Формальная схема

Тип пространства в математике

В математике , в частности в алгебраической геометрии , формальная схема — это тип пространства, которое включает данные о его окружении. В отличие от обычной схемы , формальная схема включает бесконечно малые данные, которые, по сути, указывают в направлении, отличном от схемы. По этой причине формальные схемы часто появляются в таких темах, как теория деформаций . Но эта концепция также используется для доказательства теоремы, такой как теорема о формальных функциях , которая используется для вывода теорем, представляющих интерес для обычных схем.

Локально нётерова схема — это локально нётерова формальная схема в каноническом смысле: формальное пополнение вдоль себя. Другими словами, категория локально нётерова формальных схем содержит все локально нётеровы схемы.

Формальные схемы были разработаны на основе теории формальных голоморфных функций Зариского и обобщают ее .

Алгебраическая геометрия, основанная на формальных схемах, называется формальной алгебраической геометрией .

Определение

Формальные схемы обычно определяются только в нётеровском случае. Хотя существует несколько определений не-нётеровских формальных схем, они сталкиваются с техническими проблемами. Следовательно, мы будем определять только локально нётеровские формальные схемы.

Все кольца будут предполагаться коммутативными и с единицей . Пусть A будет (нётеровым) топологическим кольцом , то есть кольцом A , которое является топологическим пространством, таким, что операции сложения и умножения непрерывны. A линейно топологизировано, если нуль имеет базу , состоящую из идеалов . Идеал определения для линейно топологизированного кольца — это открытый идеал, такой что для каждой открытой окрестности V нуля существует положительное целое число n такое, что . Линейно топологизированное кольцо преддопустимо, если оно допускает идеал определения, и допустимо , если оно также является полным . (В терминологии Бурбаки это «полное и разделённое».) ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}^{n}\subseteq V}$

Предположим, что A допустимо, и пусть — идеал определения. Простой идеал открыт тогда и только тогда, когда он содержит . Множество открытых простых идеалов A , или, что эквивалентно, множество простых идеалов , является базовым топологическим пространством формального спектра A , обозначаемым Spf A . Spf A имеет структурный пучок , который определяется с помощью структурного пучка спектра кольца . Пусть — базис окрестностей для нуля, состоящий из идеалов определения. Все спектры имеют одно и то же базовое топологическое пространство, но разный структурный пучок. Структурный пучок Spf A является проективным пределом . ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle A/{\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{\lambda }}$ ${\displaystyle A/{\mathcal {J}}_{\lambda }}$ ${\displaystyle \varprojlim _{\lambda }{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/{\mathcal {J}}_{\lambda }}}$

Можно показать, что если f ∈ A и D _f — множество всех открытых простых идеалов A , не содержащих f , то , где — пополнение локализации A _f . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{{\text{Spf}}A}(D_{f})={\widehat {A_{f}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {A_{f}}}}$

Наконец, локально нётерова формальная схема — это топологически окольцованное пространство (то есть окольцованное пространство , пучок колец которого является пучком топологических колец), такое, что каждая точка допускает открытую окрестность, изоморфную (как топологически окольцованные пространства) формальному спектру нётерова кольца. ${\displaystyle ({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

Морфизмы между формальными схемами

Морфизм локально нётеровых формальных схем — это морфизм их как локально окольцованных пространств, такой, что индуцированное отображение является непрерывным гомоморфизмом топологических колец для любого аффинного открытого подмножества U. ${\displaystyle f:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {Y}}}$ ${\displaystyle f^{\#}:\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{\mathfrak {Y}})\to \Gamma (f^{-1}(U),{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})}$

Говорят, что f является адической или является -адической формальной схемой , если существует идеал определения такой, что является идеалом определения для . Если f является адической, то это свойство выполняется для любого идеала определения. ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {Y}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle f^{*}({\mathcal {I}}){\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

Примеры

Для любого идеала I и кольца A мы можем определить I-адическую топологию на A , определяемую его базисом, состоящим из множеств вида a+I ⁿ . Это преддопустимо и допустимо, если A является I -адически полным. В этом случае Spf A является топологическим пространством Spec A/I с пучком колец вместо . ${\displaystyle {\text{lim}}_{n}{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/I^{n}}=\lim _{n}{\widetilde {A/I^{n}}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {A/I}}}$

1. A=k[[t]] и I=(t) . Тогда A/I=k , так что пространство Spf A имеет единственную точку (t), в которой его структурный пучок принимает значение k[[t]] . Сравните это со Spec A/I , чей структурный пучок принимает значение k в этой точке: это пример идеи, что Spf A является «формальным утолщением» A относительно I .
2. Формальное завершение замкнутой подсхемы. Рассмотрим замкнутую подсхему X аффинной плоскости над k , определяемую идеалом I=(y ² -x ³ ) . Обратите внимание, что A ₀ =k[x,y] не является I -адически полным; обозначим его I -адическое завершение через A. В этом случае Spf A=X как пространства и его структурный пучок — . Его глобальные сечения — это A , в отличие от X , чьи глобальные сечения — это A/I . ${\displaystyle \lim _{n}{\widetilde {k[x,y]/I^{n}}}}$

Смотрите также

• формальная голоморфная функция
• Теория деформации
• Теорема Шлезингера

Ссылки

• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык схем». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . дои : 10.1007/bf02684778. МР  0217083.
• Ясуда, Т. (2009). «Неадические формальные схемы». Международные уведомления по математическим исследованиям . arXiv : 0711.0434 . doi : 10.1093/imrn/rnp021.
• МакКуиллан, Майкл (2002). «Формальные формальные схемы». Топология и геометрия: в память о SISTAG. Contemporary Mathematics. Том 314. С. 187–198. doi :10.1090/conm/314/05431. ISBN 9780821828205.

Внешние ссылки

• формальное завершение