Стохастическое доминирование

Частичный порядок между случайными величинами

Стохастическое доминирование — это частичный порядок между случайными величинами . ^{[1] [2]} Это форма стохастического упорядочения . Эта концепция возникает в теории принятия решений и анализе решений в ситуациях, когда одна игра ( распределение вероятностей возможных результатов, также известное как перспективы) может быть оценена как превосходящая другую игру для широкого класса лиц, принимающих решения. Она основана на общих предпочтениях относительно наборов возможных результатов и связанных с ними вероятностей. Для определения доминирования требуется лишь ограниченное знание предпочтений. Неприятие риска является фактором только в стохастическом доминировании второго порядка.

Стохастическое доминирование не обеспечивает полного порядка , а лишь частичный : для некоторых пар азартных игр ни одна из них не доминирует стохастически над другой, поскольку разные члены широкого класса лиц, принимающих решения, будут по-разному относиться к тому, какая азартная игра предпочтительнее, при этом они в целом не будут считаться одинаково привлекательными.

Всюду в статье обозначают распределения вероятностей на , а обозначают конкретные случайные величины на . Обозначение означает, что имеет распределение . ${\displaystyle \rho ,\nu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A,B,X,Y,Z}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\sim \rho }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho }$

Существует последовательность стохастических доминантных порядков, от первого , ко второму , к более высоким порядкам . Последовательность становится все более инклюзивной. То есть, если , то для всех . Кроме того, существует такое, что , но не . ${\displaystyle \succeq _{1}}$ ${\displaystyle \succeq _{2}}$ ${\displaystyle \succeq _{n}}$ ${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$ ${\displaystyle \rho \succeq _{k}\nu }$ ${\displaystyle n\leq k}$ ${\displaystyle \rho ,\nu }$ ${\displaystyle \rho \succeq _{n+1}\nu }$ ${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$

Стохастическое доминирование можно проследить еще до (Блэквелла, 1953) ^[3] , но оно не было разработано до 1969–1970 гг. ^[4]

Государственное доминирование (нулевой порядок)

Простейшим случаем стохастического доминирования является доминирование по штатам (также известное как доминирование по штатам ), определяемое следующим образом:

Случайная величина A доминирует по состоянию над случайной величиной B, если A дает по крайней мере такой же хороший результат в каждом состоянии (каждом возможном наборе результатов) и строго лучший результат по крайней мере в одном состоянии.

Например, если доллар добавляется к одному или нескольким призам в лотерее, новая лотерея в масштабе штата доминирует над старой, поскольку она дает лучшую выплату независимо от конкретных чисел, реализованных в лотерее. Аналогично, если полис страхования рисков имеет более низкую премию и лучшее покрытие, чем другой полис, то с ущербом или без него результат лучше. Любой, кто предпочитает больше меньшему (в стандартной терминологии, любой, у кого монотонно растущие предпочтения), всегда предпочтет азартную игру с доминированием в масштабе штата.

Первого порядка

${\displaystyle F_{B\sim N(0,1)}(x)\geq F_{A\sim N(0.75,1)}(x)\forall x}$ ${\displaystyle \implies B(black)\leq A(red)}$

${\displaystyle F_{X\sim N(0,1)}}$и X и Y не сопоставимы посредством стохастического доминирования первого порядка. ${\displaystyle F_{Y\sim N(0.25,1.5)}}$

Доминирование по состоянию подразумевает стохастическое доминирование первого порядка (FSD) ^[5] , которое определяется как:

Случайная величина A имеет стохастическое доминирование первого порядка над случайной величиной B, если для любого результата x , A дает по крайней мере такую ​​же высокую вероятность получения по крайней мере x , как и B, и для некоторого x , A дает более высокую вероятность получения по крайней мере x . В форме записи, для всех x , и для некоторого x , . ${\displaystyle P[A\geq x]\geq P[B\geq x]}$ ${\displaystyle P[A\geq x]>P[B\geq x]}$

С точки зрения кумулятивных функций распределения двух случайных величин, A доминирует над B, что означает, что для всех x , со строгим неравенством при некотором  x . ${\displaystyle F_{A}(x)\leq F_{B}(x)}$

В случае непересекающихся ^{[ требуется разъяснение ]} функций распределения тест суммы рангов Вилкоксона проверяет наличие стохастического доминирования первого порядка. ^[6]

Эквивалентные определения

Пусть даны два распределения вероятностей на , причем оба они конечны, тогда следующие условия эквивалентны, поэтому все они могут служить определением стохастического доминирования первого порядка: ^[7] ${\displaystyle \rho ,\nu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[|X|],\mathbb {E} _{X\sim \nu }[|X|]}$

