Теория конечных деформаций

Математическая модель для описания деформации материала под напряжением

В механике сплошной среды теория конечных деформаций — также называемая теорией больших деформаций или теорией больших деформаций — имеет дело с деформациями , в которых деформации и/или вращения достаточно велики, чтобы сделать недействительными предположения, присущие теории бесконечно малых деформаций . В этом случае недеформированные и деформированные конфигурации сплошной среды существенно различаются, что требует четкого различия между ними. Это обычно имеет место в случае эластомеров , пластически деформирующихся материалов и других жидкостей и биологических мягких тканей .

Поле смещения

Рисунок 1. Движение сплошного тела.

Смещение тела имеет две составляющие: смещение твердого тела и деформацию.

• Перемещение твердого тела заключается в одновременном перемещении и вращении тела без изменения его формы или размера.
• Деформация подразумевает изменение формы и/или размера тела от исходной или недеформированной конфигурации до текущей или деформированной конфигурации (рисунок 1). ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

Изменение конфигурации сплошного тела можно описать полем смещения . Поле смещения — это векторное поле всех векторов смещения для всех частиц тела, связывающее деформированную конфигурацию с недеформированной. Расстояние между любыми двумя частицами изменяется тогда и только тогда, когда произошла деформация. Если смещение происходит без деформации, то это смещение твердого тела.

Тензор градиента деформации

Рисунок 2. Деформация сплошного тела.

Тензор градиента деформации связан как с опорной, так и с текущей конфигурацией, как видно из единичных векторов и , поэтому он является двухточечным тензором . Можно определить два типа тензора градиента деформации. ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{K}\,\!}$

В силу предположения о непрерывности имеет обратное , где - тензор градиента пространственной деформации . Тогда по теореме о неявной функции [ ^1] определитель Якоби должен быть невырожденным , т.е. ${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {F} ^{-1}\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle J(\mathbf {X} ,t)}$ ${\displaystyle J(\mathbf {X} ,t)=\det \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\neq 0}$

Тензор градиента деформации материала — это тензор второго порядка , который представляет градиент функции отображения или функционального отношения , описывающего движение континуума . Тензор градиента деформации материала характеризует локальную деформацию в материальной точке с вектором положения , т. е. деформацию в соседних точках, путем преобразования ( линейного преобразования ) линейного элемента материала, исходящего из этой точки из опорной конфигурации в текущую или деформированную конфигурацию, предполагая непрерывность в функции отображения , т. е. дифференцируемую функцию от и времени , что подразумевает, что трещины и пустоты не открываются и не закрываются во время деформации. Таким образом, мы имеем, ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}}$ ${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {X} \,\!}$ ${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle t\,\!}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}\,dX_{K}\\&=\nabla \chi (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}=F_{jK}\,dX_{K}\,.\\&=\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \end{aligned}}}$$

Вектор относительного смещения

Рассмотрим частицу или материальную точку с вектором положения в недеформированной конфигурации (рисунок 2). После перемещения тела новое положение частицы, обозначенное в новой конфигурации, задается вектором положения . Системы координат для недеформированной и деформированной конфигурации можно наложить друг на друга для удобства. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {X} =X_{I}\mathbf {I} _{I}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}\,\!}$

Рассмотрим теперь материальную точку, соседствующую с , с вектором положения . В деформированной конфигурации эта частица имеет новое положение, заданное вектором положения . Предполагая, что отрезки и , соединяющие частицы и как в недеформированной, так и в деформированной конфигурации, соответственно, очень малы, то мы можем выразить их как и . Таким образом, из рисунка 2 имеем ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {X} +\Delta \mathbf {X} =(X_{I}+\Delta X_{I})\mathbf {I} _{I}\,\!}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} \,\!}$ ${\displaystyle \Delta X}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {x} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle d\mathbf {X} }$ ${\displaystyle d\mathbf {x} \,\!}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} +d\mathbf {x} &=\mathbf {X} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\d\mathbf {x} &=\mathbf {X} -\mathbf {x} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )-\mathbf {u} (\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\\end{aligned}}}$$

где — вектор относительного смещения , который представляет собой относительное смещение относительно в деформированной конфигурации. ${\displaystyle \mathbf {du} }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

приближение Тейлора

Для бесконечно малого элемента и предполагая непрерывность поля смещения, можно использовать разложение в ряд Тейлора вокруг точки , пренебрегая членами более высокого порядка, чтобы аппроксимировать компоненты относительного вектора смещения для соседней частицы как Таким образом, предыдущее уравнение можно записать как ${\displaystyle d\mathbf {X} \,\!}$ ${\displaystyle P\,\!}$ ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )&=\mathbf {u} (\mathbf {X} )+d\mathbf {u} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}=u_{i}+du_{i}\\&\approx \mathbf {u} (\mathbf {X} )+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}\approx u_{i}+{\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{J}}}dX_{J}\,.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle d\mathbf {x} =d\mathbf {X} +d\mathbf {u} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\&=d\mathbf {X} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \\&=\left(\mathbf {I} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right)d\mathbf {X} \\&=\mathbf {F} d\mathbf {X} \end{aligned}}}$$

Производная по времени градиента деформации

Расчеты, включающие деформацию тела, зависящую от времени, часто требуют вычисления производной по времени градиента деформации. Геометрически последовательное определение такой производной требует экскурса в дифференциальную геометрию ^[2], но в этой статье мы избегаем этих вопросов.

