В математике плоская топология — это топология Гротендика , используемая в алгебраической геометрии . Она используется для определения теории плоских когомологий ; она также играет фундаментальную роль в теории спуска (точно плоский спуск). [1] Термин плоский здесь происходит от flat modules .
Существует несколько немного отличающихся плоских топологий, наиболее распространенными из которых являются топология fppf и топология fpqc . fppf обозначает fidèlement plate de présentation finie , и в этой топологии морфизм аффинных схем является морфизмом покрытия, если он является строго плоским и имеет конечное представление. fpqc обозначает fidèlement plate et quadricumpate , и в этой топологии морфизм аффинных схем является морфизмом покрытия, если он является строго плоским. В обеих категориях семейство покрытий определяется как семейство, которое является покрытием на открытых подмножествах Зарисского. [2] В топологии fpqc любой строго плоский и квазикомпактный морфизм является покрытием. [3] Эти топологии тесно связаны со спуском . «Чистая» строго плоская топология без каких-либо дополнительных условий конечности, таких как квазикомпактность или конечное представление, используется нечасто, поскольку она не является субканонической; Другими словами, представимые функторы не обязательно должны быть пучками.
К сожалению, терминология для плоских топологий не стандартизирована. Некоторые авторы используют термин «топология» для предтопологии, и существует несколько немного отличающихся предтопологий, иногда называемых fppf или fpqc (пред)топологией, которые иногда дают одну и ту же топологию.
Плоские когомологии были введены Гротендиком примерно в 1960 году. [4]
Пусть X — аффинная схема . Мы определяем fppf - покрытие X как конечное и совместно сюръективное семейство морфизмов
с каждым X аффинным и каждым φ плоским , конечно представленным . Это порождает предтопологию : для произвольного X мы определяем fppf-покрытие X как семейство
которая является fppf-покрытием после замены базы на открытую аффинную подсхему X. Эта предтопология порождает топологию, называемую fppf-топологией . (Это не то же самое, что топология, которую мы получили бы, если бы начали с произвольных X и X a и взяли покрывающие семейства как совместно сюръективные семейства плоских, конечно представленных морфизмов.) Мы записываем Fppf для категории схем с fppf-топологией.
Малый fppf-участок X — это категория O ( X fppf ), объектами которой являются схемы U с фиксированным морфизмом U → X , который является частью некоторого семейства покрытий. (Это не означает, что морфизм плоский, конечно представленный.) Морфизмы — это морфизмы схем, совместимых с фиксированными отображениями в X . Большой fppf-участок X — это категория Fppf/X , то есть категория схем с фиксированным отображением в X , рассматриваемая с топологией fppf.
"Fppf" — это сокращение от "fidèlement plate de présentation finie", то есть "точно плоский и конечного представления". Каждое сюръективное семейство плоских и конечно представленных морфизмов является покрывающим семейством для этой топологии, отсюда и название. Определение предтопологии fppf может быть также дано с дополнительным условием квазиконечности; из следствия 17.16.2 в EGA IV 4 следует , что это дает ту же самую топологию.
Пусть X — аффинная схема. Мы определяем fpqc - покрытие X как конечное и совместно сюръективное семейство морфизмов { u α : X α → X }, где каждое X α аффинно, а каждое u α плоско . Это порождает предтопологию: Для произвольного X мы определяем fpqc-покрытие X как семейство { u α : X α → X }, которое является fpqc-покрытием после замены базы на открытую аффинную подсхему X. Эта предтопология порождает топологию, называемую топологией fpqc . (Это не то же самое, что топология, которую мы получили бы, если бы начали с произвольных X и X α и взяли покрывающие семейства как совместно сюръективные семейства плоских морфизмов.) Мы записываем Fpqc для категории схем с топологией fpqc.
Малый fpqc-сайт X — это категория O ( X fpqc ), объектами которой являются схемы U с фиксированным морфизмом U → X , который является частью некоторого семейства покрытий. Морфизмы — это морфизмы схем, совместимых с фиксированными отображениями в X . Большой fpqc-сайт X — это категория Fpqc/X , то есть категория схем с фиксированным отображением в X , рассматриваемая с топологией fpqc.
"Fpqc" — это сокращение от "fidèlement plate quadricumpate", то есть "fiithfully flat and quadricumpact". Каждое сюръективное семейство плоских и квазикомпактных морфизмов является покрывающим семейством для этой топологии, отсюда и название.
Процедура определения групп когомологий стандартна: когомологии определяются как последовательность производных функторов функтора, берущего сечения пучка абелевых групп .
Хотя такие группы имеют ряд приложений, их, как правило, нелегко вычислить, за исключением случаев, когда они сводятся к другим теориям, таким как этальные когомологии .
Следующий пример показывает, почему «точно плоская топология» без каких-либо условий конечности не ведет себя хорошо. Предположим, что X — аффинная прямая над алгебраически замкнутым полем k . Для каждой замкнутой точки x из X мы можем рассмотреть локальное кольцо R x в этой точке, которое является дискретным кольцом нормирования, спектр которого имеет одну замкнутую точку и одну открытую (общую) точку. Мы склеиваем эти спектры вместе, отождествляя их открытые точки, чтобы получить схему Y . Существует естественное отображение из Y в X . Аффинная прямая X покрывается множествами Spec( R x ), которые открыты в точно плоской топологии, и каждое из этих множеств имеет естественное отображение в Y , и эти отображения одинаковы на пересечениях. Однако их нельзя объединить, чтобы получить отображение из X в Y , потому что базовые пространства X и Y имеют разные топологии.