В алгебраической геометрии вырождение (или специализация ) — это действие взятия предела семейства многообразий. Точнее, если задан морфизм
многообразия (или схемы) к кривой C с началом 0 (например, аффинная или проективная прямая), слои
образуют семейство многообразий над C . Тогда волокно можно рассматривать как предел при . Тогда говорят, что семейство вырождается в специальное волокно . Предельный процесс ведет себя хорошо, когда является плоским морфизмом , и в этом случае вырождение называется плоским вырождением . Многие авторы предполагают, что вырождения являются плоскими.
Когда семейство тривиально вне специального слоя, т. е. не зависит с точностью до (когерентных) изоморфизмов, оно называется общим слоем.
При изучении модулей кривых важным моментом является понимание границ модулей, что равнозначно пониманию вырождений кривых.
Управляемость специализируется. Точно, теорема Мацусака говорит
Пусть D = k [ ε ] — кольцо дуальных чисел над полем k, а Y — схема конечного типа над k . Для заданной замкнутой подсхемы X схемы Y по определению вложенная инфинитезимальная деформация первого порядка X является замкнутой подсхемой X ' схемы Y × Spec( k ) Spec( D ) такой, что проекция X ' → Spec D является плоской и имеет X в качестве специального слоя.
Если Y = Spec A и X = Spec( A / I ) являются аффинными, то вложенная бесконечно малая деформация представляет собой идеал I ' в A [ ε ] такой, что A [ ε ]/ I ' является плоским над D , а образ I ' в A = A [ ε ]/ ε равен I .
В общем случае, если заданы пунктированная схема ( S , 0) и схема X , морфизм схем π : X ' → S называется деформацией схемы X, если она плоская и ее слой над выделенной точкой 0 схемы S есть X. Таким образом, приведенное выше понятие является частным случаем, когда S = Spec D и имеется некоторый выбор вложения.