Производная по времени равна , где — (материальная) скорость. Производная в правой части представляет собой градиент материальной скорости . Обычно ее преобразуют в пространственный градиент, применяя цепное правило для производных, т. е. где — пространственный градиент скорости , а где — пространственная (эйлерова) скорость при . Если пространственный градиент скорости постоянен во времени, приведенное выше уравнение можно решить точно, чтобы получить , предположив при . Существует несколько методов вычисления экспоненты выше. ${\displaystyle \mathbf {F} }$ $${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]}$$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ $${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t),t)\right]=\left.{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right]\right|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}\cdot {\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}={\boldsymbol {l}}\cdot \mathbf {F} }$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {l}}=(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {v} )^{T}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}$ $${\displaystyle \mathbf {F} =e^{{\boldsymbol {l}}\,t}}$$ ${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {1} }$ ${\displaystyle t=0}$

Связанные величины, часто используемые в механике сплошной среды, — это тензор скорости деформации и тензор спина , определяемые соответственно следующим образом: тензор скорости деформации определяет скорость растяжения линейных элементов, тогда как тензор спина указывает скорость вращения или вихреобразования движения. $${\displaystyle {\boldsymbol {d}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}+{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,,~~{\boldsymbol {w}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}-{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,.}$$

Материальная производная по времени обратной величины градиента деформации (сохраняя фиксированную исходную конфигурацию) часто требуется в анализах, включающих конечные деформации. Эта производная равна Вышеуказанное соотношение можно проверить, взяв материальную производную по времени и отметив, что . $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {F} ^{-1}\right)=-\mathbf {F} ^{-1}\cdot {\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\,.}$$ ${\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} =d\mathbf {X} }$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}=0}$

Полярное разложение тензора градиента деформации

Рисунок 3. Представление полярного разложения градиента деформации

Градиент деформации , как и любой обратимый тензор второго порядка, может быть разложен, используя теорему о полярном разложении , в произведение двух тензоров второго порядка (Трусделл и Нолл, 1965): ортогонального тензора и положительно определенного симметричного тензора, т. е., где тензор является собственным ортогональным тензором, т. е., и , представляющим вращение; тензор является правым тензором растяжения ; и левым тензором растяжения . Термины правый и левый означают, что они находятся справа и слева от тензора вращения , соответственно. и оба положительно определены , т. е. и для всех ненулевых , и симметричных тензоров , т. е. и , второго порядка. ${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$ $${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {R} \mathbf {U} =\mathbf {V} \mathbf {R} }$$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{-1}=\mathbf {R} ^{T}}$ ${\displaystyle \det \mathbf {R} =+1\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {x} >0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {V} \cdot \mathbf {x} >0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {U} =\mathbf {U} ^{T}}$ ${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {V} ^{T}\,\!}$

Это разложение подразумевает, что деформация линейного элемента в недеформированной конфигурации на в деформированной конфигурации, т. е. , может быть получена либо путем первоначального растяжения элемента на , т. е . , с последующим поворотом , т. е. ; или, что эквивалентно, путем применения сначала жесткого поворота , т. е. , с последующим растяжением , т. е. (см. рисунок 3). ${\displaystyle d\mathbf {X} }$ ${\displaystyle d\mathbf {x} }$ ${\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {U} \,d\mathbf {X} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {x} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {X} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {V} \,d\mathbf {x} }$

Из-за ортогональности так что и имеют одинаковые собственные значения или главные протяжения , но разные собственные векторы или главные направления и , соответственно. Главные направления связаны соотношением ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {R} ^{T}}$$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ ${\displaystyle \mathbf {N} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!}$ $${\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} \mathbf {N} _{i}.}$$

Это полярное разложение, которое является единственным, поскольку обратимо с положительным определителем, является следствием сингулярного разложения . ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Преобразование элемента поверхности и объема

Для преобразования величин, определенных относительно площадей в деформированной конфигурации, в величины, определенные относительно площадей в эталонной конфигурации, и наоборот, мы используем соотношение Нансона , выражаемое как, где — площадь области в деформированной конфигурации, — та же площадь в эталонной конфигурации, — внешняя нормаль к элементу площади в текущей конфигурации, — внешняя нормаль в эталонной конфигурации, — градиент деформации , и . $${\displaystyle da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N} }$$ ${\displaystyle da}$ ${\displaystyle dA}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle J=\det \mathbf {F} \,\!}$

Соответствующая формула для преобразования элемента объема имеет вид $${\displaystyle dv=J~dV}$$

Вывод соотношения Нансона (см. также ^[3] )

