Плоский морфизм

Концепция теории схем

В математике , в частности в теории схем алгебраической геометрии , плоский морфизм f из схемы X в схему Y — это морфизм, такой что индуцированное отображение на каждом стебле является плоским отображением колец, т.е.

${\displaystyle f_{P}\colon {\mathcal {O}}_{Y,f(P)}\to {\mathcal {O}}_{X,P}}$

является плоским отображением для всех P в X. ^[1] Отображение колец называется плоским, если оно является гомоморфизмом, который делает B плоским A -модулем . Морфизм схем называется точно плоским, если он является одновременно сюръективным и плоским. ^[2] ${\displaystyle A\to B}$

Две основные идеи относительно плоских морфизмов таковы:

• плоскостность является общим свойством ; и
• нарушение плоскостности происходит на прыгающем множестве морфизма.

Первый из них исходит из коммутативной алгебры : при некоторых условиях конечности на f можно показать, что существует непустая открытая подсхема Y , такая, что f , ограниченная на Y ′, является плоским морфизмом ( общая плоскостность ). Здесь «ограничение» интерпретируется посредством послойного произведения схем , примененного к f и отображения включения в Y . ${\displaystyle Y'}$ ${\displaystyle Y'}$

Во-вторых, идея заключается в том, что морфизмы в алгебраической геометрии могут демонстрировать разрывы такого рода, которые обнаруживаются плоскостностью. Например, операция сдувания в бирациональной геометрии алгебраической поверхности может дать одно волокно , имеющее размерность 1, когда все остальные имеют размерность 0. Оказывается (ретроспективно), что плоскостность в морфизмах напрямую связана с контролем этого вида полунепрерывности , или одностороннего прыжка.

Плоские морфизмы используются для определения (более одной версии) плоского топоса и плоских когомологий пучков из него. Это глубокая теория, и с ней нелегко работать. Концепция этального морфизма (и, следовательно, этальных когомологий ) зависит от концепции плоского морфизма: этальный морфизм является плоским, конечного типа и неразветвленным .

Примеры/не примеры

Рассмотрим морфизм аффинной схемы

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])}$

индуцированный из морфизма алгебр

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {C} [t]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}\\t\mapsto t.\\\end{cases}}}$

Поскольку доказательство плоскостности этого морфизма равносильно вычислению ^[3]

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {C} [t]}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}},\mathbb {C} \right),}$

мы решаем комплексные числа

${\displaystyle {\begin{array}{lcccc}0&\to &\mathbb {C} [t]&{\xrightarrow {\cdot t}}&\mathbb {C} [t]&\to &0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &0&\to &\mathbb {C} &\to &0\\\end{array}}}$

и тензор по модулю, представляющему нашу схему, дающую последовательность -модулей ${\displaystyle \mathbb {C} [t]}$

${\displaystyle 0\to {\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}{\xrightarrow {\cdot t}}{\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}\to 0}$

Поскольку t не является делителем нуля, мы имеем тривиальное ядро, следовательно, группа гомологии исчезает.

Чудо плоскостности

Другие примеры плоских морфизмов можно найти, используя "чудо плоскостности" ^[4] , которое утверждает, что если у вас есть морфизм между схемой Коэна–Маколея и регулярной схемой с равноразмерными слоями, то она плоская. Простыми примерами этого являются эллиптические расслоения , гладкие морфизмы и морфизмы в стратифицированные многообразия , которые удовлетворяют чудесной плоскостности на каждом из страт. ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

Схемы Гильберта

Универсальные примеры плоских морфизмов схем даны схемами Гильберта . Это происходит потому, что схемы Гильберта параметризуют универсальные классы плоских морфизмов, и каждый плоский морфизм является обратным протягиванием из некоторой схемы Гильберта. То есть, если является плоским, то существует коммутативная диаграмма ${\displaystyle f\colon X\to S}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &\operatorname {Hilb} _{S}\\\downarrow &&\downarrow \\S&\to &S\end{matrix}}}$

для схемы Гильберта всех плоских морфизмов в . Поскольку является плоским, все слои имеют один и тот же многочлен Гильберта , поэтому мы могли бы аналогично записать для схемы Гильберта выше. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{s}\colon X_{s}\to s}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\text{Hilb}}_{S}^{\Phi }}$

