В теории представлений групп Ли и алгебр Ли фундаментальное представление — это неприводимое конечномерное представление полупростой группы Ли или алгебры Ли, старший вес которого является фундаментальным весом . Например, определяющий модуль классической группы Ли является фундаментальным представлением. Любое конечномерное неприводимое представление полупростой группы Ли или алгебры Ли может быть построено из фундаментальных представлений с помощью процедуры Эли Картана . Таким образом, в определенном смысле фундаментальные представления являются элементарными строительными блоками для произвольных конечномерных представлений.
Неприводимые представления односвязной компактной группы Ли индексируются по своим старшим весам . Эти веса являются точками решетки в ортанте Q + в решетке весов группы Ли, состоящей из доминирующих целых весов. Можно доказать, что существует набор фундаментальных весов , индексированных вершинами диаграммы Дынкина , такой, что любой доминирующий целочисленный вес представляет собой неотрицательную целочисленную линейную комбинацию фундаментальных весов. [1] Соответствующие неприводимые представления являются фундаментальными представлениями группы Ли. Из разложения доминирующего веса с точки зрения фундаментальных весов можно взять соответствующее тензорное произведение фундаментальных представлений и извлечь одну копию неприводимого представления, соответствующую этому доминирующему весу. [2]
За пределами теории Ли термин « фундаментальное представление» иногда широко используется для обозначения точного представления наименьшей размерности, хотя его также часто называют стандартным или определяющим представлением (термин, относящийся больше к истории, а не к четко определенному представлению). математический смысл).