• Для любого неубывающег ${\displaystyle u:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u(X)]}$

• ${\displaystyle F_{\rho }(t)\leq F_{\nu }(t),\quad \forall t\in \mathbb {R} .}$
• Существуют две случайные величины , такие , что , где . ${\displaystyle X\sim \rho ,Y\sim \nu }$ ${\displaystyle X=Y+\delta }$ ${\displaystyle \delta \geq 0}$

Первое определение гласит, что азартная игра первого порядка стохастически доминирует над азартной игрой тогда и только тогда, когда каждый максимизатор ожидаемой полезности с возрастающей функцией полезности предпочитает азартную игру азартной игре . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$

Третье определение гласит, что мы можем построить пару азартных игр с распределениями , так что азартная игра всегда платит по крайней мере столько же, сколько азартная игра . Более конкретно, сначала построить равномерно распределенный , затем использовать выборку обратного преобразования, чтобы получить , затем для любого . ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle \rho ,\nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z\sim \mathrm {Uniform} (0,1)}$ ${\displaystyle X=F_{X}^{-1}(Z),Y=F_{Y}^{-1}(Z)}$ ${\displaystyle X\geq Y}$ ${\displaystyle Z}$

Наглядно второе и третье определения эквивалентны, поскольку мы можем перейти от графической функции плотности A к функции B, сдвигая ее как вверх, так и влево.

Расширенный пример

Рассмотрим три азартные игры с одним подбрасыванием шестигранной игральной кости:

${\displaystyle {\begin{array}{rcccccc}{\text{State (die result)}}&1&2&3&4&5&6\\\hline {\text{gamble A wins }}\$&1&1&2&2&2&2\\{\text{gamble B wins }}\$&1&1&1&2&2&2\\{\text{gamble C wins }}\$&3&3&3&1&1&1\\\hline \end{array}}}$

Игра A по штатам доминирует над игрой B, потому что A дает по крайней мере такой же хороший доход во всех возможных состояниях (результатах броска кубика) и дает строго лучший доход в одном из них (состояние 3). Поскольку A по штатам доминирует над B, она также доминирует над B в первом порядке.

Игра C не доминирует над B по состоянию, поскольку B дает лучшую доходность в состояниях с 4 по 6, но C стохастически доминирует над B в первом порядке, поскольку Pr(B ≥ 1) = Pr(C ≥ 1) = 1, Pr(B ≥ 2) = Pr(C ≥ 2) = 3/6 и Pr(B ≥ 3) = 0, в то время как Pr(C ≥ 3) = 3/6 > Pr(B ≥ 3).

Игры A и C не могут быть упорядочены относительно друг друга на основе стохастического доминирования первого порядка, поскольку Pr(A ≥ 2) = 4/6 > Pr(C ≥ 2) = 3/6, в то время как, с другой стороны, Pr(C ≥ 3) = 3/6 > Pr(A ≥ 3) = 0.

В общем, хотя когда одна игра первого порядка стохастически доминирует над второй игрой, ожидаемое значение выигрыша в первой игре будет больше ожидаемого значения выигрыша во второй игре, обратное неверно: нельзя упорядочить лотереи с учетом стохастического доминирования, просто сравнивая средние значения их распределений вероятностей. Например, в приведенном выше примере у C среднее значение (2) выше, чем у A (5/3), но C не доминирует в первом порядке над A.

Второго порядка

Другой часто используемый тип стохастического доминирования — стохастическое доминирование второго порядка . ^{[1] [8] [9]} Грубо говоря, для двух азартных игр и азартная игра имеет стохастическое доминирование второго порядка над азартной игрой, если первая более предсказуема (т. е. связана с меньшим риском) и имеет по крайней мере такое же высокое среднее значение. Все максимизаторы ожидаемой полезности, не склонные к риску (то есть те, у кого возрастающие и вогнутые функции полезности), предпочитают стохастически доминирующую азартную игру второго порядка доминируемой. Доминирование второго порядка описывает общие предпочтения меньшего класса лиц, принимающих решения (тех, для кого больше — лучше, и кто не склонен рисковать, а не всех тех, для кого больше — лучше), чем доминирование первого порядка. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$

В терминах кумулятивных функций распределения и , является стохастически доминирующим второго порядка над тогда и только тогда, когда для всех , со строгим неравенством при некоторых . Эквивалентно, доминирует во втором порядке тогда и только тогда, когда для всех неубывающих и вогнутых функций полезности . ${\displaystyle F_{\rho }}$ ${\displaystyle F_{\nu }}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}[F_{\nu }(t)-F_{\rho }(t)]\,dt\geq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u(X)]}$ ${\displaystyle u(x)}$