Не примеры

Увеличение

Один класс не-примеров дается картами увеличения

${\displaystyle \operatorname {Bl} _{I}X\to X.}$

Одним из простых примеров является раздутие точки в . Если мы возьмем начало координат, это задается морфизмом ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y,s,t]}{xt-ys}}}$отправка ${\displaystyle x\mapsto x,y\mapsto y,}$

где волокно над точкой является копией , т.е. ${\displaystyle (a,b)\neq (0,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y,s,t]}{xt-ys}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x-a,y-b)}}\cong \mathbb {C} ,}$

что следует из

${\displaystyle M\otimes _{R}{\frac {R}{I}}\cong {\frac {M}{IM}}.}$

Но для мы получаем изоморфизм ${\displaystyle a=b=0}$

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y,s,t]}{xt-ys}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x,y)}}\cong \mathbb {C} [s,t].}$

Причина, по которой это не является плоским, заключается в лемме о чудесной плоскости, которую можно проверить локально.

Бесконечное разрешение

Простой не-пример плоского морфизма — это потому, что ${\displaystyle k[\varepsilon ]=k[x]/(x^{2})\to k.}$

${\displaystyle k\otimes _{k[\varepsilon ]}^{\mathbf {L} }k}$

— бесконечный комплекс, который мы можем найти, взяв плоское разрешение k ,

${\displaystyle \cdots ~{\xrightarrow {{\overset {}{\cdot }}\varepsilon }}~k[\varepsilon ]~{\xrightarrow {\cdot \varepsilon }}~k[\varepsilon ]{\xrightarrow {\cdot \varepsilon }}k[\varepsilon ]\to k}$

и тензорно разрешим с помощью k , находим, что

${\displaystyle k\otimes _{k[\varepsilon ]}^{\mathbf {L} }k\simeq \bigoplus _{i=0}^{\infty }k[+i]}$

показывая, что морфизм не может быть плоским. Другим примером неплоского морфизма является раздутие , поскольку плоский морфизм обязательно имеет равномерные слои.

Свойства плоских морфизмов

Пусть будет морфизмом схем. Для морфизма пусть и Морфизм f является плоским тогда и только тогда, когда для каждого g обратный образ является точным функтором из категории квазикогерентных -модулей в категорию квазикогерентных -модулей. ^[5] ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle g\colon Y'\to Y}$ ${\displaystyle X'=X\times _{Y}Y'}$ ${\displaystyle f'=(f,1_{Y'})\colon X'\to Y'.}$ ${\displaystyle f'^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y'}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X'}}$

Предположим, что и являются морфизмами схем, а f является плоским в точке x в X. Тогда g является плоским в точке тогда и только тогда, когда gf является плоским в точке x . ^[6] В частности, если f является строго плоским, то g является плоским или строго плоским тогда и только тогда, когда gf является строго плоским или строго плоским соответственно. ^[7] ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ ${\displaystyle f(x)}$

Основные свойства

• Композиция двух плоских морфизмов является плоской. ^[8]
• Произведение двух плоских или строго плоских морфизмов является плоским или строго плоским морфизмом соответственно. ^[9]
• Плоскость и точная плоскость сохраняются при замене основания: если f плоская или точная плоскость и , то волокнистое произведение является плоским или точной плоскостью соответственно. ^[10] ${\displaystyle g\colon Y'\to Y}$ ${\displaystyle f\times g\colon X\times _{Y}Y'\to Y'}$
• Множество точек, в которых морфизм (локально конечного представления) является плоским, открыто. ^[11]
• Если f является строго плоским и имеет конечное представление, а если gf имеет конечный тип или конечное представление, то g имеет конечный тип или конечное представление соответственно. ^[12]

Предположим, что — плоский морфизм схем. ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

• Если F — квазикогерентный пучок конечного представления на Y (в частности, если F когерентен), и если J — аннулятор F на Y , то , обратный образ отображения включения, является инъекцией, а образ в является аннулятором на X . ^[13] ${\displaystyle f^{*}J\to {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle f^{*}J}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle f^{*}F}$
• Если f является строго плоским и если G является квазикогерентным -модулем, то отображение обратного проецирования на глобальных сечениях является инъективным. ^[14] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle \Gamma (Y,G)\to \Gamma (X,f^{*}G)}$