Чтобы увидеть, как выводится эта формула, начнем с ориентированных элементов площади в опорной и текущей конфигурациях: Опорный и текущий объемы элемента равны, где . $${\displaystyle d\mathbf {A} =dA~\mathbf {N} ~;~~d\mathbf {a} =da~\mathbf {n} }$$ $${\displaystyle dV=d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} ~;~~dv=d\mathbf {a} ^{T}\cdot d\mathbf {l} }$$ ${\displaystyle d\mathbf {l} =\mathbf {F} \cdot d\mathbf {L} \,\!}$

Следовательно, или, итак, Таким образом, мы получаем или, QED $${\displaystyle d\mathbf {a} ^{T}\cdot d\mathbf {l} =dv=J~dV=J~d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} }$$ $${\displaystyle d\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {L} =dv=J~dV=J~d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} }$$ $${\displaystyle d\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {F} =J~d\mathbf {A} ^{T}}$$ $${\displaystyle d\mathbf {a} =J~\mathbf {F} ^{-T}\cdot d\mathbf {A} }$$ $${\displaystyle da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N} }$$

Основные тензоры деформации

Тензор деформации определяется ИЮПАК как : ^[4]

«Симметричный тензор, который получается, когда тензор градиента деформации факторизуется в тензор вращения, за которым следует или которому предшествует симметричный тензор».

Поскольку чистое вращение не должно вызывать никаких деформаций в деформируемом теле, в механике сплошной среды часто удобно использовать независимые от вращения меры деформации . Поскольку вращение, за которым следует его обратное вращение, не приводит к изменению ( ), мы можем исключить вращение, умножив тензор градиента деформации на его транспонирование . ${\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}=\mathbf {R} ^{T}\mathbf {R} =\mathbf {I} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

В механике используется несколько тензоров градиента деформации, независимых от вращения (или «тензоров деформации», для краткости). В механике твердого тела наиболее популярными из них являются правый и левый тензоры деформации Коши–Грина.

Тензор деформации Коши (правый тензор деформации Коши–Грина)

В 1839 году Джордж Грин ввел тензор деформации, известный как правый тензор деформации Коши–Грина или тензор деформации Грина ( ИЮПАК рекомендует называть этот тензор тензором деформации Коши ), ^[4] определяемый как:

$${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} =\mathbf {U} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad C_{IJ}=F_{kI}~F_{kJ}={\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{I}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{J}}}.}$$

Физически тензор Коши–Грина дает нам квадрат локального изменения расстояний из-за деформации, т.е. ${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} }$

Инварианты часто используются в выражениях для функций плотности энергии деформации . Наиболее часто используемые инварианты — это , где — определитель градиента деформации , а — коэффициенты растяжения для единичных волокон, которые изначально ориентированы вдоль направлений собственных векторов правого (опорного) тензора растяжения (они, как правило, не совпадают с тремя осями систем координат). ${\displaystyle \mathbf {C} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}^{C}&:={\text{tr}}(\mathbf {C} )=C_{II}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}^{C}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {C} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {C} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left[(C_{JJ})^{2}-C_{IK}C_{KI}\right]=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}^{C}&:=\det(\mathbf {C} )=J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle J:=\det \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

Тензор деформации пальцев

IUPAC рекомендует ^[4] , чтобы обратный тензор деформации Коши–Грина (называемый в этом документе тензором деформации Коши), т.е. , назывался тензором деформации Фингера . Однако эта номенклатура не является общепринятой в прикладной механике. ${\displaystyle \mathbf {C} ^{-1}}$

$${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {C} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {F} ^{-T}\qquad {\text{or}}\qquad f_{IJ}={\frac {\partial X_{I}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}}$$

Тензор деформации Грина (левый тензор деформации Коши–Грина)

Изменение порядка умножения в формуле для правого тензора деформации Грина–Коши приводит к левому тензору деформации Коши–Грина , который определяется как: $${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}=\mathbf {V} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad B_{ij}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}}$$

Левый тензор деформации Коши–Грина часто называют тензором деформации Фингера , названным в честь Йозефа Фингера (1894). ^[5]

ИЮПАК рекомендует называть этот тензор тензором деформации Грина . [ ^4]

Инварианты также используются в выражениях для функций плотности энергии деформации . Обычные инварианты определяются как где — определитель градиента деформации. ${\displaystyle \mathbf {B} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&:={\text{tr}}(\mathbf {B} )=B_{ii}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {B} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {B} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left(B_{ii}^{2}-B_{jk}B_{kj}\right)=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}&:=\det \mathbf {B} =J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle J:=\det \mathbf {F} }$

Для сжимаемых материалов используется несколько иной набор инвариантов: $${\displaystyle ({\bar {I}}_{1}:=J^{-2/3}I_{1}~;~~{\bar {I}}_{2}:=J^{-4/3}I_{2}~;~~J\neq 1)~.}$$

Тензор деформации Пиолы (тензор деформации Коши)

