В статистике дробные факторные планы — это экспериментальные планы, состоящие из тщательно выбранного подмножества (доли) экспериментальных запусков полного факторного плана . [1] Подмножество выбирается таким образом, чтобы использовать принцип разреженности эффектов для раскрытия информации о наиболее важных особенностях изучаемой проблемы, используя при этом часть усилий полного факторного плана с точки зрения экспериментальных запусков и ресурсов. Другими словами, он использует тот факт, что многие эксперименты в полном факторном плане часто избыточны, давая мало или вообще не давая новой информации о системе.
Планирование дробных факторных экспериментов должно быть продуманным, поскольку некоторые эффекты перепутаны и не могут быть отделены от других.
Дробный факторный план был предложен британским статистиком Дэвидом Джоном Финни в 1945 году, расширив предыдущую работу Рональда Фишера по полному факторному эксперименту на Ротамстедской экспериментальной станции. [2] Первоначально разработанный для сельскохозяйственных целей, с тех пор он применялся в других областях техники, науки и бизнеса. [3]
Подобно полному факторному эксперименту , дробный факторный эксперимент исследует влияние независимых переменных, известных как факторы, на переменную отклика. Каждый фактор исследуется при разных значениях, известных как уровни. Переменная отклика измеряется с использованием комбинации факторов на разных уровнях, и каждая уникальная комбинация известна как прогон. Чтобы уменьшить количество прогонов по сравнению с полным факторным экспериментом, эксперименты разработаны так, чтобы смешивать различные эффекты и взаимодействия, так что их влияние невозможно различить. Взаимодействия более высокого порядка между основными эффектами, как правило, незначительны, что делает это разумным методом изучения основных эффектов. Это принцип разреженности эффектов . Смешивание контролируется систематическим выбором прогонов из полной факторной таблицы. [4]
Дробные планы выражаются с помощью обозначения l k − p , где l — число уровней каждого фактора, k — число факторов, а p описывает размер доли полного факторного плана. Формально p — число генераторов; отношения, которые определяют намеренно смешанные эффекты, которые уменьшают количество необходимых запусков. Каждый генератор вдвое уменьшает количество требуемых запусков. План с p такими генераторами — это 1/( l p )= l −p доля полного факторного плана. [3]
Например, план 2 5 − 2 составляет 1/4 двухуровневого пятифакторного факторного плана. Вместо 32 запусков, которые потребовались бы для полного факторного эксперимента 2 5 , этот эксперимент требует всего восемь запусков. С двумя генераторами количество экспериментов сократилось вдвое.
На практике редко встречаются уровни l > 2 в дробных факторных планах, поскольку методология создания таких планов для более чем двух уровней гораздо более громоздка. В случаях, требующих 3 уровней для каждого фактора, потенциальными дробными планами для изучения являются латинские квадраты , взаимно ортогональные латинские квадраты и методы Тагучи . Методология поверхности отклика также может быть гораздо более экспериментально эффективным способом определения связи между экспериментальным откликом и факторами на нескольких уровнях, но она требует, чтобы уровни были непрерывными. При определении того, необходимо ли больше двух уровней, экспериментаторы должны учитывать, ожидают ли они, что результат будет нелинейным при добавлении третьего уровня. Другим соображением является количество факторов, которое может существенно изменить потребность в экспериментальной рабочей силе. [5]
Уровни фактора обычно кодируются как +1 для более высокого уровня и −1 для более низкого уровня. Для трехуровневого фактора промежуточное значение кодируется как 0. [4]
Для экономии места точки в факторном эксперименте часто сокращаются строками знаков плюс и минус. Строки имеют столько же символов, сколько факторов, и их значения определяют уровень каждого фактора: условно, для первого (или низкого) уровня и для второго (или высокого) уровня. Таким образом, точки в двухуровневом эксперименте с двумя факторами могут быть представлены как , , , и . [4]
Факториальные точки также могут быть сокращены как (1), a, b и ab, где наличие буквы указывает на то, что указанный фактор находится на своем высоком (или втором) уровне, а отсутствие буквы указывает на то, что указанный фактор находится на своем низком (или первом) уровне (например, «a» указывает на то, что фактор A находится на своем высоком значении, в то время как все остальные факторы находятся на своих низких (или первых) значениях). (1) используется для указания того, что все факторы находятся на своих самых низких (или первых) значениях. Факториальные точки обычно располагаются в таблице с использованием стандартного порядка Йетса: 1, a, b, ab, c, ac, bc, abc, который создается, когда уровень первого фактора чередуется с каждым запуском. [5]
На практике экспериментаторы обычно полагаются на статистические справочники для предоставления «стандартных» дробных факторных планов, состоящих из главной дроби . Главная дробь — это набор комбинаций лечения, для которых генераторы оценивают + в алгебре комбинаций лечения. Однако в некоторых ситуациях экспериментаторы могут взять на себя задачу по созданию собственного дробного плана.
Дробный факторный эксперимент генерируется из полного факторного эксперимента путем выбора структуры псевдонима . Структура псевдонима определяет, какие эффекты смешиваются друг с другом. Например, пятифакторный 2 5 − 2 может быть сгенерирован с использованием полного трехфакторного факторного эксперимента, включающего три фактора (скажем, A , B , и C ), а затем выбором смешивания двух оставшихся факторов D и E с взаимодействиями, генерируемыми D = A * B и E = A * C . Эти два выражения называются генераторами плана. Так, например, когда эксперимент проводится и экспериментатор оценивает эффекты для фактора D , на самом деле оценивается комбинация основного эффекта D и двухфакторного взаимодействия, включающего A и B .
