Финитизм — это философия математики , которая принимает существование только конечных математических объектов . Его лучше всего понять в сравнении с основной философией математики, где бесконечные математические объекты (например, бесконечные множества ) принимаются как существующие.
Основная идея финитной математики — не признавать существование бесконечных объектов, таких как бесконечные множества. Хотя все натуральные числа принимаются как существующие, множество всех натуральных чисел не считается существующим как математический объект. Поэтому квантификация по бесконечным областям не считается осмысленной. Математическая теория, часто ассоциируемая с финитизмом, — это примитивная рекурсивная арифметика Торальфа Скулема .
Введение бесконечных математических объектов произошло несколько столетий назад, когда использование бесконечных объектов уже было спорной темой среди математиков. Проблема вступила в новую фазу, когда Георг Кантор в 1874 году представил то, что сейчас называется наивной теорией множеств , и использовал ее в качестве основы для своей работы о трансфинитных числах . Когда в наивной теории множеств Кантора были обнаружены такие парадоксы, как парадокс Рассела , парадокс Берри и парадокс Бурали-Форти , эта проблема стала горячей темой среди математиков.
Математики придерживались различных позиций. Все соглашались с тем, что существуют конечные математические объекты, такие как натуральные числа. Однако были разногласия относительно бесконечных математических объектов. Одной из позиций была интуиционистская математика , которую отстаивал Л. Э. Дж. Брауэр , который отвергал существование бесконечных объектов, пока они не построены.
Другая позиция была поддержана Дэвидом Гильбертом : конечные математические объекты являются конкретными объектами, бесконечные математические объекты являются идеальными объектами, и принятие идеальных математических объектов не вызывает проблемы относительно конечных математических объектов. Более формально, Гильберт считал, что можно показать, что любая теорема о конечных математических объектах, которая может быть получена с использованием идеальных бесконечных объектов, может быть получена и без них. Поэтому допущение бесконечных математических объектов не вызвало бы проблемы относительно конечных объектов. Это привело к программе Гильберта по доказательству как непротиворечивости , так и полноты теории множеств с использованием финитных средств, поскольку это означало бы, что добавление идеальных математических объектов является консервативным по сравнению с финитной частью. Взгляды Гильберта также связаны с формалистической философией математики . Цель Гильберта доказать непротиворечивость и полноту теории множеств или даже арифметики с использованием финитных средств оказалась невыполнимой задачей из-за теорем Курта Гёделя о неполноте . Однако великая гипотеза Харви Фридмана подразумевала бы, что большинство математических результатов доказуемы с использованием финитных средств.
Гильберт не дал строгого объяснения того, что он считал финитным и называл элементарным. Однако, основываясь на его работе с Полом Бернайсом, некоторые эксперты, такие как Тейт (1981), утверждали, что примитивную рекурсивную арифметику можно считать верхней границей того, что Гильберт считал финитной математикой. [1]
В результате теорем Гёделя, когда стало ясно, что нет никакой надежды доказать как непротиворечивость, так и полноту математики, а также с развитием, казалось бы, непротиворечивых аксиоматических теорий множеств , таких как теория множеств Цермело–Френкеля , большинство современных математиков не сосредотачиваются на этой теме.
В своей книге «Философия теории множеств » Мэри Тайлз охарактеризовала тех, кто допускает потенциально бесконечные объекты, как классических финитистов , а тех, кто не допускает потенциально бесконечные объекты, как строгих финитистов : например, классический финитист допускает такие утверждения, как «каждое натуральное число имеет последующее » и принимает осмысленность бесконечных рядов в смысле пределов конечных частичных сумм, в то время как строгий финитист — нет. Исторически письменная история математики была, таким образом, классически финитистской, пока Кантор не создал иерархию трансфинитных кардиналов в конце 19-го века.
Леопольд Кронекер оставался ярым противником теории множеств Кантора: [2]
Die ganzen Zahlen Hat der Libe Gott Gemacht, Alles Andere ist Menschenwerk. Бог создал целые числа; все остальное — дело рук человека.
- Лекция 1886 г. в Berliner Naturforscher-Versammlung [3]
Рубен Гудстейн был еще одним сторонником финитизма. Некоторые из его работ включали в себя построение анализа из финитистских основ.
Хотя Людвиг Витгенштейн отрицал это, многие его труды по математике имеют сильную связь с финитизмом. [4]
Если противопоставить финитистов трансфинитистам (сторонникам, например, иерархии бесконечностей Георга Кантора ), то и Аристотеля можно охарактеризовать как финитиста. Аристотель особенно пропагандировал потенциальную бесконечность как средний вариант между строгим финитизмом и актуальной бесконечностью (последняя является актуализацией чего-то бесконечного в природе, в отличие от актуальной бесконечности Кантора, состоящей из трансфинитных кардинальных и порядковых чисел, которые не имеют ничего общего с вещами в природе):
Но с другой стороны, предположение, что бесконечность не существует никоим образом, приводит, очевидно, ко многим невозможным следствиям: будет начало и конец времени, величина не будет делимой на величины, число не будет бесконечным. Если же, в силу вышеизложенных соображений, ни одна из альтернатив не представляется возможной, то следует призвать арбитра.
— Аристотель, Физика, Книга 3, Глава 6
Ультрафинитизм (также известный как ультраинтуиционизм) имеет еще более консервативное отношение к математическим объектам, чем финитизм, и возражает против существования конечных математических объектов, когда они слишком велики.
К концу 20-го века Джон Пенн Мейберри разработал систему финитной математики, которую он назвал «евклидовой арифметикой». Самым поразительным принципом его системы является полное и строгое отрицание особого основополагающего статуса, обычно присуждаемого итеративным процессам, включая, в частности, построение натуральных чисел путем итерации «+1». Следовательно, Мейберри резко не согласен с теми, кто пытается приравнять финитную математику к арифметике Пеано или любому из ее фрагментов, например, примитивной рекурсивной арифметике .