Метод гибкости

Методика расчета усилий и перемещений элементов конструкции

В строительной инженерии метод гибкости , также называемый методом последовательных деформаций , является традиционным методом вычисления сил и перемещений элементов в структурных системах. Его современная версия, сформулированная в терминах матриц гибкости элементов , также имеет название метода матричных сил из-за использования в нем сил элементов в качестве основных неизвестных. ^[1]

Гибкость членов

Гибкость — это обратная величина жесткости . Например, рассмотрим пружину, которая имеет Q и q в качестве, соответственно, ее силы и деформации:

• Соотношение жесткости пружины имеет вид Q = kq , где k — жесткость пружины.
• Соотношение ее гибкости равно q = f Q , где f — гибкость пружины.
• Следовательно, f = 1/ k .

Типичное отношение гибкости члена имеет следующую общую форму:

где

m = номер элемента m .

${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$= вектор характерных деформаций стержня.

${\displaystyle \mathbf {f} ^{m}}$= матрица гибкости элемента, которая характеризует восприимчивость элемента к деформации под действием сил.

${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}}$= вектор независимых характеристических сил стержня, которые являются неизвестными внутренними силами. Эти независимые силы приводят к возникновению всех сил стержня-конца посредством равновесия стержня.

${\displaystyle \mathbf {q} ^{om}}$= вектор характерных деформаций элемента, вызванных внешними воздействиями (такими как известные силы и изменения температуры), приложенными к изолированному, отсоединенному элементу (т.е. при ). ${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}=0}$

Для системы, состоящей из множества элементов, соединенных между собой в точках, называемых узлами, отношения гибкости элементов можно объединить в одно матричное уравнение, опустив верхний индекс m:

где M — общее число характерных деформаций или сил элементов в системе.

В отличие от метода жесткости матрицы , где отношения жесткости элементов могут быть легко интегрированы через условия узлового равновесия и совместимости, существующая форма гибкости уравнения ( 2 ) представляет серьезную трудность. С силами элементов в качестве основных неизвестных, количество уравнений узлового равновесия недостаточно для решения, в общем случае, если система не является статически определенной . ${\displaystyle \mathbf {Q} _{M\times 1}}$

Уравнения узлового равновесия

Чтобы разрешить эту трудность, сначала воспользуемся уравнениями узлового равновесия, чтобы уменьшить число независимых неизвестных сил-членов. Уравнение узлового равновесия для системы имеет вид:

где

${\displaystyle \mathbf {R} _{N\times 1}}$: Вектор узловых сил во всех N степенях свободы системы.

${\displaystyle \mathbf {b} _{N\times M}}$: Результирующая матрица узлового равновесия

${\displaystyle \mathbf {W} _{N\times 1}}$: Вектор сил, возникающих при нагрузке на элементы.

В случае детерминированных систем матрица b является квадратной и решение для Q можно найти немедленно из ( 3 ) при условии, что система устойчива.

Первичная система

Для статически неопределимых систем M > N , и, следовательно, мы можем дополнить ( 3 ) уравнениями I = M − N вида:

Вектор X — это так называемый вектор избыточных сил, а I — степень статической неопределенности системы. Обычно мы выбираем j , k , … , и так, чтобы была опорная реакция или внутренняя сила на конце стержня. При подходящем выборе избыточных сил система уравнений ( 3 ), дополненная ( 4 ), теперь может быть решена для получения: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle X_{i}}$

Подстановка в ( 2 ) дает:

Уравнения ( 5 ) и ( 6 ) являются решением для первичной системы , которая является исходной системой, ставшей статически определенной путем разрезов, которые выставляют избыточные силы . Уравнение ( 5 ) эффективно уменьшает набор неизвестных сил до . ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

Уравнение совместимости и решение

Далее нам нужно составить уравнения совместимости, чтобы найти . Уравнения совместимости восстанавливают требуемую непрерывность на разрезах, устанавливая относительные смещения на избыточных X равными нулю. То есть, используя метод единичной фиктивной силы : ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{X}}$

