Справедливое распределение вещей и денег

Справедливое распределение вещей и денег — это класс задач справедливого распределения вещей , в которых в процессе распределения можно давать или брать деньги у некоторых участников. Без денег может оказаться невозможным справедливо распределить неделимые вещи. Например, если есть одна вещь и два человека, и вещь должна быть отдана целиком одному из них, распределение будет несправедливым по отношению к другому. Денежные выплаты позволяют достичь справедливости, как объясняется ниже.

Два агента и один предмет

При наличии двух агентов и одного предмета можно добиться справедливости, используя следующий простой алгоритм (который является вариантом метода « разрежь и выбери »):

• Алиса называет цену p , которую она готова заплатить за товар.
• Джордж выбирает, взять ли предмет и заплатить p или оставить предмет Алисе, чтобы Алиса заплатила p .

Алгоритм всегда выдает распределение без зависти . Если у агентов квазилинейные полезности , то есть их полезность равна стоимости предметов плюс сумма денег, которая у них есть, то распределение также пропорционально . Если Джордж думает, что цена Алисы низкая (он готов заплатить больше, чем p ), то он берет предмет и платит p , и его полезность положительна, поэтому он не завидует Алисе. Алиса тоже не завидует Джорджу, поскольку его полезность — в ее глазах — равна 0. Аналогично, если Джордж думает, что цена Алисы высокая (он готов заплатить p или больше), то он оставляет предмет Алисе и не завидует, поскольку полезность Алисы в его глазах отрицательна.

Уплаченные деньги p могут быть впоследствии разделены поровну между игроками, поскольку равный денежный перевод не влияет на относительные полезности. Тогда, по сути, агент по покупке платит p /2 агенту по продаже. Общая полезность каждого агента составляет не менее 1/2 его/ее полезности для товара. Если агенты имеют разные права , то уплаченные деньги p должны быть разделены между партнерами пропорционально их правам.

Существуют различные работы, расширяющие эту простую идею до более чем двух игроков и более сложных настроек. Основным критерием справедливости в этих работах является отсутствие зависти . Кроме того, некоторые работы рассматривают настройку, в которой доброжелательная третья сторона готова субсидировать распределение, но хочет минимизировать размер субсидии, подлежащей отсутствию зависти. Эта проблема называется распределением без зависти с минимальной субсидией .

Агенты единичного спроса

Агенты единичного спроса заинтересованы максимум в одном товаре.

Гармония аренды

Частным случаем этой ситуации является раздел комнат в квартире между арендаторами. Она характеризуется тремя требованиями: (a) количество агентов равно количеству предметов, (b) каждый агент должен получить ровно один предмет (комнату), (c) общая сумма денег, выплачиваемая агентами, должна равняться фиксированной константе, которая представляет собой общую арендную плату за квартиру. Это известно как проблема Rental Harmony .

Более общие настройки

В целом, в экономической литературе принято считать, что каждый агент имеет функцию полезности на связках (связка — это пара из объекта и определенной суммы денег). Функция полезности должна быть непрерывной и возрастающей в деньгах. Она не обязательно должна быть линейной в деньгах, но должна быть «архимедовой», т. е. существует некоторое значение V , такое, что для каждых двух объектов j и k полезность объекта j плюс V должна быть больше полезности объекта k (в качестве альтернативы полезность получения объекта j бесплатно больше полезности получения объекта k и уплаты V ). Квазилинейная полезность — это частный случай архимедовой полезности, в котором V — это наибольшая разница значений (для одного и того же агента) между двумя объектами.

Свенссон ^[1] впервые доказал, что когда все агенты являются архимедовыми, распределение без зависти существует и является оптимальным по Парето.

Деманж, Гейл и Сотомайор ^[2] продемонстрировали естественный восходящий аукцион, который обеспечивает распределение без зависти с использованием денежных выплат агентам единичного спроса.

Маскин ^[3] доказал существование Парето-оптимального распределения без зависти, когда общий денежный запас превышает ( n-1 ) V. Доказательства используют конкурентное равновесие .

Обратите внимание, что может потребоваться субсидия в размере ( n -1) V : если все агенты оценивают один объект в V , а другие объекты в 0, то для отсутствия зависти требуется субсидия в размере V для каждого агента, который не получает объект.

Таденума и Томсон ^[4] изучают несколько свойств согласованности правил распределения без зависти.