Стохастическое доминирование второго порядка можно также выразить следующим образом: Игра второго порядка стохастически доминирует тогда и только тогда, когда существуют некоторые игры и такие, что , при этом всегда меньше или равно нулю, и при этом для всех значений . Здесь введение случайной величины делает первый порядок стохастически доминируемым (делая нелюбимым теми, у кого функция полезности возрастает), а введение случайной величины вводит сохраняющий среднее спред, в котором нелюбимым теми, у кого вогнутая полезность. Обратите внимание, что если и имеют одинаковое среднее (так что случайная величина вырождается в фиксированное число 0), то есть сохраняющий среднее спред . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x_{\nu }{\overset {d}{=}}(x_{\rho }+y+z)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbb {E} (z\mid x_{\rho }+y)=0}$ ${\displaystyle x_{\rho }+y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \rho }$

Эквивалентные определения

Пусть даны два распределения вероятностей на , причем оба они конечны, тогда следующие условия эквивалентны, поэтому все они могут служить определением стохастического доминирования второго порядка: ^[7] ${\displaystyle \rho ,\nu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[|X|],\mathbb {E} _{X\sim \nu }[|X|]}$

• Для любого неубывающего и (не обязательно строго) вогнутого, ${\displaystyle u:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u(X)]}$

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{t}F_{\rho }(x)dx\leq \int _{-\infty }^{t}F_{\nu }(x)dx,\quad \forall t\in \mathbb {R} .}$
• Существуют две случайные величины , такие , что , где и . ${\displaystyle X\sim \rho ,Y\sim \nu }$ ${\displaystyle Y=X-\delta +\epsilon }$ ${\displaystyle \delta \geq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [\epsilon |X-\delta ]=0}$

Они аналогичны эквивалентным определениям стохастического доминирования первого порядка, данным выше.

Достаточные условия

• Стохастическое доминирование первого порядка A над B является достаточным условием для доминирования второго порядка A над B.
• Если B — это сохраняющий среднее значение спред A , то A второго порядка стохастически доминирует над B.

Необходимые условия

• ${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }(x)}$является необходимым условием для того, чтобы A стохастически доминировало над B второго порядка .
• ${\displaystyle \min _{\rho }(x)\geq \min _{\nu }(x)}$является необходимым условием для доминирования второго порядка A над B. Условие подразумевает, что левый хвост должен быть толще левого хвоста . ${\displaystyle F_{\nu }}$ ${\displaystyle F_{\rho }}$

Третьего порядка

Пусть и будут кумулятивными функциями распределения двух различных инвестиций и . доминирует в третьем порядке тогда и только тогда, когда оба ${\displaystyle F_{\rho }}$ ${\displaystyle F_{\nu }}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}\left(\int _{-\infty }^{z}[F_{\nu }(t)-F_{\rho }(t)]\,dt\right)dz\geq 0{\text{ for all }}x,}$
• ${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }(x)}$.

Эквивалентно, доминирует в третьем порядке тогда и только тогда, когда для всех . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }U(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }U(x)}$ ${\displaystyle U\in D_{3}}$

Множество имеет два эквивалентных определения: ${\displaystyle D_{3}}$

• набор неубывающих, вогнутых функций полезности, которые имеют положительную асимметрию (то есть имеют неотрицательную третью производную на всем протяжении). ^[10]
• набор неубывающих, вогнутых функций полезности, таких, что для любой случайной величины функция премии за риск является монотонно невозрастающей функцией . ^[11] ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \pi _{u}(x,Z)}$ ${\displaystyle x}$

Здесь определяется как решение проблемы . Более подробную информацию см. на странице премии за риск . ${\displaystyle \pi _{u}(x,Z)}$ $${\displaystyle u(x+\mathbb {E} [Z]-\pi )=\mathbb {E} [u(x+Z)].}$$

Достаточное условие

• Достаточным условием является доминирование второго порядка.

