Коэффициент конечной разности

Коэффициент, используемый в численном приближении

В математике для аппроксимации производной до произвольного порядка точности можно использовать конечную разность . Конечная разность может быть центральной , прямой или обратной .

Центральная конечная разность

В этой таблице приведены коэффициенты центральных разностей для нескольких порядков точности и с равномерным шагом сетки: ^[1]

Например, третья производная со вторым порядком точности равна

${\displaystyle f'''(x_{0})\approx {\frac {-{\frac {1}{2}}f(x_{-2})+f(x_{-1})-f(x_{+1})+{\frac {1}{2}}f(x_{+2})}{h_{x}^{3}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),}$

где представляет собой равномерный шаг сетки между каждым интервалом конечной разности, и . ${\displaystyle h_{x}}$ ${\displaystyle x_{n}=x_{0}+nh_{x}}$

Для -й производной с точностью имеются центральные коэффициенты . Они даются решением системы линейных уравнений ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2p+1=2\left\lfloor {\frac {m+1}{2}}\right\rfloor -1+n}$ ${\displaystyle a_{-p},a_{-p+1},...,a_{p-1},a_{p}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&...&1&1\\-p&-p+1&...&p-1&p\\(-p)^{2}&(-p+1)^{2}&...&(p-1)^{2}&p^{2}\\...&...&...&...&...\\...&...&...&...&...\\...&...&...&...&...\\(-p)^{2p}&(-p+1)^{2p}&...&(p-1)^{2p}&p^{2p}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{-p}\\a_{-p+1}\\a_{-p+2}\\...\\...\\...\\a_{p}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\...\\m!\\...\\0\end{pmatrix}},}$

где единственное ненулевое значение в правой части находится в -й строке. ${\displaystyle (m+1)}$

Доступна реализация с открытым исходным кодом для расчета коэффициентов конечной разности произвольных производных и порядка точности в одном измерении. ^[2]

Теория полиномов Лагранжа дает явные формулы для конечно-разностных коэффициентов. ^[3] Для первых шести производных имеем следующее:

где – номера обобщенных гармоник . ${\displaystyle H_{n,m}}$

Вперед конечная разность

В этой таблице приведены коэффициенты прямых разностей для нескольких порядков точности и с равномерным шагом сетки: ^[1]

Например, первая производная с точностью третьего порядка и вторая производная с точностью второго порядка равны

${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-{\frac {11}{6}}f(x_{0})+3f(x_{+1})-{\frac {3}{2}}f(x_{+2})+{\frac {1}{3}}f(x_{+3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right),}$

${\displaystyle \displaystyle f''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {2f(x_{0})-5f(x_{+1})+4f(x_{+2})-f(x_{+3})}{h_{x}^{2}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),}$

а соответствующие обратные приближения имеют вид

${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {{\frac {11}{6}}f(x_{0})-3f(x_{-1})+{\frac {3}{2}}f(x_{-2})-{\frac {1}{3}}f(x_{-3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right),}$

${\displaystyle \displaystyle f''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {2f(x_{0})-5f(x_{-1})+4f(x_{-2})-f(x_{-3})}{h_{x}^{2}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),}$

Обратная конечная разность

Чтобы получить коэффициенты обратных приближений от коэффициентов прямых, всем нечетным производным, перечисленным в таблице предыдущего раздела , присвойте противоположный знак, тогда как для четных производных знаки остаются прежними. Следующая таблица иллюстрирует это: ^[4]

Произвольные точки трафарета

Для заданных произвольных точек шаблона длины с порядком производных конечно-разностные коэффициенты могут быть получены путем решения линейных уравнений ^[5] ${\displaystyle \displaystyle s}$ ${\displaystyle \displaystyle N}$ ${\displaystyle \displaystyle d<N}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}s_{1}^{0}&\cdots &s_{N}^{0}\\\vdots &\ddots &\vdots \\s_{1}^{N-1}&\cdots &s_{N}^{N-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}=d!{\begin{pmatrix}\delta _{0,d}\\\vdots \\\delta _{i,d}\\\vdots \\\delta _{N-1,d}\end{pmatrix}},}$

где – дельта Кронекера , равная единице, если , и нулю в противном случае. ${\displaystyle \delta _{i,j}}$ ${\displaystyle i=j}$

Пример, для порядок дифференцирования : ${\displaystyle s=[-3,-2,-1,0,1]}$ ${\displaystyle d=4}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\\a_{5}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\-3&-2&-1&0&1\\9&4&1&0&1\\-27&-8&-1&0&1\\81&16&1&0&1\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\24\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-4\\6\\-4\\1\end{pmatrix}}.}$

Порядок точности приближения принимает ^{обычный вид .} ${\displaystyle O\left(h_{x}^{(N-d)}\right)}$

Смотрите также

• Метод конечных разностей
• Конечная разница
• Пятиточечный трафарет
• Числовое дифференцирование

Рекомендации

1. Форнберг, Бенгт (1988), «Генерация формул конечных разностей на сетках с произвольным расположением», Mathematics of Computation , 51 (184): 699–706, doi : 10.1090/S0025-5718-1988-0935077-0 , ISSN  0025 -5718.
2. «Пакет Python для числовых производных с конечной разностью в произвольном количестве измерений» . Гитхаб . 14 октября 2021 г.
3. «Коэффициенты конечных разностей» . СтекExchange . 5 июня 2023 г.
4. Тейлор, Кэмерон (12 декабря 2019 г.). «Калькулятор коэффициентов конечной разности». Массачусетский технологический институт.
5. «Калькулятор коэффициентов конечной разности» .