Арагонес ^[5] характеризует минимальный размер субсидии, необходимый для отсутствия зависти. Распределение, которое достигает этой минимальной субсидии, почти уникально: существует только один способ объединить объекты с агентами, и все агенты безразличны среди всех распределений с минимальной субсидией. Это совпадает с решением, называемым «решением денег-Роулса» Алкана, Деманжа и Гейла. ^[6] Его можно найти за полиномиальное время, найдя паросочетание с максимальным весом, а затем найдя кратчайшие пути в определенном индуцированном графе.

Клин ^[7] представляет другой алгоритм полиномиального времени для той же настройки. Его алгоритм использует многогранник побочных платежей, которые делают заданное распределение свободным от зависти: этот многогранник непуст, если и только если исходное распределение является Парето-эффективным. Связность ненаправленного графа зависти характеризует крайние точки этого многогранника. Это подразумевает метод нахождения крайних распределений без зависти.

Добавки

Аддитивные агенты могут получать несколько объектов, поэтому проблема распределения становится более сложной — существует гораздо больше возможных распределений.

Аукцион Кнастера

Первая процедура справедливого распределения вещей и денег была изобретена Брониславом Кнастером и опубликована Гуго Штайнхаусом . ^{[8] [9]} Этот аукцион работает следующим образом, для каждого предмета отдельно:

• Каждый агент делает ставку на лот.
• Товар отдается участнику, предложившему самую высокую цену (ничьи разрываются произвольно).
• Победитель платит ( n -1)/ n своей ставки;
• Каждый из остальных агентов получает 1/ n от своей ставки;
• Поскольку победителем становится участник, предложивший самую высокую цену, возникает неотрицательный излишек; излишек делится поровну между агентами.

Полезность каждого агента составляет не менее 1/ n от ценности, которую он приписывает всему набору объектов, поэтому распределение пропорционально . ^[10] Более того, распределение максимизирует сумму полезностей, поэтому оно является эффективным по Парето .

Аукцион Кнастера не является стратегически защищенным . Некоторые исследователи проанализировали его эффективность, когда агенты играют стратегически:

• Эссен ^[11] доказывает, что распределение равновесия по-прежнему является Парето-эффективным, но может не быть пропорциональным ex-post. Однако в среднем агенты получают тот же результат, как если бы все были правдивы. То есть механизм является пропорциональным ex-ante.
• Фрагнелли и Марина ^[12] показывают, что даже агенты, которые абсолютно не склонны к риску, могут получить безопасную выгоду за счет совместного предоставления ложных отчетов о своих оценках, независимо от заявлений других агентов.

Аукцион Кнастера был адаптирован для справедливого распределения беспроводных каналов. ^[13]

Аукцион Райта

Маттиас Г. Райт ^[14] представил вариант аукциона Кнастера, который он назвал «Скорректированный Кнастер». Как и в аукционе Кнастера, каждый лот отдается тому, кто предложит самую высокую цену. Однако выплаты отличаются. Выплаты определяются следующим образом:

• Каждый агент, выигравший лот, платит свою ставку за этот лот;
• Общая сумма денег, выплачиваемая агентами, распределяется между ними пропорционально их ставкам.

Чтобы проиллюстрировать разницу между аукционом Кнастера и аукционом Рэйта, рассмотрим ситуацию с двумя предметами и двумя агентами со следующими значениями:

На обоих аукционах Джордж выигрывает оба лота, но выплаты различаются:

• На аукционе Кнастера Джордж платит 90, Алиса получает 10, а разница в 80 делится поровну, поэтому чистая полезность составляет 50, 130.
• На аукционе Рэйта Джордж платит 180, и эта сумма делится в соотношении 20:180 = 1:9, то есть Алиса получает 18, а Джордж — 162. Обратите внимание, что выплаты рассчитываются для всех предметов сразу, а не для каждого предмета отдельно.

В экспериментах с участием людей ^[15] было обнаружено, что участники предпочитают аукцион Рэйта (скорректированный Кнастер) методу «разделяй и выбирай» и пропорциональному Кнастеру (варианту, в котором каждый победитель платит 1/n выигрыша каждому проигравшему; в приведенном выше примере Джордж платит 90 Элис, а чистая полезность составляет 90, 90).

Процедура компенсации

Хааке, Райт и Су ^[16] представляют процедуру компенсации. Их процедура допускает произвольные ограничения на наборы предметов, пока они анонимны (не различают партнеров по признаку их идентичности). Например, ограничений может не быть вообще или может быть ограничение типа «каждый партнер должен получить по крайней мере определенное количество предметов», или «некоторые предметы должны быть объединены вместе» (например, потому что это земельные участки, которые должны оставаться связанными) и т. д. «Предметы» могут иметь как положительную, так и отрицательную полезность. Для партнера существует «требование квалификации»: сумма его ставок должна быть не менее общей стоимости. Процедура работает следующим образом.

