В математике , в области теории категорий , функтор забывания (также известный как функтор зачистки ) «забывает» или удаляет некоторые или все структуры или свойства входных данных «до» отображения на выходные данные. Для алгебраической структуры данной подписи это может быть выражено сокращением подписи: новая подпись представляет собой отредактированную форму старой. Если подпись остается пустым списком, функтор просто берет базовый набор структуры. Поскольку многие структуры в математике состоят из набора с дополнительной добавленной структурой, наиболее распространенным случаем является функтор забывания, который отображается в базовый набор.
В качестве примера можно привести несколько забывчивых функторов из категории коммутативных колец . Кольцо ( с единицей ) , описываемое на языке универсальной алгебры , представляет собой упорядоченный набор, удовлетворяющий определенным аксиомам, где и — бинарные функции на множестве , — унарная операция, соответствующая аддитивной обратной, а 0 и 1 — нульарные операции, дающие тождества из двух бинарных операций. Удаление 1 приводит к забывчивому функтору категории колец без единицы ; он просто «забывает» единицу. Удаление и 1 дает функтор категории абелевых групп , который присваивает каждому кольцу основную аддитивную абелеву группу . Каждому морфизму колец присвоена одна и та же функция , рассматриваемая просто как морфизм сложения между лежащими в основе группами. Удаление всех операций дает функтор базовому набору .
Полезно различать забывчивые функторы, которые «забывают структуру», и те, которые «забывают свойства». Например, в приведенном выше примере коммутативных колец помимо тех функторов, которые удаляют часть операций, есть функторы, которые забывают некоторые аксиомы. Существует функтор из категории CRing to Ring , который забывает аксиому коммутативности, но сохраняет все операции. Иногда объект может включать в себя дополнительные наборы, не определенные строго в терминах базового набора (в этом случае, какую часть рассматривать в базовом наборе, — дело вкуса, хотя на практике это редко бывает неоднозначным). Для этих объектов существуют забывчивые функторы, которые забывают дополнительные множества, которые являются более общими.
Наиболее распространенные объекты, изучаемые в математике, строятся как базовые множества вместе с дополнительными наборами структуры на этих множествах (операции с базовым набором, привилегированные подмножества базового набора и т. д.), которые могут удовлетворять некоторым аксиомам. Для этих объектов обычно рассматриваемый функтор забывания выглядит следующим образом. Пусть это любая категория, основанная на множествах , например, группы — наборы элементов — или топологические пространства — наборы «точек». Как обычно, пишите для объектов и морфизмов одного и того же. Рассмотрим правило:
Тогда функтором является забывчивый функтор от Set , категории множеств .
Забывчивые функторы почти всегда верны . Конкретные категории имеют забывчивые функторы для категории множеств — на самом деле их можно определить как те категории, которые допускают точный функтор в эту категорию.
Забывчивые функторы, которые забывают только аксиомы, всегда полностью верны , поскольку каждый морфизм, который соблюдает структуру между объектами, удовлетворяющими аксиомам, автоматически также соблюдает аксиомы. Забывчивые функторы, которые забывают структуры, не обязательно должны быть полными; некоторые морфизмы не учитывают структуру. Однако эти функторы по-прежнему верны, поскольку отдельные морфизмы, которые действительно учитывают структуру, по-прежнему различны, когда структура забыта. Функторы, которые забывают дополнительные множества, не обязательно должны быть точными, поскольку различные морфизмы, относящиеся к структуре этих дополнительных множеств, могут быть неразличимы на базовом множестве.
На языке формальной логики функтор первого рода удаляет аксиомы, функтор второго рода удаляет предикаты, а функтор третьего рода удаляет типы [ нужны пояснения ] . Примером первого рода является функтор забывания Ab → Grp . Один из второго рода — это функтор забывания Ab → Set . Функтором третьего рода является функтор Mod → Ab , где Mod — расслоенная категория всех модулей над произвольными кольцами. Чтобы убедиться в этом, просто выберите кольцевой гомоморфизм между лежащими в основе кольцами, который не меняет действие кольца. Под действием функтора забвения этот морфизм дает тождество. Обратите внимание, что объект в Mod — это кортеж, включающий в себя кольцо и абелеву группу, так что забыть — дело вкуса.
Забывчивые функторы имеют тенденцию иметь левые сопряженные , которые являются « свободными » конструкциями. Например:
Более обширный список см. (Mac Lane 1997).
Поскольку это фундаментальный пример сопряжений, мы поясним это: сопряженность означает, что для данного множества X и объекта (скажем, R -модуля) M карты множеств соответствуют картам модулей : каждая карта множеств дает карту модулей, а каждая карта модулей происходит из карты множеств.
В случае векторных пространств это резюмируется так: «Отображение между векторными пространствами определяется тем, куда оно отправляет базис, а базис может быть отображен во что угодно».
Символически:
Единицей вольно-забывчивого присоединения является «включение основы»: .
Fld , категория полей, представляет собой пример забывчивого функтора без сопряженного. Не существует поля, удовлетворяющего свободному универсальному свойству для данного множества.
