Линеаризация обратной связи

Подход, используемый при управлении нелинейными системами

Блок-схема, иллюстрирующая линеаризацию обратной связи нелинейной системы

Линеаризация обратной связи является общей стратегией, используемой в нелинейном управлении для управления нелинейными системами . Методы линеаризации обратной связи могут применяться к нелинейным системам управления вида

где - состояние, - входы. Подход включает преобразование нелинейной системы управления в эквивалентную линейную систему управления посредством замены переменных и подходящего управляющего входа. В частности, ищутся изменения координат и управляющего входа так, чтобы динамика в координатах приняла форму линейной, управляемой системы управления, ${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle u_{1}(t),\ldots ,u_{m}(t)\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle z=\Phi (x)}$ ${\displaystyle u=a(x)+b(x)\,v,}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle z(t)}$

Затем для достижения цели управления можно применить стратегию управления внешнего контура для полученной линейной системы управления.

Линеаризация обратной связи систем SISO

Здесь рассмотрим случай линеаризации обратной связи системы с одним входом и одним выходом (SISO). Аналогичные результаты можно распространить на системы с несколькими входами и несколькими выходами (MIMO). В этом случае и . Цель состоит в том, чтобы найти преобразование координат , которое преобразует систему (1) в так называемую нормальную форму , которая выявит закон обратной связи вида ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle z=T(x)}$

который отобразит линейную карту вход-выход из нового входа в выход . Чтобы гарантировать, что преобразованная система является эквивалентным представлением исходной системы, преобразование должно быть диффеоморфизмом . То есть преобразование должно быть не только обратимым (т. е. биективным), но и преобразование, и его обратное должны быть гладкими , чтобы дифференцируемость в исходной системе координат сохранялась в новой системе координат. На практике преобразование может быть только локально диффеоморфным, и результаты линеаризации справедливы только в этой меньшей области. ${\displaystyle v\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle y}$

Для решения этой проблемы требуется несколько инструментов.

производная Ли

Целью линеаризации обратной связи является создание преобразованной системы, состояния которой являются выходом и его первыми производными. Чтобы понять структуру этой целевой системы, мы используем производную Ли . Рассмотрим производную по времени от (2), которую можно вычислить с помощью цепного правила , ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {y}}={\frac {{\mathord {\operatorname {d} }}h(x)}{{\mathord {\operatorname {d} }}t}}&={\frac {\partial h(x)}{\partial x}}{\dot {x}}\\&={\frac {\partial h(x)}{\partial x}}f(x)+{\frac {\partial h(x)}{\partial x}}g(x)u\end{aligned}}}$

Теперь мы можем определить производную Ли вдоль как , ${\displaystyle h(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle L_{f}h(x)\triangleq {\frac {\partial h(x)}{\partial x}}f(x),}$

и аналогично, производная Ли вдоль как, ${\displaystyle h(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle L_{g}h(x)\triangleq {\frac {\partial h(x)}{\partial x}}g(x).}$

Используя эту новую нотацию, мы можем выразить это как: ${\displaystyle {\dot {y}}}$

${\displaystyle {\dot {y}}=L_{f}h(x)+L_{g}h(x)u}$

Обратите внимание, что обозначение производных Ли удобно, когда мы берем несколько производных по одному и тому же векторному полю или по разным. Например,

${\displaystyle L_{f}^{2}h(x)=L_{f}L_{f}h(x)={\frac {\partial (L_{f}h(x))}{\partial x}}f(x),}$

и

${\displaystyle L_{g}L_{f}h(x)={\frac {\partial (L_{f}h(x))}{\partial x}}g(x).}$

Относительная степень

В нашей системе с обратной связью, линеаризованной из вектора состояния выхода и его первых производных, мы должны понимать, как вход поступает в систему. Для этого мы вводим понятие относительной степени. Говорят, что наша система, заданная (1) и (2), имеет относительную степень в точке, если, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {W} }$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle L_{g}L_{f}^{k}h(x)=0\qquad \forall x}$в районе и все ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle k\leq r-2}$

${\displaystyle L_{g}L_{f}^{r-1}h(x_{0})\neq 0}$

Рассматривая это определение относительной степени в свете выражения производной по времени выхода , мы можем считать относительную степень нашей системы (1) и (2) числом раз, которое нам приходится дифференцировать выход, прежде чем вход появится явно. В системе LTI относительная степень — это разница между степенью полинома знаменателя передаточной функции (т. е. числом полюсов ) и степенью полинома ее числителя (т. е. числом нулей ). ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u}$

Линеаризация по обратной связи

Для дальнейшего обсуждения мы предположим, что относительная степень системы равна . В этом случае после дифференцирования выходных времен мы имеем, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=h(x)\\{\dot {y}}&=L_{f}h(x)\\{\ddot {y}}&=L_{f}^{2}h(x)\\&\vdots \\y^{(n-1)}&=L_{f}^{n-1}h(x)\\y^{(n)}&=L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{aligned}}}$

где обозначение указывает на th производную от . Поскольку мы предположили, что относительная степень системы равна , производные Ли формы для все равны нулю. То есть, вход не имеет прямого вклада ни в одну из первых th производных. ${\displaystyle y^{(n)}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{g}L_{f}^{i}h(x)}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n-2}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle (n-1)}$

Координатное преобразование , которое приводит систему к нормальной форме, происходит из первых производных. В частности, ${\displaystyle T(x)}$ ${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle z=T(x)={\begin{bmatrix}z_{1}(x)\\z_{2}(x)\\\vdots \\z_{n}(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y\\{\dot {y}}\\\vdots \\y^{(n-1)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h(x)\\L_{f}h(x)\\\vdots \\L_{f}^{n-1}h(x)\end{bmatrix}}}$