Предположим, что является плоским. Пусть X и Y будут S -схемами, а и будут их базовыми изменениями на h . ${\displaystyle h\colon S'\to S}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle Y'}$

• Если является квазикомпактным и доминирующим, то его базовое изменение является квазикомпактным и доминирующим. ^[15] ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f'\colon X'\to Y'}$
• Если h является строго плоским, то отображение обратного проецирования является инъективным. ^[16] ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(X,Y)\to \operatorname {Hom} _{S'}(X',Y')}$
• Предположим, что является квазикомпактным и квазиразделенным. Пусть Z — замкнутый образ X , и пусть — каноническая инъекция. Тогда замкнутая подсхема, определяемая заменой базы, является замкнутым образом . ^[17] ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle j\colon Z\to Y}$ ${\displaystyle j'\colon Z'\to Y'}$ ${\displaystyle X'}$

Топологические свойства

Если является плоским, то он обладает всеми следующими свойствами: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

• Для каждой точки x множества X и каждого обобщения y ′ множества y = f ( x ) существует обобщение x ′ множества x , такое что y ′ = f ( x ′) . ^[18]
• Для каждой точки x множества X , . ^[19] ${\displaystyle f(\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{X,x})=\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}}$
• Для каждого неприводимого замкнутого подмножества Y ′ из Y каждый неприводимый компонент f ⁻¹ ( Y ′) доминирует над Y ′. ^[20]
• Если Z и Z ′ — два неприводимых замкнутых подмножества Y , причем Z содержится в Z ′, то для каждого неприводимого компонента T из f ⁻¹ ( Z ) существует неприводимый компонент T ′ из f ⁻¹ ( Z ′), содержащий T . ^[21]
• Для каждого неприводимого компонента T множества X замыкание f ( T ) является неприводимым компонентом Y . ^[22]
• Если Y неприводимо с общей точкой y , и если f ⁻¹ ( y ) неприводимо, то X неприводимо. ^[23]
• Если f также замкнуто, то образ каждой связной компоненты X является связной компонентой Y. ^[24 ]
• Для каждого проконструируемого подмножества Z из Y , . ^[25] ${\displaystyle f^{-1}({\bar {Z}})={\overline {f^{-1}(Z)}}}$

Если f является плоским и локально конечно представимым, то f является универсально открытым. ^[26] Однако, если f является строго плоским и квазикомпактным, то, вообще говоря, не является открытым, даже если X и Y являются нётеровыми. ^[27] Более того, обратное утверждение к этому утверждению не выполняется: если f является каноническим отображением из редуцированной схемы X _red в X , то f является универсальным гомеоморфизмом, но для X, не редуцированной и нётеровой, f никогда не является плоским. ^[28]

Если является строго плоским, то: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

• Топология на Y является топологией фактора относительно f . ^[29]
• Если f также квазикомпактно, и если Z является подмножеством Y , то Z является локально замкнутым проконструируемым подмножеством Y тогда и только тогда, когда f ⁻¹ ( Z ) является локально замкнутым проконструируемым подмножеством X . ^[30]

Если f является плоским и локально имеет конечное представление, то для каждого из следующих свойств P множество точек, где f имеет P, открыто: ^[31]

• Условие Серра S _k (для любого фиксированного k ).
• Геометрически правильный.
• Геометрически нормальный.

Если вдобавок f является собственным, то то же самое справедливо для каждого из следующих свойств: ^[32]

• Геометрически уменьшено.
• Геометрически редуцированный и имеющий k геометрических связных компонент (для любого фиксированного k ).
• Геометрически целостный.

Плоскостность и размерность

Предположим, что и являются локально нётеровыми, и пусть . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

• Пусть x будет точкой X и y = f ( x ) . Если f плоский, то dim _x X = dim _y Y + dim _x f ⁻¹ ( y ) . ^[33] Обратно, если это равенство выполняется для всех x , X является Коэном–Маколеем , а Y является регулярным , и, кроме того, f отображает замкнутые точки в замкнутые точки, то f плоский. ^[34]
• Если f является строго плоским, то для каждого замкнутого подмножества Z из Y codim _Y ( Z ) = codim _X ( f ⁻¹ ( Z )) . ^[35]
• Предположим, что f плоский, а F — квазикогерентный модуль над Y. Если F имеет проективную размерность не более n , то имеет проективную размерность не более n . ^[36] ${\displaystyle f^{*}F}$