где

${\displaystyle \mathbf {F} _{XX}=\mathbf {B} _{X}^{T}\mathbf {f} \mathbf {B} _{X}}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{X}^{o}=\mathbf {B} _{X}^{T}{\Big [}\mathbf {f} {\Big (}\mathbf {B} _{R}\mathbf {R} +\mathbf {Q} _{v}{\Big )}+\mathbf {q} ^{o}{\Big ]}}$

Уравнение ( 7b ) можно решить относительно X , а силы в элементах затем найти из ( 5 ), в то время как узловые смещения можно найти по формуле

${\displaystyle \mathbf {r} _{R}=\mathbf {B} _{R}^{T}\mathbf {q} =\mathbf {F} _{RR}\mathbf {R} +\mathbf {r} _{R}^{o}}$

где

${\displaystyle \mathbf {F} _{RR}=\mathbf {B} _{R}^{T}\mathbf {f} \mathbf {B} _{R}}$матрица гибкости системы .

${\displaystyle \mathbf {r} _{R}^{o}=\mathbf {B} _{R}^{T}{\Big [}\mathbf {f} {\Big (}\mathbf {B} _{X}\mathbf {X} +\mathbf {Q} _{v}{\Big )}+\mathbf {q} ^{o}{\Big ]}}$

Перемещения опор, происходящие в избыточных местах, можно включить в правую часть уравнения ( 7 ), тогда как перемещения опор в других местах также необходимо включить в и . ${\displaystyle \mathbf {r} _{X}^{o}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{R}^{o}}$

Преимущества и недостатки

Хотя выбор избыточных сил в ( 4 ) кажется произвольным и проблематичным для автоматического вычисления, это возражение можно преодолеть, перейдя от ( 3 ) непосредственно к ( 5 ), используя модифицированный процесс исключения Гаусса-Жордана . Это надежная процедура, которая автоматически выбирает хороший набор избыточных сил для обеспечения численной устойчивости.

Из вышеописанного процесса очевидно, что метод матричной жесткости легче понять и реализовать для автоматического вычисления. Его также легче расширить для сложных приложений, таких как нелинейный анализ, устойчивость, вибрации и т. д. По этим причинам метод матричной жесткости является методом выбора для использования в пакетах программного обеспечения для структурного анализа общего назначения. С другой стороны, для линейных систем с низкой степенью статической неопределенности метод гибкости имеет то преимущество, что он менее интенсивен в вычислительном плане. Однако это преимущество является спорным вопросом, поскольку персональные компьютеры широко доступны и более мощны. Главным искупительным фактором при изучении этого метода в настоящее время является его образовательная ценность в передаче концепций равновесия и совместимости в дополнение к его исторической ценности. Напротив, процедура метода прямой жесткости настолько механична, что она рискует быть использована без особого понимания поведения конструкции.

Верхние аргументы были верны до конца 1990-х годов. Однако недавние достижения в области численных вычислений показали возвращение метода силы, особенно в случае нелинейных систем. Были разработаны новые структуры, которые позволяют получать «точные» формулировки независимо от типа или природы нелинейностей системы. Главным преимуществом метода гибкости является то, что погрешность результата не зависит от дискретизации модели и что это действительно очень быстрый метод. Например, упругопластическое решение непрерывной балки с использованием метода силы требует всего 4 элементов балки, тогда как коммерческий «основанный на жесткости» код FEM требует 500 элементов для получения результатов с той же точностью. В заключение можно сказать, что в случае, когда решение задачи требует рекурсивных оценок силового поля, как в случае структурной оптимизации или идентификации системы , эффективность метода гибкости неоспорима.

Смотрите также

• Метод конечных элементов в строительной механике
• Структурный анализ
• Метод жесткости

Ссылки

1. "Метод Matrix Force" (PDF) . IUST . Получено 29 декабря 2012 .

Внешние ссылки

• Последовательные деформации - метод силы Архивировано 10 августа 2008 г. на Wayback Machine