Ранее, в 1828 году ^[6], Огюстен-Луи Коши ввел тензор деформации, определяемый как обратный левый тензор деформации Коши–Грина, . Этот тензор также назывался тензором деформации Пиолы в ИЮПАК ^[4] и тензором Фингера ^[7] в литературе по реологии и гидродинамике. ${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\,\!}$

$${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {B} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad c_{ij}={\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{j}}}}$$

Спектральное представление

Если имеются три различных главных участка , то спектральное разложение и задается выражением ${\displaystyle \lambda _{i}\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

$${\displaystyle \mathbf {C} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}}$$

Более того,

$${\displaystyle \mathbf {U} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {V} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}}$$

Обратите внимание, что Таким образом, уникальность спектрального разложения также подразумевает, что . Левое растяжение ( ) также называется тензором пространственного растяжения, тогда как правое растяжение ( ) называется тензором материального растяжения . $${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} ~\mathbf {U} ~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~\mathbf {R} ~(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})\otimes (\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})}$$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i}\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$

Эффект воздействия на заключается в растяжении вектора на величину и повороте его в новую ориентацию , т.е., в том же духе, ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {N} _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!}$ $${\displaystyle \mathbf {F} ~\mathbf {N} _{i}=\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}~\mathbf {n} _{i}}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} ^{-T}~\mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {n} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{T}~\mathbf {n} _{i}=\lambda _{i}~\mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{-1}~\mathbf {n} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}~.}$$

Примеры

Одноосное расширение несжимаемого материала

Это тот случай, когда образец растягивается в одном направлении с коэффициентом растяжения . Если объем остается постоянным, сокращение в двух других направлениях таково, что или . Тогда: ${\displaystyle \mathbf {\alpha =\alpha _{1}} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}=1} }$ ${\displaystyle \mathbf {\alpha _{2}=\alpha _{3}=\alpha ^{-0.5}} \,\!}$ $${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\alpha &0&0\\0&\alpha ^{-0.5}&0\\0&0&\alpha ^{-0.5}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\alpha ^{2}&0&0\\0&\alpha ^{-1}&0\\0&0&\alpha ^{-1}\end{bmatrix}}}$$

Простой сдвиг

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\\gamma &1+\gamma ^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

Вращение жесткого тела

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\mathbf {1} }$$

Производные от stretch

Производные растяжения по правому тензору деформации Коши–Грина используются для вывода соотношений напряжение-деформация многих твердых тел, в частности гиперупругих материалов . Эти производные являются и следуют из наблюдений, что $${\displaystyle {\cfrac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {C} }}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {R} ^{T}~(\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i})~\mathbf {R} ~;~~i=1,2,3}$$ $${\displaystyle \mathbf {C} :(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}^{2}~;~~~~{\cfrac {\partial \mathbf {C} }{\partial \mathbf {C} }}={\mathsf {I}}^{(s)}~;~~~~{\mathsf {I}}^{(s)}:(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}.}$$

Физическая интерпретация тензоров деформации

Пусть будет декартовой системой координат, определенной на недеформированном теле, и пусть будет другой системой, определенной на деформированном теле. Пусть кривая в недеформированном теле параметризована с помощью . Ее изображение в деформированном теле есть . ${\displaystyle \mathbf {X} =X^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} (s)}$ ${\displaystyle s\in [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} (s))}$

Недеформированная длина кривой определяется выражением После деформации длина становится Обратите внимание, что правый тензор деформации Коши–Грина определяется как Следовательно, это указывает на то, что изменения длины характеризуются выражением . $${\displaystyle l_{X}=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {I}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}l_{x}&=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)\cdot \left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)}}~ds\\&=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot \left[\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right]\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {C}}:={\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}=\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}}$$ $${\displaystyle l_{x}=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {C}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$

Тензоры конечных деформаций

Понятие деформации используется для оценки того, насколько данное смещение локально отличается от смещения твердого тела. ^{[1] [8] [9]} Одной из таких деформаций для больших деформаций является тензор конечной деформации Лагранжа , также называемый тензором деформации Грина-Лагранжа или тензором деформации Грина–Сен-Венана , определяемым как

$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )\qquad {\text{or}}\qquad E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)}$$

или как функция тензора градиента смещения или $${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]}$$ $${\displaystyle E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial u_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{L}}}\right)}$$

Тензор деформации Грина-Лагранжа является мерой того, насколько сильно отличается от . ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {I} \,\!}$

Тензор конечной деформации Эйлера или тензор конечной деформации Эйлера-Альманси , относящийся к деформированной конфигурации (т.е. эйлерову описанию), определяется как

$${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {c} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {B} ^{-1})\qquad {\text{or}}\qquad e_{rs}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)}$$

или как функция градиентов смещения имеем $${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)}$$

Вывод тензоров конечной деформации Лагранжа и Эйлера

Мерой деформации является разность между квадратами элемента дифференциальной линии , в недеформированной конфигурации, и , в деформированной конфигурации (рисунок 2). Деформация произошла, если разность не равна нулю, в противном случае произошло смещение жесткого тела. Таким образом, мы имеем, ${\displaystyle d\mathbf {X} \,\!}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} \,\!}$

$${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} -d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad (dx)^{2}-(dX)^{2}=dx_{j}dx_{j}-dX_{M}\,dX_{M}}$$