1. Найдите распределение maxsum ( утилитарное ) — распределение с наивысшей суммой полезностей, которое удовлетворяет ограничениям на наборы элементов. Если ограничений нет, то распределение, которое дает каждый элемент партнеру с наивысшей оценкой, является maxsum. Если есть ограничения (например, «по крайней мере один элемент на партнера»), то распределение maxsum может быть сложнее найти.
2. Взимать с каждого партнера стоимость выделенного ему пакета. Это создает начальный денежный пул.
3. Оплатить стоимость из первоначального пула. Если все партнеры удовлетворяют квалификационным требованиям, то денег в пуле достаточно, и может остаться некоторый излишек .
4. Устраните зависть, компенсируя завистливых партнеров. Существует максимум раундов компенсации. Процедура полностью описательная и четко указывает, какие компенсации должны быть сделаны и в каком порядке. Более того, она достаточно проста для выполнения без компьютерной поддержки. ${\displaystyle n-1}$
5. Сумма компенсаций, сделанных во всех раундах, является наименьшей суммой, которая требуется для устранения зависти, и она никогда не превышает излишек. Если остается какой-то излишек, его можно разделить любым способом, который не создает зависти, например, дав каждому партнеру равную сумму (в статье обсуждаются другие варианты, которые можно считать «более справедливыми»).

Когда есть много элементов и сложных ограничений, начальный шаг — поиск распределения maxsum — может быть трудно вычислить без компьютера. В этом случае процедура компенсации может начаться с произвольного распределения. В этом случае процедура может завершиться распределением, содержащим envy-cycles . Эти циклы можно удалить, перемещая пакеты по циклу, как в процедуре envy-graph . Это строго увеличивает общую сумму полезностей. Следовательно, после ограниченного числа итераций будет найдено распределение maxsum, и процедура может продолжаться, как указано выше, для создания распределения без зависти.

Процедура компенсации может взимать с некоторых партнеров отрицательную плату (т.е. давать партнерам положительную сумму денег). Авторы говорят:

«мы не исключаем возможности того, что индивидуум может в конечном итоге получить плату от других за то, чтобы взять набор товаров. В контексте справедливого дележа мы не считаем это вообще проблематичным. Действительно, если группа не желает исключать ни одного из своих членов, то нет никаких причин, по которым группа не должна субсидировать члена за получение нежелательного набора. Более того, требование квалификации гарантирует, что субсидирование никогда не является следствием недостаточной оценки игроком полного набора объектов, подлежащих распределению». ^{[16] : 746}

Минимальные процедуры субсидирования

Некоторые работы предполагают, что благожелательная третья сторона готова субсидировать распределение, но хочет минимизировать размер субсидии, подлежащей свободе от зависти. Эта проблема называется распределением без зависти с минимальной субсидией .

Халперн и Шах ^[17] изучают минимизацию субсидий в условиях общего распределения товаров. Они рассматривают два случая:

1. Распределение дается заранее. В этом случае оно «свободно от зависти», если и только если оно максимизирует сумму полезностей по всем переназначениям своих наборов агентам, если и только если его граф зависти не имеет циклов. Цену без зависти с минимальной субсидией можно вычислить за сильно полиномиальное время, построив взвешенный граф зависти и дав каждому агенту i цену, равную максимальному весу пути, исходящего из i . Вес каждого пути не превышает суммы m членов, каждый из которых является ценностью некоторого агента для некоторого товара. В частности, если ценность каждого товара для каждого агента не превышает V , то вес каждого пути не превышает mV . Поскольку мы всегда можем снизить цены таким образом, чтобы один агент получил нулевую субсидию, отсюда следует, что всегда существует распределение без зависти с субсидией не более ( n -1) mV . Эта субсидия может быть необходима, например, когда все товары идентичны, и один агент получает их все.
2. Распределение может быть выбрано. В этом случае субсидия в размере ( n -1) V достаточна в следующих случаях:
   • Когда оценки агентов являются бинарными (0 или 1). Тогда любое распределение максимального продукта или лексимин-оптимальное распределение требует максимум ( n -1) V субсидии и может быть найдено за полиномиальное время. Вычисление минимальной субсидии, необходимой для достижения EF, эквивалентно по Тьюрингу проверке существования распределения без зависти, что является NP-трудным, если ограничено нерасточительным распределением.
   • Когда все агенты имеют одинаковую аддитивную оценку. Тогда каждое распределение является свободным от зависти. Распределение, требующее не более ( n -1) V субсидии, может быть найдено за полиномиальное время. Распределение минимизирует субсидию тогда и только тогда, когда оно минимизирует максимальную полезность для любого агента. Вычисление такого распределения является NP-трудным и может быть решено алгоритмом max-product.
   • При наличии двух агентов циклическое распределение элементов с определенным порядком агентов позволяет найти распределение, свободное от зависти, с субсидией не более V.

