Параллелизуемое многообразие

В математике дифференцируемое многообразие размерности n называется параллелизуемым ^[1], если существуют гладкие векторные поля на многообразии, такие, что в каждой точке касательные векторы обеспечивают базис касательного пространства в . Эквивалентно, касательное расслоение является тривиальным расслоением , ^[2] так что соответствующее главное расслоение линейных фреймов имеет глобальное сечение на ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \{V_{1},\ldots ,V_{n}\}}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \{V_{1}(p),\ldots ,V_{n}(p)\}}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M.}$

Конкретный выбор такого базиса векторных полей на называется распараллеливанием (или абсолютным параллелизмом ) . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Примеры

• Примером с является окружность : мы можем взять V ₁ в качестве единичного касательного векторного поля, скажем, указывающего в направлении против часовой стрелки. Тор размерности также параллелизуем, как можно увидеть, выразив его как декартово произведение окружностей. Например, возьмите и постройте тор из квадрата миллиметровки с противоположными краями, склеенными вместе, чтобы получить представление о двух направлениях касательных в каждой точке. В более общем смысле, каждая группа Ли G параллелизуема, поскольку базис для касательного пространства в единичном элементе может быть перемещен действием группы переносов G на G (каждый перенос является диффеоморфизмом, и поэтому эти переносы индуцируют линейные изоморфизмы между касательными пространствами точек в G ). ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2,}$
• Классической задачей было определить, какие из сфер S ⁿ являются параллелизуемыми. Нульмерный случай S ⁰ тривиально параллелизуем. Случай S ¹ — это окружность, которая, как уже было объяснено, параллелизуема. Теорема о волосатом шаре показывает, что S ² непараллелизуема. Однако S ³ параллелизуема, поскольку это группа Ли SU(2) . Единственной другой параллелизуемой сферой является S ⁷ ; это было доказано в 1958 году Фридрихом Хирцебрухом , Мишелем Кервером и Раулем Боттом и Джоном Милнором в независимой работе. Параллелизуемые сферы точно соответствуют элементам единичной нормы в нормированных алгебрах с делением действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов и октонионов , что позволяет построить параллелизм для каждой из них. Доказательство того, что другие сферы не являются параллелизуемыми, более сложно и требует алгебраической топологии .
• Произведение параллелизуемых многообразий параллелизуемо.
• Каждое ориентируемое замкнутое трехмерное многообразие параллелизуемо. ^[3]

Замечания

• Любое параллелизуемое многообразие является ориентируемым .
• Термин оснащенное многообразие (иногда оснащенное многообразие ) чаще всего применяется к вложенному многообразию с заданной тривиализацией нормального расслоения , а также к абстрактному (то есть невложенному) многообразию с заданной стабильной тривиализацией касательного расслоения .
• Связанное понятие — это понятие π-многообразия . ^[4] Гладкое многообразие называется π-многообразием, если при вложении в многомерное евклидово пространство его нормальное расслоение тривиально. В частности, каждое параллелизуемое многообразие является π-многообразием. ${\displaystyle M}$

Смотрите также

• Диаграмма (топология)
• Дифференцируемое многообразие
• Рамка связка
• инвариант Кервера
• Ортонормальный рамочный пучок
• Основной пакет
• Связь (математика)
• G-структура

Примечания

1. Бишоп, Ричард Л.; Голдберг, Сэмюэл И. (1968), Тензорный анализ многообразий , Нью-Йорк: Macmillan, стр. 160
2. Милнор, Джон У.; Сташефф, Джеймс Д. (1974), Характеристические классы , Annals of Mathematics Studies, т. 76, Princeton University Press, стр. 15, ISBN 0-691-08122-0
3. Бенедетти, Риккардо; Лиска, Паоло (23 июля 2019 г.). «Обрамление 3-многообразий голыми руками». L'Enseignement Mathématique . 64 (3): 395–413. arXiv : 1806.04991 . дои : 10.4171/LEM/64-3/4-9. ISSN  0013-8584. S2CID  119711633.
4. Милнор, Джон В. (1958), Дифференцируемые многообразия, являющиеся гомотопическими сферами (PDF)

Ссылки

• Бишоп, Ричард Л.; Голдберг, Сэмюэл И. (1968), Тензорный анализ многообразий (первое издание Dover 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Милнор, Джон В .; Сташефф, Джеймс Д. (1974), Характерные классы , Princeton University Press
• Милнор, Джон В. (1958), Дифференцируемые многообразия, являющиеся гомотопическими сферами (PDF) , мимеографированные заметки