a)=a+I}$

Примеры

• Фактор-кольцо естественно изоморфно , и является нулевым кольцом , поскольку, по нашему определению, для любого , мы имеем , которое равно самому себе. Это соответствует правилу большого пальца, что чем больше идеал , тем меньше фактор-кольцо . Если является собственным идеалом , т. е. , то не является нулевым кольцом. ${\displaystyle R/\lbrace 0\rbrace }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/R}$ ${\displaystyle \lbrace 0\rbrace }$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle \left[r\right]=r+R=\left\lbrace r+b:b\in R\right\rbrace }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\neq R}$ ${\displaystyle R/I}$

• Рассмотрим кольцо целых чисел и идеал четных чисел , обозначаемый как . Тогда фактор-кольцо имеет только два элемента, смежный класс, состоящий из четных чисел, и смежный класс, состоящий из нечетных чисел; применяя определение, , где — идеал четных чисел. Он естественным образом изоморфен конечному полю с двумя элементами, . Интуитивно: если вы думаете обо всех четных числах как , то каждое целое число является либо (если оно четное), либо (если оно нечетное и, следовательно, отличается от четного числа на ). Модульная арифметика по сути является арифметикой в ​​фактор-кольце (которое имеет элементы). ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0+2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 1+2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left[z\right]=z+2\mathbb {Z} =\left\lbrace z+2y:2y\in 2\mathbb {Z} \right\rbrace }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$

• Теперь рассмотрим кольцо многочленов от переменной с действительными коэффициентами , и идеал, состоящий из всех кратных многочлена . Фактор-кольцо естественно изоморфно полю комплексных чисел , причем класс играет роль мнимой единицы . Причина в том, что мы «вынудили» , т.е. , что является определяющим свойством . Поскольку любой целочисленный показатель степени должен быть либо , либо , это означает, что все возможные многочлены по существу упрощаются до вида . (Для ясности, фактор-кольцо на самом деле естественно изоморфно полю всех линейных многочленов , где операции выполняются по модулю . Взамен мы имеем , и это соответствует мнимой единице в изоморфном поле комплексных чисел.) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ ${\displaystyle I=\left(X^{2}+1\right)}$ ${\displaystyle X^{2}+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle [X]}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X^{2}+1=0}$ ${\displaystyle X^{2}=-1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \pm i}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}$ ${\displaystyle aX+b;a,b\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X^{2}+1}$ ${\displaystyle X^{2}=-1}$ ${\displaystyle X}$

• Обобщая предыдущий пример, фактор-кольца часто используются для построения расширений полей . Предположим , что — некоторое поле и — неприводимый многочлен от . Тогда — поле, минимальный многочлен над которого равен , которое содержит , а также элемент . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K[X]}$ ${\displaystyle L=K[X]/(f)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x=X+(f)}$

• Одним из важных примеров предыдущего примера является построение конечных полей. Рассмотрим, например, поле с тремя элементами. Многочлен неприводим над (поскольку не имеет корня), и мы можем построить фактор-кольцо . Это поле с элементами, обозначаемыми . Другие конечные поля могут быть построены аналогичным образом. ${\displaystyle F_{3}=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f(X)=Xi^{2}+1}$ ${\displaystyle F_{3}}$ ${\displaystyle F_{3}[X]/(f)}$ ${\displaystyle 3^{2}=9}$ ${\displaystyle F_{9}}$

• Координатные кольца алгебраических многообразий являются важными примерами факторколец в алгебраической геометрии . В качестве простого случая рассмотрим вещественное многообразие как подмножество вещественной плоскости . Кольцо вещественнозначных полиномиальных функций, определенных на, можно отождествить с факторкольцом , и это координатное кольцо многообразия . Теперь исследуем многообразие , изучая его координатное кольцо. ${\displaystyle V=\left\lbrace (x,y)|x^{2}=y^{3}\right\rbrace }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}-Y^{3})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

• Предположим, что есть -многообразие , и есть точка . Рассмотрим кольцо всех -функций , определенных на , и пусть будет идеалом в , состоящим из тех функций, которые тождественно равны нулю в некоторой окрестности ( где может зависеть от ). Тогда фактор-кольцо есть кольцо ростков -функций на в . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R=\mathbb {C} ^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$

• Рассмотрим кольцо конечных элементов гиперреального поля . Оно состоит из всех гиперреальных чисел, отличающихся от стандартного действительного на бесконечно малую величину, или, что эквивалентно: из всех гиперреальных чисел , для которых существует стандартное целое число с . Множество всех бесконечно малых чисел в , вместе с , является идеалом в , а фактор-кольцо изоморфно действительным числам . Изоморфизм индуцируется сопоставлением каждому элементу стандартной части , т.е. единственного действительного числа, которое отличается от на бесконечно малую величину. Фактически, получается тот же результат, а именно , если начать с кольца конечных гиперрациональных чисел (т.е. отношения пары гиперцелых чисел ), см. построение действительных чисел . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle -n<x<n}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F/I}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F}$

Вариации комплексных плоскостей

Частные , и все изоморфны и поначалу не вызывают особого интереса. Но заметьте, что в геометрической алгебре называется плоскостью двойственных чисел . Она состоит только из линейных двучленов как «остатков» после сокращения элемента на . Эта вариация комплексной плоскости возникает как подалгебра всякий раз, когда алгебра содержит действительную прямую и нильпотентный . ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X+1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ ${\displaystyle X^{2}}$