В лагранжевом описании, использующем материальные координаты в качестве системы отсчета, линейное преобразование между дифференциальными линиями имеет вид

$${\displaystyle d\mathbf {x} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{M}}}\,dX_{M}}$$

Тогда у нас есть,

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}&=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} \\&=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} \end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}(dx)^{2}&=dx_{j}\,dx_{j}\\&={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}\,dX_{K}\,dX_{L}\\&=C_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}\\\end{aligned}}}$$

где — компоненты правого тензора деформации Коши–Грина , . Тогда, подставляя это уравнение в первое уравнение, имеем, ${\displaystyle C_{KL}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} \,\!}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} -d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot (\mathbf {C} -\mathbf {I} )\cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {E} \cdot d\mathbf {X} \\\end{aligned}}}$$или где , являются компонентами тензора второго порядка, называемого тензором деформации Грина – Сен-Венана или тензором конечной деформации Лагранжа , $${\displaystyle {\begin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}\,dX_{K}\,dX_{L}-dX_{M}\,dX_{M}\\&=\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)\,dX_{K}\,dX_{L}\\&=2E_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle E_{KL}\,\!}$ $${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )\qquad {\text{or}}\qquad E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)}$$

В эйлеровом описании, использующем пространственные координаты в качестве системы отсчета, линейное преобразование между дифференциальными линиями равно где — компоненты тензора градиента пространственной деформации , . Таким образом, имеем $${\displaystyle d\mathbf {X} ={\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial \mathbf {x} }}d\mathbf {x} =\mathbf {F} ^{-1}\,d\mathbf {x} =\mathbf {H} \,d\mathbf {x} \qquad {\text{or}}\qquad dX_{M}={\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}}$$ ${\displaystyle {\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{n}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} \,\!}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \\&=\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \cdot \mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot \mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot \mathbf {c} \cdot d\mathbf {x} \end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}(dX)^{2}&=dX_{M}\,dX_{M}\\&={\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=c_{rs}\,dx_{r}\,dx_{s}\\\end{aligned}}}$$где тензор второго порядка называется тензором деформации Коши , . Тогда имеем, ${\displaystyle c_{rs}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\,\!}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} -d\mathbf {x} \cdot \mathbf {c} \cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot (\mathbf {I} -\mathbf {c} )\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot 2\mathbf {e} \cdot d\mathbf {x} \\\end{aligned}}}$$или $${\displaystyle {\begin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&=dx_{j}\,dx_{j}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=2e_{rs}\,dx_{r}\,dx_{s}\end{aligned}}}$$

где , — компоненты тензора второго порядка, называемого тензором конечной деформации Эйлера-Альманси , ${\displaystyle e_{rs}\,\!}$ $${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {c} )\qquad {\text{or}}\qquad e_{rs}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)}$$

Как лагранжев, так и эйлеров конечный тензор деформации могут быть удобно выражены через тензор градиента смещения . Для лагранжева тензора деформации сначала дифференцируем вектор смещения по материальным координатам, чтобы получить тензор градиента смещения материала , ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)}$ ${\displaystyle X_{M}}$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)&=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\mathbf {F} -\mathbf {I} \\\mathbf {F} &=\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +\mathbf {I} \\\end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}u_{i}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}\\\delta _{iJ}U_{J}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}\\x_{i}&=\delta _{iJ}\left(U_{J}+X_{J}\right)\\{\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}&=\delta _{iJ}\left({\frac {\partial U_{J}}{\partial X_{K}}}+\delta _{JK}\right)\\&={\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}+\delta _{iK}\end{aligned}}}$$

Подставляя это уравнение в выражение для тензора конечной деформации Лагранжа, имеем или $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} -\mathbf {I} \right)\\&={\frac {1}{2}}\left[\left\{(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\mathbf {I} \right\}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +\mathbf {I} \right)-\mathbf {I} \right]\\&={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{KL}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left[\delta _{jM}\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\delta _{jN}\left({\frac {\partial U_{N}}{\partial X_{L}}}+\delta _{NL}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\delta _{MN}\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\left({\frac {\partial U_{N}}{\partial X_{L}}}+\delta _{NL}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}+\delta _{ML}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}\right)\end{aligned}}}$$

Аналогично, тензор конечных деформаций Эйлера-Альманси можно выразить как

$${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)}$$

Семейство обобщенных тензоров деформации Сета–Хилла

BR Seth из Индийского технологического института в Харагпуре был первым, кто показал, что тензоры деформации Грина и Альманси являются частными случаями более общей меры деформации . ^{[10] [11]} Идея была дополнительно расширена Родни Хиллом в 1968 году. ^[12] Семейство мер деформации Сета–Хилла (также называемых тензорами Дойла-Эриксена) ^[13] можно выразить как

$${\displaystyle \mathbf {E} _{(m)}={\frac {1}{2m}}(\mathbf {U} ^{2m}-\mathbf {I} )={\frac {1}{2m}}\left[\mathbf {C} ^{m}-\mathbf {I} \right]}$$