Необходимые условия[ необходима ссылка ]

• ${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }(\log(x))\geq \mathbb {E} _{\nu }(\log(x))}$является необходимым условием. Условие подразумевает, что геометрическое среднее должно быть больше или равно геометрическому среднему . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$
• ${\displaystyle \min _{\rho }(x)\geq \min _{\nu }(x)}$является необходимым условием. Условие подразумевает, что левый хвост должен быть толще левого хвоста . ${\displaystyle F_{\nu }}$ ${\displaystyle F_{\rho }}$

Высшего порядка

Также были проанализированы более высокие порядки стохастического доминирования, а также обобщения двойственной связи между порядками стохастического доминирования и классами функций предпочтения. ^[12] Вероятно, наиболее мощный критерий доминирования основан на принятом экономическом предположении об уменьшении абсолютного неприятия риска . ^{[13] [14]} Это влечет за собой несколько аналитических проблем, и исследовательские усилия направлены на их решение. ^[15]

Формально стохастическое доминирование n-го порядка определяется как ^[16]

• Для любого распределения вероятностей на определим функции индуктивно: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

$${\displaystyle F_{\rho }^{1}(t)=F_{\rho }(t),\quad F_{\rho }^{2}(t)=\int _{0}^{t}F_{\rho }^{1}(x)dx,\quad \cdots }$$

• Для любых двух распределений вероятностей на нестрогое и строгое стохастическое доминирование n-го порядка определяется как ${\displaystyle \rho ,\nu }$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ $${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu \quad {\text{ iff }}\quad F_{\rho }^{n}\leq F_{\nu }^{n}{\text{ on }}[0,\infty )}$$ $${\displaystyle \rho \succ _{n}\nu \quad {\text{ iff }}\quad \rho \succeq _{n}\nu {\text{ and }}\rho \neq \nu }$$

Эти отношения транзитивны и все более инклюзивны. То есть, если , то для всех . Далее, существует такое, что , но не . ${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$ ${\displaystyle \rho \succeq _{k}\nu }$ ${\displaystyle k\geq n}$ ${\displaystyle \rho ,\nu }$ ${\displaystyle \rho \succeq _{n+1}\nu }$ ${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$

Определим n-й момент как , тогда ${\displaystyle \mu _{k}(\rho )=\mathbb {E} _{X\sim \rho }[X^{k}]=\int x^{k}dF_{\rho }(x)}$

Теорема  —  Если имеют место конечные моменты для всех , то . ${\displaystyle \rho \succ _{n}\nu }$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle \mu _{k}(\rho ),\mu _{k}(\nu )}$ ${\displaystyle k=1,2,...,n}$ ${\displaystyle (\mu _{1}(\rho ),\ldots ,\mu _{n}(\rho ))\succ _{n}^{*}(\mu _{1}(\nu ),\ldots ,\mu _{n}(\nu ))}$

Здесь частичный порядок определяется с помощью , если и только если , и, полагая наименьшим, таким, что , имеем ${\displaystyle \succ _{n}^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle v\succ _{n}^{*}w}$ ${\displaystyle v\neq w}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v_{k}\neq w_{k}}$ ${\displaystyle (-1)^{k-1}v_{k}>(-1)^{k-1}w_{k}}$

Ограничения

Стохастические отношения доминирования могут использоваться в качестве ограничений в задачах математической оптимизации , в частности, стохастического программирования . ^{[17] [18] [19]} В задаче максимизации действительного функционала по случайным величинам в наборе мы можем дополнительно потребовать, чтобы стохастически доминировал фиксированный случайный эталон . В этих задачах функции полезности играют роль множителей Лагранжа , связанных с ограничениями стохастического доминирования. При соответствующих условиях решение задачи также является (возможно, локальным) решением задачи максимизации по в , где — определенная функция полезности. Если используется ограничение стохастического доминирования первого порядка, функция полезности не убывает ; если используется ограничение стохастического доминирования второго порядка, является не убывающей и вогнутой . Система линейных уравнений может проверить, является ли данное решение эффективным для любой такой функции полезности. ^[20] Ограничения стохастического доминирования третьего порядка можно решать с помощью выпуклого квадратично ограниченного программирования (QCP). ^[21] ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f(X)+\mathbb {E} [u(X)-u(B)]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle u(x)}$

Смотрите также

• Современная теория портфеля
• Маргинальное условное стохастическое доминирование
• Расширение набора ответов — эквивалентно стохастическому доминированию в контексте отношений предпочтения.
• Квантовый катализатор
• Эффективность по Парето
• Лексикографическое доминирование