Более того, кольцевое частное расщепляется на и , поэтому это кольцо часто рассматривается как прямая сумма . Тем не менее, вариация комплексных чисел предлагается как корень из , по сравнению с как корень из . Эта плоскость расщепленных комплексных чисел нормализует прямую сумму , предоставляя основу для 2-пространства, где тождество алгебры находится на единичном расстоянии от нуля. С этой основой единичную гиперболу можно сравнить с единичной окружностью обычной комплексной плоскости . ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X+1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$ ${\displaystyle z=x+yj}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle X^{2}-1=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X^{2}+1=0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left\lbrace 1,j\right\rbrace }$

Кватернионы и вариации

Предположим, что и являются двумя некоммутирующими неопределенностями и образуют свободную алгебру . Тогда кватернионы Гамильтона 1843 года можно представить как: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \langle X,Y\rangle }$ $${\displaystyle \mathbb {R} \langle X,Y\rangle /(X^{2}+1,\,Y^{2}+1,\,XY+YX)}$$

Если заменить на , то получим кольцо расщепленных кватернионов . Свойство антикоммутативности подразумевает, что имеет в качестве квадрата: ${\displaystyle Y^{2}-1}$ ${\displaystyle Y^{2}+1}$ ${\displaystyle YX=-XY}$ ${\displaystyle XY}$ $${\displaystyle (XY)(XY)=X(YX)Y=-X(XY)Y=-(XX)(YY)=-(-1)(+1)=+1}$$

Замена минуса на плюс в обоих квадратных двучленах также приводит к раздельным кватернионам.

Три типа бикватернионов также можно записать в виде частных, используя свободную алгебру с тремя неизвестными и построив соответствующие идеалы. ${\displaystyle \mathbb {R} \langle X,Y,Z\rangle }$

Характеристики

Очевидно, если — коммутативное кольцо , то и ; обратное, однако, в общем случае неверно. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$

Естественное фактор-отображение имеет своим ядром ; поскольку ядром каждого кольцевого гомоморфизма является двусторонний идеал, мы можем утверждать, что двусторонние идеалы являются в точности ядрами кольцевых гомоморфизмов. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle I}$

Тесную связь между гомоморфизмами колец, ядрами и фактор-кольцами можно резюмировать следующим образом: гомоморфизмы колец, определенные на , по сути, совпадают с гомоморфизмами колец, определенными на , которые обращаются в нуль (т.е. равны нулю) на . Точнее, если заданы двусторонний идеал в и гомоморфизм колец , ядро ​​которого содержит , то существует ровно один гомоморфизм колец с (где — естественное отображение фактор-кольца ). Отображение здесь задается хорошо определенным правилом для всех в . Действительно, это универсальное свойство можно использовать для определения фактор-колец и их естественных отображений фактор-кольца. ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle g:R/I\to S}$ ${\displaystyle gp=f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g([a])=f(a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$

Как следствие вышесказанного, получаем фундаментальное утверждение: каждый гомоморфизм колец индуцирует изоморфизм колец между фактор-кольцом и образом . (См. также: Основная теорема о гомоморфизмах .) ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle R/\ker(f)}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (f)}$

Идеалы и тесно связаны: естественное факторное отображение обеспечивает биекцию между двусторонними идеалами , которые содержат , и двусторонними идеалами (то же самое верно для левых и правых идеалов). Эта связь между двусторонним идеалом распространяется на связь между соответствующими факторными кольцами: если — двусторонний идеал в , который содержит , и мы записываем для соответствующего идеала в (т.е. ), факторные кольца и естественно изоморфны посредством (хорошо определенного) отображения . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M/I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle M/I=p(M)}$ ${\displaystyle R/M}$ ${\displaystyle (R/I)/(M/I)}$ ${\displaystyle a+M\mapsto (a+I)+M/I}$

Следующие факты оказываются полезными в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии : для коммутативности является полем тогда и только тогда, когда является максимальным идеалом , в то время как является областью целостности тогда и только тогда, когда является простым идеалом . Ряд подобных утверждений связывают свойства идеала со свойствами фактор-кольца . ${\displaystyle R\neq \lbrace 0\rbrace }$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$

Китайская теорема об остатках утверждает, что если идеал является пересечением (или, что эквивалентно, произведением) попарно взаимно простых идеалов , то фактор-кольцо изоморфно произведению фактор -колец . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{k}}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle R/I_{n},\;n=1,\ldots ,k}$

Для алгебр над кольцом

Ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом сама является кольцом. Если — идеал в (замкнутый относительно -умножения), то наследует структуру алгебры над и является фактор-алгеброй . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A/I}$ ${\displaystyle R}$

Смотрите также

• Сопутствующее градуированное кольцо
• Поле остатков
• Теорема Голди
• Модуль частного

Примечания

1. Якобсон, Натан (1984). Структура колец (пересмотренное издание). Американское математическое общество. ISBN 0-821-87470-5.
2. Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9.
3. Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Springer . ISBN 0-387-95385-X.

Дополнительные ссылки

• Ф. Каш (1978) Модули и кольца , перевод Д. А. Р. Уоллеса (1982) Модули и кольца , Academic Press , стр. 33.
• Нил Х. Маккой (1948) Кольца и идеалы , §13 Кольца вычетных классов, стр. 61, Математические монографии Каруса № 8, Математическая ассоциация Америки .
• Джозеф Ротман (1998). Теория Галуа (2-е изд.). Спрингер. стр. 21–23. ISBN 0-387-98541-7.
• BL van der Waerden (1970) Алгебра , перевод Фреда Блюма и Джона Р. Шуленбергера, Frederick Ungar Publishing, Нью-Йорк. См. главу 3.5, «Идеалы. Кольца классов вычетов», стр. 47–51.

Внешние ссылки

• «Частное кольцо», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Идеалы и фактор-кольца из книги Джона Бичи «Абстрактная алгебра онлайн»