Для различных значений имеем: ${\displaystyle m}$

• Тензор деформации Грина-Лагранжа $${\displaystyle \mathbf {E} _{(1)}={\frac {1}{2}}(\mathbf {U} ^{2}-\mathbf {I} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )}$$
• Тензор деформации Биота $${\displaystyle \mathbf {E} _{(1/2)}=(\mathbf {U} -\mathbf {I} )=\mathbf {C} ^{1/2}-\mathbf {I} }$$
• Логарифмическая деформация, естественная деформация, истинная деформация или деформация Генки $${\displaystyle \mathbf {E} _{(0)}=\ln \mathbf {U} ={\frac {1}{2}}\,\ln \mathbf {C} }$$
• Штамм Альманси $${\displaystyle \mathbf {E} _{(-1)}={\frac {1}{2}}\left[\mathbf {I} -\mathbf {U} ^{-2}\right]}$$

Приближение второго порядка этих тензоров равно , где — тензор бесконечно малой деформации. $${\displaystyle \mathbf {E} _{(m)}={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\tfrac {1}{2}}(\nabla \mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla \mathbf {u} -(1-m){\boldsymbol {\varepsilon }}^{T}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

Допустимы и многие другие определения тензоров , при условии, что все они удовлетворяют условиям: ^[14] ${\displaystyle \mathbf {E} }$

• ${\displaystyle \mathbf {E} }$исчезает для всех движений твердого тела
• зависимость от тензора градиента смещения непрерывна, непрерывно дифференцируема и монотонна ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \nabla \mathbf {u} }$
• также желательно, чтобы свелось к тензору бесконечно малой деформации как норме ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ ${\displaystyle |\nabla \mathbf {u} |\to 0}$

Примером может служить набор тензоров , которые не принадлежат к классу Сета–Хилла, но имеют то же самое приближение 2-го порядка, что и меры Сета–Хилла при для любого значения . ^[15] $${\displaystyle \mathbf {E} ^{(n)}=\left({\mathbf {U} }^{n}-{\mathbf {U} }^{-n}\right)/2n}$$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle n}$

Физическая интерпретация тензора конечных деформаций

Диагональные компоненты тензора конечной деформации Лагранжа связаны с нормальной деформацией, например: ${\displaystyle E_{KL}}$

$${\displaystyle E_{11}=e_{(\mathbf {I} _{1})}+{\frac {1}{2}}e_{(\mathbf {I} _{1})}^{2}}$$

где - нормальная деформация или инженерная деформация в направлении . ${\displaystyle e_{(\mathbf {I} _{1})}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{1}\,\!}$

Недиагональные компоненты тензора конечной деформации Лагранжа связаны с деформацией сдвига, например: ${\displaystyle E_{KL}}$

$${\displaystyle E_{12}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}}$$

где — изменение угла между двумя линейными элементами, которые изначально были перпендикулярны направлениям и соответственно. ${\displaystyle \phi _{12}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{2}\,\!}$

При определенных обстоятельствах, т.е. при малых смещениях и малых скоростях смещения, компоненты тензора конечной деформации Лагранжа могут быть аппроксимированы компонентами тензора бесконечно малой деформации

Вывод физической интерпретации тензоров конечной деформации Лагранжа и Эйлера

Коэффициент растяжения для дифференциального элемента (рисунок) в направлении единичного вектора в материальной точке , в недеформированной конфигурации, определяется как ${\displaystyle d\mathbf {X} =dX\mathbf {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$ ${\displaystyle P\,\!}$

$${\displaystyle \Lambda _{(\mathbf {N} )}={\frac {dx}{dX}}}$$

где - деформированная величина дифференциального элемента . ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle d\mathbf {X} \,\!}$

Аналогично, коэффициент растяжения для дифференциального элемента (рисунок) в направлении единичного вектора в материальной точке в деформированной конфигурации определяется как ${\displaystyle d\mathbf {x} =dx\mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle p\,\!}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\Lambda _{(\mathbf {n} )}}}={\frac {dX}{dx}}}$$

Квадрат коэффициента растяжения определяется как $${\displaystyle \Lambda _{(\mathbf {N} )}^{2}=\left({\frac {dx}{dX}}\right)^{2}}$$

Зная, что у нас есть , где и — единичные векторы. $${\displaystyle (dx)^{2}=C_{KL}dX_{K}dX_{L}}$$ $${\displaystyle \Lambda _{(\mathbf {N} )}^{2}=C_{KL}N_{K}N_{L}}$$ ${\displaystyle N_{K}}$ ${\displaystyle N_{L}}$

Нормальная деформация или инженерная деформация в любом направлении может быть выражена как функция коэффициента растяжения, ${\displaystyle e_{\mathbf {N} }}$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$

$${\displaystyle e_{(\mathbf {N} )}={\frac {dx-dX}{dX}}=\Lambda _{(\mathbf {N} )}-1}$$