Брустл, Диппель, Нараян, Сузуки и Ветта ^[18] улучшают верхние границы требуемой субсидии:

• При аддитивных оценках субсидия не более V на агента и не более ( n -1) V в целом всегда достаточна. Более того, существует распределение, достигающее этой границы, которое также является EF1 и сбалансированным (мощности распределенных наборов отличаются не более чем на один товар). Его можно вычислить за полиномиальное время с помощью простого алгоритма: итеративно найти соответствие с максимальным весом в двудольном графе агентов-объектов .
• При общих монотонных оценках субсидия не более 2( n -1) V на агента и не более O( n ² V ) всегда достаточна. В частности, требуемая субсидия не зависит от количества объектов. Распределение, достигающее этой границы, может быть вычислено за полиномиальное время с использованием запросов значений.

Карагианнис и Иоаннидис ^[19] изучают вычислительную задачу минимизации субсидии:

• Для постоянного числа агентов они представляют алгоритм, который аппроксимирует минимальный размер субсидий с любой требуемой точностью. Для любого ε > 0 он находит распределение с субсидией не более , где S — максимальное значение, которое агент назначает всем объектам. Алгоритм использует динамическое программирование и работает за время . ${\displaystyle OPT+\varepsilon \cdot S}$ ${\displaystyle O((m/\varepsilon )^{n^{2}+1})}$
• Для переменного числа агентов тривиальный алгоритм приближения достигает . Однако достижение коэффициента приближения, независимого от n , является сложным: NP-сложно вычислить распределение с субсидией не более . Доказательство заключается в редукции из ограниченного варианта максимального 3-мерного соответствия , в котором каждая вершина появляется ровно дважды. ${\displaystyle OPT+(n-1)\cdot S}$ ${\displaystyle OPT+3\cdot 10^{-4}\cdot S}$

Обратите внимание, что распределение без зависти с субсидией остается свободным от зависти, если фиксированная сумма берется с каждого агента. Поэтому аналогичные методы можно использовать для поиска распределений, которые не субсидируются:

• Взимание с каждого агента средней оплаты дает распределение без зависти, которое также сбалансировано по бюджету . Минимизация субсидии эквивалентна минимизации максимальной суммы, которую должен заплатить любой отдельный агент.
• Также можно использовать отрицательную субсидию (налог), минимизируя при этом общую сумму, которую должны заплатить все агенты.

Дополнительные процедуры

Алкан, Деманж и Гейл ^[6] показали, что распределение без зависти всегда существует, когда сумма денег достаточно велика. Это верно даже тогда, когда элементы могут иметь отрицательные оценки.

Меертенс, Поттерс и Рейньерс ^[20] доказывают существование свободных от зависти и оптимальных по Парето распределений при очень мягких предположениях об оценках (не обязательно квазилинейных).

Кавалло ^[21] обобщает традиционные бинарные критерии отсутствия зависти, пропорциональности и эффективности (благосостояния) до мер степени, которые находятся в диапазоне от 0 до 1. В канонических условиях справедливого деления при любом механизме с эффективным распределением ресурсов наихудший уровень благосостояния равен 0, а уровень диспропорциональности равен 1; другими словами, наихудшие результаты настолько плохи, насколько это возможно. Он ищет механизм, который достигает высокого благосостояния, низкой зависти и низкой диспропорциональности в ожиданиях в спектре условий справедливого деления. Механизм VCG не является удовлетворительным кандидатом, но механизм перераспределения Бейли ^[22] и Кавалло ^[23] является таковым.

Связанные проблемы

Ценообразование без зависти

При продаже объектов покупателям сумма платежей заранее не фиксируется, и цель состоит в том, чтобы максимизировать либо доход продавца, либо общественное благосостояние, при условии отсутствия зависти. Кроме того, количество объектов может отличаться от количества агентов, и некоторые объекты могут быть отброшены. Это известно как проблема ценообразования без зависти .