Важной характеристикой дробного дизайна является определяющее отношение , которое дает набор столбцов взаимодействия, равный в матрице дизайна столбцу знаков плюс, обозначенному I. Для приведенного выше примера, поскольку D = AB и E = AC , то ABD и ACE оба являются столбцами знаков плюс, и, следовательно, BDCE тоже :
Д*Д = АБ*Д = Я
Е*Е = АС*Е = Я
Я = АБД*АС = А*АБВГД = BCDE
В этом случае определяющее отношение дробного плана I = ABD = ACE = BCDE . Определяющее отношение позволяет определить шаблон псевдонима плана и включает 2 p слов. Обратите внимание, что в этом случае эффекты взаимодействия ABD , ACE и BCDE вообще не могут быть изучены. По мере увеличения числа генераторов и степени фракционирования все больше и больше эффектов становятся смешанными. [5]
Затем шаблон псевдонима можно определить путем умножения на каждый столбец фактора. Чтобы определить, насколько главный эффект A смешан, умножьте все члены в определяющем отношении на A:
А*I = А*ABD = А*ACE = А*BCDE А = BC = CE = ABCDE
Таким образом, главный эффект A смешивается с эффектами взаимодействия BC, CE и ABCDE. Другие главные эффекты могут быть вычислены с помощью аналогичного метода. [4]
Важным свойством дробного плана является его разрешение или способность отделять основные эффекты и взаимодействия низкого порядка друг от друга. Формально, если факторы являются бинарными, то разрешение плана является минимальной длиной слова в определяющем отношении, исключая ( I ). Разрешение обозначается римскими цифрами и увеличивается с числом. [4] Наиболее важными дробными планами являются планы с разрешением III, IV и V: разрешения ниже III бесполезны, а разрешения выше V расточительны (с бинарными факторами) в том смысле, что расширенное экспериментирование не имеет практической выгоды в большинстве случаев — большая часть дополнительных усилий уходит на оценку взаимодействий очень высокого порядка, которые редко встречаются на практике. План 2 5 − 2 выше — это разрешение III, поскольку его определяющее отношение I = ABD = ACE = BCDE.
Описанная система классификации разрешения используется только для регулярных дизайнов. Регулярные дизайны имеют размер серии, равный степени двух, и присутствует только полное наложение спектров. Нерегулярные дизайны, иногда называемые дизайнами Плакетта-Бермана , — это дизайны, где размер серии кратен 4; эти дизайны вводят частичное наложение спектров, и обобщенное разрешение используется в качестве критерия дизайна вместо разрешения, описанного ранее.
Планы резолюции III могут использоваться для построения насыщенных планов, где N-1 факторы могут быть исследованы только в N запусках. Эти насыщенные планы могут использоваться для быстрого скрининга, когда задействовано много факторов. [3]
Монтгомери [3] приводит следующий пример дробного факторного эксперимента. Инженер провел эксперимент, чтобы увеличить скорость фильтрации (выход) процесса для получения химиката и уменьшить количество формальдегида, используемого в процессе. Полный факторный эксперимент описан на странице Википедии Факторный эксперимент . Были рассмотрены четыре фактора: температура (A), давление (B), концентрация формальдегида (C) и скорость перемешивания (D). Результаты в этом примере заключались в том, что основные эффекты A, C и D, а также взаимодействия AC и AD были значимыми. Результаты этого примера можно использовать для моделирования дробного факторного эксперимента с использованием полудробной части исходного плана 2 4 = 16 запусков. В таблице показан план эксперимента с полудробной частью 2 4 - 1 = 8 запусков и результирующая скорость фильтрации, извлеченная из таблицы для полного факторного эксперимента из 16 запусков .
В этом дробном дизайне каждый основной эффект совмещается с 3-факторным взаимодействием (например, A = BCD), а каждое 2-факторное взаимодействие совмещается с другим 2-факторным взаимодействием (например, AB = CD). Совпадающие отношения показаны в таблице. Это дизайн резолюции IV, что означает, что основные эффекты совмещаются с 3-сторонними взаимодействиями, а 2-сторонние взаимодействия совмещаются с 2-сторонними взаимодействиями.
Оценки дисперсионного анализа эффектов показаны в таблице ниже. Изучив таблицу, можно сделать вывод, что существуют большие эффекты из-за A, C и D. Коэффициент для взаимодействия AB довольно мал. Если взаимодействия AB и CD не имеют приблизительно равных, но противоположных эффектов, эти два взаимодействия кажутся незначительными. Если A, C и D имеют большие эффекты, но B имеет небольшой эффект, то взаимодействия AC и AD, скорее всего, значимы. Эти выводы согласуются с результатами полного факторного 16-прогонного эксперимента.
Поскольку B и его взаимодействия кажутся незначительными, B можно исключить из модели. Исключение B приводит к полному факторному плану 2 3 для факторов A, C и D. Выполнение дисперсионного анализа с использованием факторов A, C и D, а также членов взаимодействия A:C и A:D дает результаты, показанные в таблице, которые очень похожи на результаты для полного факторного эксперимента, но имеют то преимущество, что требуют только половины доли 8 запусков вместо 16.