Свойства спуска

• Предположим, что f является плоским в точке x в X. Если X является редуцированным или нормальным в точке x , то Y является редуцированным или нормальным, соответственно, в точке f ( x ). ^[37] И наоборот, если f также имеет конечное представление и f ⁻¹ ( y ) является редуцированным или нормальным, соответственно, в точке x , то X является редуцированным или нормальным, соответственно, в точке x . ^[38]
• В частности, если f точно плоский, то X приведенный или нормальный подразумевает, что Y приведен или нормален, соответственно. Если f точно плоский и имеет конечное представление, то все слои f приведенный или нормальный подразумевают, что X приведен или нормален, соответственно.
• Если f является плоским в точке x в X , и если X является целым или целочисленно замкнутым в точке x , то Y является целым или целочисленно замкнутым, соответственно, в точке f ( x ). ^[39]
• Если f является строго плоским, X локально целочисленным, а топологическое пространство Y локально нётерово, то Y локально целочисленно. ^[40]
• Если f является строго плоским и квазикомпактным, а X локально нётерово, то Y также локально нётерово. ^[41]
• Предположим, что f плоский, а X и Y локально нётеровы. Если X регулярен в точке x , то Y регулярен в точке f ( x ). И наоборот, если Y регулярен в точке f ( x ) и f ⁻¹ ( f ( x )) регулярен в точке x , то X регулярен в точке x . ^[42]
• Предположим, что f плоский, а X и Y локально нётеровы. Если X нормален в точке x , то Y нормален в точке f ( x ). И наоборот, если Y нормален в точке f ( x ), а f ⁻¹ ( f ( x )) нормален в точке x , то X нормален в точке x . ^[43]

Пусть g  : Y ′ → Y будет строго плоским. Пусть F будет квазикогерентным пучком на Y , и пусть F ′ будет обратным проецированием F на Y ′. Тогда F является плоским над Y тогда и только тогда, когда F ′ является плоским над Y ′. ^[44]

Предположим, что f является строго плоским и квазикомпактным. Пусть G — квазикогерентный пучок на Y , и пусть F обозначает его обратный путь к X . Тогда F имеет конечный тип, конечное представление или локально свободен от ранга n тогда и только тогда, когда G обладает соответствующим свойством. ^[45]

Предположим, что f  : X → Y является S -морфизмом S -схем. Пусть g  : S ′ → S будет строго плоским и квазикомпактным, и пусть X ′, Y ′ и f ′ обозначают базовые замены через g . Тогда для каждого из следующих свойств P , если f ′ имеет P , то f имеет P . ^[46]

• Открыть.
• Закрыто.
• Квазикомпакт и гомеоморфизм на его образ.
• Гомеоморфизм.

Кроме того, для каждого из следующих свойств P , f имеет P тогда и только тогда, когда f ′ имеет P . ^[47]

• Универсально открыт.
• Универсально закрыто.
• Универсальный гомеоморфизм.
• Квазикомпактный.
• Квазикомпактный и доминирующий.
• Квазикомпактный и универсально двунепрерывный.
• Раздельно.
• Квазиразделенный.
• Локально конечного типа.
• Локально конечного представления.
• Конечный тип.
• Конечное представление.
• Правильный.
• Изоморфизм.
• Мономорфизм.
• Открытое погружение.
• Квазикомпактное погружение.
• Закрытое погружение.
• Аффинный.
• Квазиаффинный.
• Конечно.
• Квазиконечный.
• Интеграл.

Возможно, что f ′ будет локальным изоморфизмом, при этом f не будет даже локальным погружением. ^[48]

Если f квазикомпактно, а L — обратимый пучок на X , то L является f -обильным или f -очень обильным тогда и только тогда, когда его пулбэк L ′ является f ′-обильным или f ′-очень обильным соответственно. ^[49] Однако неверно, что f проективен тогда и только тогда, когда f ′ проективен. Неверно даже, что если f собственный и f ′ проективен, то f квазипроективен, потому что возможно иметь f ′-обильный пучок на X ′, который не спускается в X . ^[50]

Смотрите также

• морфизм fpqc
• Относительный эффективный делитель Картье , пример плоского морфизма
• Вырождение (алгебраическая геометрия)