Многомерные цели

Часто, помимо справедливости, необходимо достичь и других целей. Например, при назначении задач агентам требуется как избегать зависти, так и минимизировать время выполнения (время завершения последнего агента). Муалем представляет общую структуру для задач оптимизации с гарантией отсутствия зависти, которая естественным образом расширяет справедливое распределение предметов с использованием денежных выплат. ^[24]

Азиз ^[25] стремится достичь, используя денежные переводы, распределения, которое является как свободным от зависти, так и справедливым . Он изучает не только аддитивные положительные полезности, но также любые супераддитивные полезности , как положительные, так и отрицательные:

• Для супераддитивных полезностей существует алгоритм с полиномиальным временем выполнения, который обеспечивает отсутствие зависти, справедливость и сбалансированность бюджета (легко заменить сбалансированность бюджета субсидией).
• Если данное распределение является конвертируемым в EFEQ, то минимальную субсидию, необходимую для того, чтобы сделать его EF+EQ, можно найти за линейное время.
• Поиск распределения, которое является EFEQ-конвертируемым с минимальной субсидией, является NP-трудным и не может быть аппроксимировано в пределах любого положительного фактора. Это просто потому, что проверка существования распределения EF (которое требует 0 субсидий) является NP-трудным.
• Субсидия в размере не более ( n -1) мВ всегда достаточна и может быть необходима независимо от того, предоставлено ли распределение или нет.

Смотрите также

• Распределение предметов без зависти — обстановка без денежных переводов.
• ^[26]