преобразует траектории из исходной системы координат в новую систему координат. Пока это преобразование является диффеоморфизмом , гладкие траектории в исходной системе координат будут иметь уникальные аналоги в системе координат, которые также являются гладкими. Эти траектории будут описываться новой системой, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=L_{f}h(x)=z_{2}(x)\\{\dot {z}}_{2}&=L_{f}^{2}h(x)=z_{3}(x)\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{cases}}.}$

Следовательно, закон управления с обратной связью

${\displaystyle u={\frac {1}{L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)}}(-L_{f}^{n}h(x)+v)}$

визуализирует линейную карту ввода-вывода из в . Полученная линеаризованная система ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle z_{1}=y}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}&=z_{3}\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=v\end{cases}}}$

представляет собой каскад интеграторов, и управление внешним контуром может быть выбрано с использованием стандартной линейной системной методологии. В частности, закон управления с обратной связью по состоянию ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v=-Kz\qquad ,}$

где вектор состояния является выходом и его первыми производными, приводит к системе LTI ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle {\dot {z}}=Az}$

с,

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\-k_{1}&-k_{2}&-k_{3}&\ldots &-k_{n}\end{bmatrix}}.}$

Таким образом, при соответствующем выборе мы можем произвольно размещать полюса замкнутого контура линеаризованной системы. ${\displaystyle k}$

Нестабильная нулевая динамика

Линеаризация обратной связи может быть выполнена с системами, имеющими относительную степень меньше . Однако нормальная форма системы будет включать нулевую динамику (т. е. состояния, которые не наблюдаются из выходных данных системы), которые могут быть нестабильными. На практике нестабильная динамика может иметь пагубные последствия для системы (например, может быть опасно, чтобы внутренние состояния системы росли неограниченно). Эти ненаблюдаемые состояния могут быть контролируемыми или, по крайней мере, стабильными, и поэтому можно принять меры, чтобы гарантировать, что эти состояния не вызовут проблем на практике. Минимально-фазовые системы дают некоторое представление о нулевой динамике. ${\displaystyle n}$

Линеаризация обратной связи систем MIMO

Хотя NDI не обязательно ограничивается этим типом системы, давайте рассмотрим нелинейную систему MIMO, которая является аффинной по входу , как показано ниже. ${\displaystyle \mathbf {\mathbf {u} } }$

Предполагается, что количество входов равно количеству выходов. Допустим, есть входы и выходы. Тогда — матрица, где — векторы, составляющие ее столбцы. Кроме того, и . Чтобы использовать вывод, аналогичный выводу для SISO, систему из уравнения 4 можно разделить, изолировав каждый '-й выход , как показано в уравнении 5. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle G=[\mathbf {g} _{1}\,\mathbf {g} _{2}\,\cdots \,\mathbf {g} _{m}]}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle y_{i}}$

Аналогично SISO, можно показать, что вплоть до 'th производной от , термин . Здесь относится к относительной степени 'th выхода. Аналогично, это дает ${\displaystyle (r_{i}-1)}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle L_{g_{j}}h_{i}(\mathbf {x} )=0}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Решая этот вопрос так же, как и SISO, можно обнаружить, что определение виртуального входа таким образом, что ${\displaystyle v_{i}}$

линеаризует эту '-ю систему. Однако, если , очевидно, не может быть решена при заданном значении для . Однако, создание такого уравнения для всех выходов, , приводит к уравнениям вида, показанного в уравнении 7. Объединение этих уравнений приводит к матричному уравнению, которое в общем случае позволяет решить для входных данных , как показано ниже. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

Смотрите также

• Нелинейное управление

Дальнейшее чтение

• А. Исидори, Нелинейные системы управления, третье издание, Springer Verlag, Лондон, 1995.
• Х. К. Халил, Нелинейные системы, третье издание, Prentice Hall, Аппер Сэдл Ривер, Нью-Джерси, 2002.
• М. Видьясагар, Нелинейный системный анализ , второе издание, Prentice Hall, Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, 1993.
• Б. Фридланд, Advanced Control System Design , факсимильное издание, Prentice Hall, Аппер Сэддл Ривер, Нью-Джерси, 1996.

Ссылки

1. Исидори, Альберто (1995). Нелинейные системы управления (Третье изд.). Спрингер-Верлаг Лондон. п. 5. ISBN 978-1-4471-3909-6.
2. Х. Неймейер и А. ван дер Шафт, Нелинейные динамические системы управления, Springer-Verlag, стр. 163, 2016.
3. Исидори, Альберто (1995). Нелинейные системы управления (Третье изд.). Спрингер-Верлаг Лондон. п. 147. ИСБН 978-1-4471-3909-6.

Внешние ссылки

• Фабио Челани и Альберто Исидори, ред. (2009). "Линеаризация обратной связи". Scholarpedia . Получено 31 декабря 2022 г. .
• ECE 758: Моделирование и нелинейное управление однозвенным гибким сочлененным манипулятором – дает объяснение и применение линеаризации обратной связи.
• ECE 758: Пример линеаризации с использованием шарика в трубке – тривиальное применение линеаризации для системы, уже находящейся в нормальной форме (т.е. преобразование координат не требуется).
• Функции языка Wolfram для выполнения линеаризации обратной связи, вычисления относительных порядков и определения нулевой динамики.