Примечания

1. EGA IV ₂ , 2.1.1.
2. EGA 0 _I , 6.7.8.
3. Sernesi, E. (2010). Деформации алгебраических схем . Springer . С. 269–279.
4. «Плоские морфизмы и плоскостность».
5. EGA IV ₂ , Предложение 2.1.3.
6. EGA IV ₂ , следствие 2.2.11(iv).
7. EGA IV ₂ , следствие 2.2.13(iii).
8. EGA IV ₂ , следствие 2.1.6.
9. EGA IV ₂ , следствие 2.1.7, и EGA IV ₂ , следствие 2.2.13(ii).
10. EGA IV ₂ , предложение 2.1.4, и EGA IV ₂ , следствие 2.2.13(i).
11. EGA IV ₃ , Теорема 11.3.1.
12. EGA IV ₃ , Предложение 11.3.16.
13. EGA IV ₂ , Предложение 2.1.11.
14. EGA IV ₂ , следствие 2.2.8.
15. EGA IV ₂ , Предложение 2.3.7(i).
16. EGA IV ₂ , следствие 2.2.16.
17. EGA IV ₂ , Предложение 2.3.2.
18. EGA IV ₂ , Предложение 2.3.4(i).
19. EGA IV ₂ , Предложение 2.3.4(ii).
20. EGA IV ₂ , Предложение 2.3.4(iii).
21. EGA IV ₂ , следствие 2.3.5(i).
22. EGA IV ₂ , следствие 2.3.5(ii).
23. EGA IV ₂ , следствие 2.3.5(iii).
24. EGA IV ₂ , Предложение 2.3.6(ii).
25. EGA IV ₂ , Теорема 2.3.10.
26. EGA IV ₂ , Теорема 2.4.6.
27. EGA IV ₂ , Примечание 2.4.8(i).
28. EGA IV ₂ , Замечания 2.4.8(ii).
29. EGA IV ₂ , следствие 2.3.12.
30. EGA IV ₂ , следствие 2.3.14.
31. EGA IV ₃ , Теорема 12.1.6.
32. EGA IV ₃ , Теорема 12.2.4.
33. EGA IV ₂ , следствие 6.1.2.
34. EGA IV ₂ , Предложение 6.1.5. Обратите внимание, что предположение регулярности относительно Y здесь важно. Расширение дает контрпример с X регулярным, Y нормальным, f конечным сюръективным, но не плоским. ${\displaystyle \mathbb {C} [x^{2},y^{2},xy]\subset \mathbb {C} [x,y]}$
35. EGA IV ₂ , следствие 6.1.4.
36. EGA IV ₂ , следствие 6.2.2.
37. EGA IV ₂ , Предложение 2.1.13.
38. EGA IV ₃ , Предложение 11.3.13.
39. EGA IV ₂ , Предложение 2.1.13.
40. EGA IV ₂ , Предложение 2.1.14.
41. EGA IV ₂ , Предложение 2.2.14.
42. EGA IV ₂ , следствие 6.5.2.
43. EGA IV ₂ , следствие 6.5.4.
44. EGA IV ₂ , Предложение 2.5.1.
45. EGA IV ₂ , Предложение 2.5.2.
46. EGA IV ₂ , Предложение 2.6.2.
47. EGA IV ₂ , следствие 2.6.4 и предложение 2.7.1.
48. EGA IV ₂ , Замечания 2.7.3(iii).
49. EGA IV ₂ , следствие 2.7.2.
50. EGA IV ₂ , Замечания 2.7.3(ii).

Ссылки

• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Graduate Texts in Mathematics, т. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1, MR  1322960, ISBN 978-0-387-94269-8 , раздел 6.
• Серр, Жан-Пьер (1956), «Алгебратическая и аналитическая геометрия», Annales de l'Institut Fourier , 6 : 1–42, doi : 10.5802/aif.59 , ISSN  0373-0956, MR  0082175
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык схем». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . дои : 10.1007/bf02684778. МР  0217083.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1965). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное исследование схем и морфизмов схем, Вторая партия». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 24 . дои : 10.1007/bf02684322. МР  0199181.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1966). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальный этюд схем и морфизмов схем, Тройная партия». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 28 . дои : 10.1007/bf02684343. МР  0217086.
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157