Ссылки

1. Свенссон, Ларс-Гуннар (1983). «Крупные неделимые: анализ с учетом ценового равновесия и справедливости». Econometrica . 51 (4): 939–954. doi :10.2307/1912044. ISSN  0012-9682. JSTOR  1912044.
2. Деманж Г., Гейл Д., Сотомайор М. (1986). «Многопредметные аукционы». Журнал политической экономии . 94 (4): 863–872. doi :10.1086/261411. JSTOR  1833206. S2CID  154114302.
3. Маскин, Эрик С. (1987), Фейвел, Джордж Р. (ред.), «О справедливом распределении неделимых благ», Arrow и основы теории экономической политики , Лондон: Palgrave Macmillan UK, стр. 341–349, doi :10.1007/978-1-349-07357-3_12, ISBN 978-1-349-07357-3, получено 2021-02-16
4. Таденума, Коити; Томсон, Уильям (1991). «Отсутствие зависти и последовательность в экономиках с неделимыми товарами». Econometrica . 59 (6): 1755–1767. doi :10.2307/2938288. ISSN  0012-9682. JSTOR  2938288.
5. Арагонес, Энрикета (1995). «Вывод денежного решения Роулса». Social Choice and Welfare . 12 (3): 267–276. doi :10.1007/BF00179981. ISSN  0176-1714. JSTOR  41106132. S2CID  154215964.
6. Alkan, Ahmet; Demange, Gabrielle; Gale, David (1991). «Справедливое распределение неделимых благ и критерии справедливости». Econometrica . 59 (4): 1023–1039. doi :10.2307/2938172. ISSN  0012-9682. JSTOR  2938172.
7. Клин, Флип (2000-03-01). «Алгоритм для распределения без зависти в экономике с неделимыми объектами и деньгами». Социальный выбор и благосостояние . 17 (2): 201–215. doi :10.1007/s003550050015. ISSN  1432-217X. S2CID  18544150.
8. Штейнхаус, Хьюго (1948). «Проблема справедливого дележа». Econometrica . 16 (1): 101–4. JSTOR  1914289.
9. Штайнхаус, Х. (1949). «Сюр-ла-прагматический отдел». Эконометрика . 17 : 315–319. дои : 10.2307/1907319. ISSN  0012-9682. JSTOR  1907319.
10. Брамс, Стивен Дж.; Килгур, Д. Марк (2001). «Конкурсно-ярмарочный отдел». Журнал политической экономии . 109 (2): 418. дои : 10.1086/319550. S2CID  154200252.
11. Ван Эссен, Мэтт (2013-03-01). "Анализ равновесия процедуры справедливого деления Кнастера". Игры . 4 (1): 21–37. doi : 10.3390/g4010021 . hdl : 10419/98565 . ISSN  2073-4336.
12. Фрагнелли, Вито; Марина, Мария Эрминия (2009). «Стратегические манипуляции и сговоры в процедуре Кнастера». Czech Economic Review . 3 (2): 143–153.
13. Кёппен, Марио; Охниши, Кей; Цуру, Масато (2013-07-01). «Процедура Кнастера для пропорционального справедливого распределения беспроводных каналов». IEEE 37th Annual Computer Software and Applications Conference Workshops 2013. стр. 616–620. doi :10.1109/COMPSACW.2013.100. ISBN 978-1-4799-2159-1. S2CID  14873917.
14. Райт, Маттиас Г. (2000-05-01). «Процедуры честных переговоров». Математические социальные науки . 39 (3): 303–322. doi :10.1016/S0165-4896(99)00032-3. ISSN  0165-4896.
15. Шнайдер, Джеральд; Кремер, Ульрике Сабрина (2004). «Ограничения справедливого разделения: экспериментальная оценка трех процедур». Журнал разрешения конфликтов . 48 (4): 506–524. doi :10.1177/0022002704266148. JSTOR  4149806. S2CID  18162264.
16. Haake, Claus-Jochen; Raith, Matthias G.; Su, Francis Edward (2002). «Ставки на свободу от зависти: процедурный подход к проблемам справедливого разделения для n игроков». Social Choice and Welfare . 19 (4): 723. CiteSeerX 10.1.1.26.8883 . doi :10.1007/s003550100149. S2CID  2784141. 
17. Halpern, Daniel; Shah, Nisarg (2019). «Справедливое разделение с субсидией». В Fotakis, Dimitris; Markakis, Evangelos (ред.). Алгоритмическая теория игр . Конспект лекций по информатике. Том 11801. Cham: Springer International Publishing. стр. 374–389. doi :10.1007/978-3-030-30473-7_25. ISBN 978-3-030-30473-7. S2CID  143425023.
18. Brustle, Johannes; Dippel, Jack; Narayan, Vishnu V.; Suzuki, Mashbat; Vetta, Adrian (2020-07-13). «Один доллар каждый устраняет зависть». Труды 21-й конференции ACM по экономике и вычислениям . EC '20. Виртуальное мероприятие, Венгрия: Ассоциация вычислительной техники. стр. 23–39. arXiv : 1912.02797 . doi :10.1145/3391403.3399447. ISBN 978-1-4503-7975-5. S2CID  208637311.
19. Карагианнис, Иоаннис; Иоаннидис, Ставрос (2020-02-06). «Вычисление распределений, свободных от зависти, с ограниченными субсидиями». arXiv : 2002.02789 [cs.GT].
20. Meertens, Marc; Potters, Jos; Reijnierse, Hans (2002-12-01). «Распределения без зависти и Парето-эффективные в экономиках с неделимыми товарами и деньгами». Математические социальные науки . 44 (3): 223–233. doi :10.1016/S0165-4896(02)00064-1. ISSN  0165-4896.
21. Руджеро Кавалло (2012). Справедливость и благосостояние через перераспределение, когда полезность передаваема (PDF) . AAAI-12.
22. Бейли, Мартин Дж. (1997). «Процесс выявления спроса: распределение излишков». Public Choice . 91 (2): 107–126. doi :10.1023/A:1017949922773. S2CID  152637454.
23. Кавалло, Руджеро (2006). «Оптимальное принятие решений с минимальными отходами». Труды пятой международной совместной конференции по автономным агентам и многоагентным системам - AAMAS '06 . стр. 882. doi :10.1145/1160633.1160790. ISBN 1595933034.
24. Mu'alem A (2014). «Справедливость по замыслу: многомерные механизмы, свободные от зависти». Игры и экономическое поведение . 88 : 29–46. doi :10.1016/j.geb.2014.08.001.
25. Азиз, Харис (18.05.2021). «Достижение свободы от зависти и справедливости с помощью денежных переводов». Труды конференции AAAI по искусственному интеллекту . 35 (6): 5102–5109. arXiv : 2003.08125 . doi : 10.1609/aaai.v35i6.16645. ISSN  2374-3468. S2CID  212747875.
26. Нараян, Вишну В.; Сузуки, Машбат; Ветта, Адриан (2021). «Двух зайцев одним выстрелом: справедливость и благосостояние через трансферты». В Caragiannis, Ioannis; Hansen, Kristoffer Arnsfelt (ред.). Алгоритмическая теория игр . Конспект лекций по информатике. Том 12885. Cham: Springer International Publishing. стр. 376–390. arXiv : 2106.00841 . doi :10.1007/978-3-030-85947-3_25. ISBN 978-3-030-85947-3. S2CID  235294139.