Ссылки

1. Хадар, Дж.; Рассел, У. (1969). «Правила упорядочения неопределенных перспектив». American Economic Review . 59 (1): 25–34. JSTOR  1811090.
2. Бава, Виджай С. (1975). «Оптимальные правила упорядочения неопределенных перспектив». Журнал финансовой экономики . 2 (1): 95–121. doi :10.1016/0304-405X(75)90025-2.
3. Блэквелл, Дэвид (июнь 1953 г.). «Эквивалентные сравнения экспериментов». Анналы математической статистики . 24 (2): 265–272. doi : 10.1214/aoms/1177729032 . ISSN  0003-4851.
4. Леви, Хаим (1990), Итвелл, Джон; Милгейт, Мюррей; Ньюман, Питер (ред.), «Стохастическое доминирование», Полезность и вероятность , Лондон: Palgrave Macmillan UK, стр. 251–254, doi :10.1007/978-1-349-20568-4_34, ISBN 978-1-349-20568-4, получено 2022-12-23
5. Куирк, Дж. П.; Сапосник, Р. (1962). «Допустимость и измеримые функции полезности». Обзор экономических исследований . 29 (2): 140–146. doi :10.2307/2295819. JSTOR  2295819.
6. Seifert, S. (2006). Опубликованные ценовые предложения на интернет-аукционных рынках. Германия: Physica-Verlag. Страница 85, ISBN 9783540352686, https://books.google.com/books?id=a-ngTxeSLakC&pg=PA85
7. Мас-Колелл, Андреу; Уинстон, Майкл Деннис; Грин, Джерри Р. (1995). Микроэкономическая теория. Нью-Йорк. Предложение 6.D.1. ISBN 0-19-507340-1. OCLC  32430901.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
8. Ханох, Г.; Леви, Х. (1969). «Анализ эффективности выборов, предполагающих риск». Обзор экономических исследований . 36 (3): 335–346. doi :10.2307/2296431. JSTOR  2296431.
9. Ротшильд, М.; Стиглиц , Дж. Э. (1970). «Увеличение риска: I. Определение». Журнал экономической теории . 2 (3): 225–243. doi :10.1016/0022-0531(70)90038-4.
10. Чан, Рэймонд Х.; Кларк, Эфраим; Вонг, Винг-Кеунг (16.11.2012). «О стохастическом доминировании третьего порядка для инвесторов, не склонных к риску и ищущих риск». mpra.ub.uni-muenchen.de . Получено 25.12.2022 .
11. Уитмор, GA (1970). «Стохастическое доминирование третьей степени». The American Economic Review . 60 (3): 457–459. ISSN  0002-8282. JSTOR  1817999.
12. Экерн, Стейнар (1980). «Повышение риска N- й степени». Письма по экономике . 6 (4): 329–333. дои : 10.1016/0165-1765(80)90005-1.
13. Виксон, РГ (1975). «Тесты стохастического доминирования для снижения абсолютного неприятия риска. I. Дискретные случайные величины». Management Science . 21 (12): 1438–1446. doi :10.1287/mnsc.21.12.1438.
14. Виксон, РГ (1977). «Тесты стохастического доминирования для снижения абсолютного неприятия риска. II. Общие случайные величины». Наука управления . 23 (5): 478–489. doi :10.1287/mnsc.23.5.478.
15. См., например, Post, Th.; Fang, Y.; Kopa, M. (2015). «Линейные тесты для стохастического доминирования DARA». Management Science . 61 (7): 1615–1629. doi :10.1287/mnsc.2014.1960.
16. Фишберн, Питер К. (1980-02-01). «Стохастическое доминирование и моменты распределений». Математика исследования операций . 5 (1): 94–100. doi :10.1287/moor.5.1.94. ISSN  0364-765X.
17. Денчева, Д.; Рущинский , А. (2003). «Оптимизация с ограничениями стохастического доминирования». Журнал SIAM по оптимизации . 14 (2): 548–566. CiteSeerX 10.1.1.201.7815 . doi :10.1137/S1052623402420528. S2CID  12502544. 
18. Куосманен, Т. (2004). «Эффективная диверсификация в соответствии с критериями стохастического доминирования». Management Science . 50 (10): 1390–1406. doi :10.1287/mnsc.1040.0284.
19. Денчева, Д.; Рущинский , А. (2004). «Полубесконечная вероятностная оптимизация: ограничения стохастического доминирования первого порядка». Оптимизация . 53 (5–6): 583–601. doi :10.1080/02331930412331327148. S2CID  122168294.
20. Пост, Т (2003). «Эмпирические тесты на эффективность стохастического доминирования». Журнал финансов . 58 (5): 1905–1932. doi :10.1111/1540-6261.00592.
21. Пост, Тьерри; Копа, Милош (2016). «Выбор портфеля на основе стохастического доминирования третьей степени». Management Science . 63 (10): 3381–3392. doi :10.1287/mnsc.2016.2506. SSRN  2687104.