Первая гипотеза Харди–Литтлвуда

Неразрешенная гипотеза в теории чисел

В теории чисел первая гипотеза Харди–Литтлвуда ^[1] устанавливает асимптотическую формулу для числа простых k-кортежей, меньших заданной величины, обобщая теорему о простых числах . Впервые она была предложена Г. Х. Харди и Джоном Эденсором Литтлвудом в 1923 году. ^[2]

Заявление

Пусть будут положительными четными целыми числами, такими, что числа последовательности не образуют полный класс остатков относительно любого простого числа, и пусть обозначает количество простых чисел, меньших st. Все они являются простыми. Тогда ^{[1] [3]} ${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k}}$ ${\displaystyle P=(p,p+m_{1},p+m_{2},\ldots ,p+m_{k})}$ ${\displaystyle \pi _{P}(n)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p+m_{1},p+m_{2},\ldots ,p+m_{k}}$

${\displaystyle \pi _{P}(n)\sim C_{P}\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log ^{k+1}t}},}$

где

${\displaystyle C_{P}=2^{k}\prod _{q{\text{ prime,}} \atop q\geq 3}{\frac {1-{\frac {w(q;m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k})}{q}}}{\left(1-{\frac {1}{q}}\right)^{k+1}}}}$

является произведением нечетных простых чисел и обозначает количество различных остатков по модулю . ${\displaystyle w(q;m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k})}$ ${\displaystyle 0,m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k}}$ ${\displaystyle q}$

Случай и связан с гипотезой о простых числах-близнецах . В частности, если обозначает количество простых чисел-близнецов, меньших n , то ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle m_{1}=2}$ ${\displaystyle \pi _{2}(n)}$

${\displaystyle \pi _{2}(n)\sim C_{2}\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log ^{2}t}},}$

где

${\displaystyle C_{2}=2\prod _{\textstyle {q{\text{ prime,}} \atop q\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(q-1)^{2}}}\right)\approx 1.320323632\ldots }$

является константой близнецов-простых чисел. ^[3]

Число Скьюза

Числа Скьюза для простых k -кортежей являются расширением определения числа Скьюза для простых k -кортежей, основанного на первой гипотезе Харди–Литтлвуда. Первое простое p , которое нарушает неравенство Харди–Литтлвуда для k -кортежа P , т.е. такое, что

${\displaystyle \pi _{P}(p)>C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),}$

(если такое простое число существует ) — это число Скьюза для P. ^[3]

Последствия

Было показано, что эта гипотеза несовместима со второй гипотезой Харди–Литтлвуда . ^[4]

Обобщения

Гипотеза Бейтмана –Хорна обобщает первую гипотезу Харди–Литтлвуда на многочлены степени выше 1. ^[1]

Примечания

1. Алетейя-Зомлефер, Фукшанский и Гарсия 2020.
2. Харди, GH ; Литтлвуд, JE (1923). «Некоторые проблемы „Partitio Numerorum“. III. О выражении числа в виде суммы простых чисел». Acta Math. 44 (44): 1–70. doi : 10.1007/BF02403921 ..
3. Tóth 2019.
4. Ричардс, Ян (1974). «О несовместимости двух гипотез относительно простых чисел». Bull. Amer. Math. Soc . 80 : 419–438. doi : 10.1090/S0002-9904-1974-13434-8 .

Ссылки

• Aletheia-Zomlefer, Soren Laing; Fukshansky, Lenny; Garcia, Stephan Ramon (2020). «Гипотеза Бейтмена–Хорна: эвристика, история и приложения». Expositiones Mathematicae . 38 (4): 430–479. doi : 10.1016/j.exmath.2019.04.005 . ISSN  0723-0869.
• Tóth, László (январь 2019 г.). «Об асимптотической плотности простых k-кортежей и гипотезе Харди и Литтлвуда». Вычислительные методы в науке и технике . 25 : 143–138. arXiv : 1910.02636 . doi : 10.12921/cmst.2019.0000033.