Таким образом, нормальная деформация в направлении материальной точки может быть выражена через коэффициент растяжения как ${\displaystyle \mathbf {I} _{1}}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e_{(\mathbf {I} _{1})}={\frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}&=\Lambda _{(\mathbf {I} _{1})}-1\\&={\sqrt {C_{11}}}-1={\sqrt {\delta _{11}+2E_{11}}}-1\\&={\sqrt {1+2E_{11}}}-1\end{aligned}}}$$

решение для нас есть ${\displaystyle E_{11}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}2E_{11}&={\frac {(dx_{1})^{2}-(dX_{1})^{2}}{(dX_{1})^{2}}}\\E_{11}&=\left({\frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}\right)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}\right)^{2}\\&=e_{(\mathbf {I} _{1})}+{\frac {1}{2}}e_{(\mathbf {I} _{1})}^{2}\end{aligned}}}$$

Сдвиговая деформация или изменение угла между двумя линейными элементами и изначально перпендикулярными и ориентированными в главных направлениях и , соответственно, также может быть выражена как функция коэффициента растяжения. Из скалярного произведения между деформированными линиями и мы имеем ${\displaystyle d\mathbf {X} _{1}}$ ${\displaystyle d\mathbf {X} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{2}\,\!}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} _{1}}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} _{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} _{1}\cdot d\mathbf {x} _{2}&=dx_{1}dx_{2}\cos \theta _{12}\\\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}&={\sqrt {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}}}\cdot {\sqrt {d\mathbf {X} _{2}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}}\cos \theta _{12}\\{\frac {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}{dX_{1}dX_{2}}}&={\frac {{\sqrt {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}}}\cdot {\sqrt {d\mathbf {X} _{2}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}}}{dX_{1}dX_{2}}}\cos \theta _{12}\\\mathbf {I} _{1}\cdot \mathbf {C} \cdot \mathbf {I} _{2}&=\Lambda _{\mathbf {I} _{1}}\Lambda _{\mathbf {I} _{2}}\cos \theta _{12}\end{aligned}}}$$

где - угол между линиями и в деформированной конфигурации. Определяя как деформацию сдвига или уменьшение угла между двумя линейными элементами, которые изначально были перпендикулярны, имеем ${\displaystyle \theta _{12}}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} _{1}}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} _{2}}$ ${\displaystyle \phi _{12}}$

$${\displaystyle \phi _{12}={\frac {\pi }{2}}-\theta _{12}}$$таким образом, тогда $${\displaystyle \cos \theta _{12}=\sin \phi _{12}}$$ $${\displaystyle \mathbf {I} _{1}\cdot \mathbf {C} \cdot \mathbf {I} _{2}=\Lambda _{\mathbf {I} _{1}}\Lambda _{\mathbf {I} _{2}}\sin \phi _{12}}$$

или

$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{12}&={\sqrt {C_{11}}}{\sqrt {C_{22}}}\sin \phi _{12}\\2E_{12}+\delta _{12}&={\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}\\E_{12}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}\end{aligned}}}$$

Условия совместимости

Проблема совместимости в механике сплошных сред заключается в определении допустимых однозначных непрерывных полей на телах. Эти допустимые условия оставляют тело без нефизических зазоров или наложений после деформации. Большинство таких условий применимо к односвязным телам. Для внутренних границ многосвязных тел требуются дополнительные условия.

Совместимость градиента деформации

Необходимыми и достаточными условиями существования совместного поля над односвязным телом являются ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}}$$

Совместимость правого тензора деформации Коши–Грина

Необходимые и достаточные условия существования совместимого поля над односвязным телом таковы: Мы можем показать, что это смешанные компоненты тензора кривизны Римана–Кристоффеля . Следовательно, необходимые условия для -совместимости заключаются в том, что кривизна Римана–Кристоффеля деформации равна нулю. ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ $${\displaystyle R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }:={\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]+\,_{(X)}\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-\,_{(X)}\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }=0}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$

Совместимость левого тензора деформации Коши–Грина

Общие условия достаточности для левого тензора деформации Коши–Грина в трехмерном пространстве были выведены Амитом Ачарья. ^[16] Условия совместности для двумерных полей были найдены Джанет Блюм. ^[17] ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$

Смотрите также

• Бесконечно малая деформация
• Совместимость (механика)
• Криволинейные координаты
• Тензор напряжений Пиолы–Кирхгофа , тензор напряжений для конечных деформаций.
• Меры по снятию стресса
• Разделение штамма

Ссылки

1. Lubliner, Jacob (2008). Теория пластичности (PDF) (пересмотренное издание). Dover Publications. ISBN 978-0-486-46290-5. Архивировано из оригинала (PDF) 2010-03-31.
2. А. Явари, Дж. Э. Марсден и М. Ортис, О пространственных и материальных законах ковариантного баланса в теории упругости, Журнал математической физики, 47, 2006, 042903; стр. 1–53.
3. Эдуардо де Соуза Нето; Джордже Перич; Оуэнс, Дэвид (2008). Вычислительные методы для пластичности: теория и приложения . Чичестер, Западный Суссекс, Великобритания: Wiley. стр. 65. ISBN 978-0-470-69452-7.
4. A. Kaye, RFT Stepto, WJ Work, JV Aleman (Испания), A. Ya. Malkin (1998). «Определение терминов, относящихся к непредельным механическим свойствам полимеров». Pure Appl. Chem . 70 (3): 701–754. doi : 10.1351/pac199870030701 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. Эдуардо Н. Дворкин, Марсела Б. Гольдшмит, Нелинейные континуумы, 2006 г., с. 25, ISBN Спрингера 3-540-24985-0 . 
6. Йирасек, Милан; Бажант З.П. (2002) Неупругий анализ конструкций, Wiley, с. 463 ISBN 0-471-98716-6 
7. JN Reddy, David K. Gartling (2000) Метод конечных элементов в теплопередаче и гидродинамике, стр. 317, CRC Press ISBN 1-4200-8598-0 . 
8. Белычко, Тед; Лю, Винг Кам; Моран, Брайан (2000). Нелинейные конечные элементы для сплошных сред и конструкций (переиздание с исправлениями, 2006 г.). John Wiley & Sons Ltd. стр. 92–94. ISBN 978-0-471-98773-4.
9. Zeidi, Mahdi; Kim, Chun IL (2018). «Механика упругого твердого тела, армированного двунаправленным волокном в конечной плоской эластостатике: полный анализ». Continuum Mechanics and Thermodynamics . 30 (3): 573–592. Bibcode : 2018CMT....30..573Z. doi : 10.1007/s00161-018-0623-0. ISSN  1432-0959. S2CID  253674037.
10. Seth, BR (1961), «Обобщенная мера деформации с приложениями к физическим проблемам», Технический сводный отчет MRC № 248 , Центр математических исследований, Армия США, Висконсинский университет: 1–18, архивировано из оригинала 22 августа 2013 г.
11. Сет, BR (1962), «Обобщенная мера деформации с приложениями к физическим проблемам», Симпозиум IUTAM по эффектам второго порядка в теории упругости, пластичности и механике жидкости, Хайфа, 1962.
12. Хилл, Р. (1968), «О материальных неравенствах для простых материалов — I», Журнал механики и физики твердого тела , 16 (4): 229–242, Bibcode : 1968JMPSo..16..229H, doi : 10.1016/0022-5096(68)90031-8
13. TC Doyle и JL Eriksen (1956). «Нелинейная упругость». Успехи в прикладной механике 4, 53–115.
14. ZP Bažant и L. Cedolin (1991). Устойчивость конструкций. Упругие, неупругие, теории разрушения и повреждения. Oxford Univ. Press, Нью-Йорк (2-е изд. Dover Publ., Нью-Йорк 2003; 3-е изд., World Scientific 2010).
15. ZP Bažant (1998). «Простые для вычисления тензоры с симметричной обратной аппроксимацией конечной деформации Генки и ее скорости». Журнал технологий материалов ASME , 120 (апрель), 131–136.
16. Ачарья, А. (1999). «Об условиях совместимости для левого поля деформации Коши–Грина в трех измерениях» (PDF) . Журнал упругости . 56 (2): 95–105. doi :10.1023/A:1007653400249. S2CID  116767781.
17. Blume, JA (1989). «Условия совместимости для левого поля деформации Коши–Грина». Journal of Elasticity . 21 (3): 271–308. doi :10.1007/BF00045780. S2CID  54889553.

Дальнейшее чтение

• Дилл, Эллис Гарольд (2006). Механика сплошной среды: упругость, пластичность, вязкоупругость. Германия: CRC Press. ISBN 0-8493-9779-0.
• Димитриенко, Юрий (2011). Нелинейная механика сплошных сред и большие неупругие деформации. Германия: Springer. ISBN 978-94-007-0033-8.
• Hutter, Kolumban; Klaus Jöhnk (2004). Континуальные методы физического моделирования. Германия: Springer. ISBN 3-540-20619-1.
• Лубарда, Владо А. (2001). Теория упругопластичности. ЦРК Пресс. ISBN 0-8493-1138-1.
• Macosko, CW (1994). Реология: принципы, измерения и приложения . VCH Publishers. ISBN 1-56081-579-5.
• Mase, George E. (1970). Механика сплошной среды. McGraw-Hill Professional. ISBN 0-07-040663-4.
• Mase, G. Thomas; George E. Mase (1999). Механика сплошной среды для инженеров (второе издание). CRC Press. ISBN 0-8493-1855-6.
• Nemat-Nasser, Sia (2006). Пластичность: Трактат о конечной деформации гетерогенных неупругих материалов. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83979-3.
• Риз, Дэвид (2006). Основы инженерной пластичности – Введение в инженерные и производственные приложения. Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 0-7506-8025-3.

Внешние ссылки

• Заметки профессора Амита Ачарья о совместимости на iMechanica