Обобщенное целочисленное гамма-распределение

В теории вероятности и статистики обобщенное целочисленное гамма-распределение (GIG) — это распределение суммы независимых гамма-распределенных случайных величин , все с целочисленными параметрами формы и различными параметрами скорости. Это частный случай обобщенного распределения хи-квадрат . Связанное понятие — обобщенное почти целое гамма-распределение (GNIG).

Определение

Случайная величина имеет гамма -распределение с параметром формы и параметром скорости, если ее функция плотности вероятности имеет вид ${\displaystyle X\!}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle f_{X}^{}(x)={\frac {\lambda ^{r}}{\Gamma (r)}}\,e^{-\lambda x}x^{r-1}~~~~~~(x>0;\,\lambda ,r>0)}$

и этот факт обозначается как ${\displaystyle X\sim \Gamma (r,\lambda )\!.}$

Пусть , где будут независимыми случайными величинами, причем все они являются положительными целыми числами и все различны. Другими словами, каждая переменная имеет распределение Эрланга с различными параметрами формы. Уникальность каждого параметра формы достигается без потери общности, поскольку любой случай, когда некоторые из равны, будет рассматриваться путем предварительного сложения соответствующих переменных: эта сумма будет иметь гамма-распределение с тем же параметром скорости и параметром формы, который равен сумме параметров формы в исходных распределениях. ${\displaystyle X_{j}\sim \Gamma (r_{j},\lambda _{j})\!}$ ${\displaystyle (j=1,\dots ,p),}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r_{j}}$ ${\displaystyle \lambda _{j}\!}$ ${\displaystyle \lambda _{j}}$

Тогда случайная величина Y определяется как

${\displaystyle Y=\sum _{j=1}^{p}X_{j}}$

имеет распределение GIG (обобщенное целое гамма) глубины с параметрами формы и параметрами скорости . Этот факт обозначается как ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r_{j}\!}$ ${\displaystyle \lambda _{j}\!}$ ${\displaystyle (j=1,\dots ,p)}$

${\displaystyle Y\sim GIG(r_{j},\lambda _{j};p)\!.}$

Это также частный случай обобщенного распределения хи-квадрат .

Характеристики

Функция плотности вероятности и кумулятивная функция распределения Y соответственно определяются как ^[1] ​​[ ^{2] [3]}

${\displaystyle f_{Y}^{\text{GIG}}(y|r_{1},\dots ,r_{p};\lambda _{1},\dots ,\lambda _{p})\,=\,K\sum _{j=1}^{p}P_{j}(y)\,e^{-\lambda _{j}\,y}\,,~~~~(y>0)}$

и

${\displaystyle F_{Y}^{\text{GIG}}(y|r_{1},\dots ,r_{p};\lambda _{1},\dots ,\lambda _{p})\,=\,1-K\sum _{j=1}^{p}P_{j}^{*}(y)\,e^{-\lambda _{j}\,y}\,,~~~~(y>0)}$

где

${\displaystyle K=\prod _{j=1}^{p}\lambda _{j}^{r_{j}}~,~~~~~P_{j}(y)=\sum _{k=1}^{r_{j}}c_{j,k}\,y^{k-1}}$

и

${\displaystyle P_{j}^{*}(y)=\sum _{k=1}^{r_{j}}c_{j,k}\,(k-1)!\sum _{i=0}^{k-1}{\frac {y^{i}}{i!\,\lambda _{j}^{k-i}}}}$

с

и

где

Альтернативные выражения доступны в литературе по обобщенному распределению хи-квадрат , которое является областью, где компьютерные алгоритмы доступны уже несколько лет. ^{[ когда? ]}

Обобщение

Распределение глубины GNIG (обобщенное почти целое гамма) представляет собой распределение случайной величины ^[4] ${\displaystyle p+1}$

${\displaystyle Z=Y_{1}+Y_{2}\!,}$

где и — две независимые случайные величины, где — положительное нецелое действительное число и где . ${\displaystyle Y_{1}\sim GIG(r_{j},\lambda _{j};p)\!}$ ${\displaystyle Y_{2}\sim \Gamma (r,\lambda )\!}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \lambda \neq \lambda _{j}}$ ${\displaystyle (j=1,\dots ,p)}$

Характеристики

Функция плотности вероятности определяется выражением ${\displaystyle Z\!}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle f_{Z}^{\text{GNIG}}(z|r_{1},\dots ,r_{p},r;\,\lambda _{1},\dots ,\lambda _{p},\lambda )=\\[5pt]\displaystyle \quad \quad \quad K\lambda ^{r}\sum \limits _{j=1}^{p}{e^{-\lambda _{j}z}}\sum \limits _{k=1}^{r_{j}}{\left\{{c_{j,k}{\frac {\Gamma (k)}{\Gamma (k+r)}}z^{k+r-1}{}_{1}F_{1}(r,k+r,-(\lambda -\lambda _{j})z)}\right\}}{\rm {,}}~~~~(z>0)\end{array}}}$

а кумулятивная функция распределения определяется как

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle F_{Z}^{\text{GNIG}}(z|r_{1},\ldots ,r_{p},r;\,\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{p},\lambda )={\frac {\lambda ^{r}\,{z^{r}}}{\Gamma (r+1)}}{}_{1}F_{1}(r,r+1,-\lambda z)\\[12pt]\quad \quad \displaystyle -K\lambda ^{r}\sum \limits _{j=1}^{p}{e^{-\lambda _{j}z}}\sum \limits _{k=1}^{r_{j}}{c_{j,k}^{*}}\sum \limits _{i=0}^{k-1}{\frac {z^{r+i}\lambda _{j}^{i}}{\Gamma (r+1+i)}}{}_{1}F_{1}(r,r+1+i,-(\lambda -\lambda _{j})z)~~~~(z>0)\end{array}}}$

где

${\displaystyle c_{j,k}^{*}={\frac {c_{j,k}}{\lambda _{j}^{k}}}\Gamma (k)}$

с заданным выше ( 1 )-( 3 ). В приведенных выше выражениях есть конфлюэнтная гипергеометрическая функция Куммера. Эта функция обычно имеет очень хорошие свойства сходимости и в настоящее время легко обрабатывается рядом программных пакетов. ${\displaystyle c_{j,k}}$ ${\displaystyle _{1}F_{1}(a,b;z)}$

Приложения

Распределения GIG и GNIG являются основой для точных и почти точных распределений большого количества статистик теста отношения правдоподобия и связанных статистик, используемых в многомерном анализе . ^{[5] [6] [7] [8] [9]} Точнее, это приложение обычно предназначено для точных и почти точных распределений отрицательного логарифма таких статистик. При необходимости затем легко, с помощью простого преобразования, получить соответствующие точные или почти точные распределения для соответствующих статистик теста отношения правдоподобия. ^{[4] [10] [11]}

Распределение GIG также является основой для ряда обернутых распределений в семействе обернутых гамма-распределений. ^[12]

Будучи частным случаем обобщенного распределения хи-квадрат , оно имеет множество других применений, например, в теории восстановления ^[1] и в многоантенной беспроводной связи. ^{[13] [14] [15] [16]}

Ссылки

1. Amari SV и Misra RB (1997). Закрытые выражения для распределения суммы экспоненциальных случайных величин ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} . IEEE Transactions on Reliability , т. 46, № 4, 519-522.
2. Коэльо, CA (1998). Обобщенное целочисленное гамма-распределение – основа распределений в многомерной статистике. Журнал многомерного анализа , 64 , 86-102.
3. Coelho, CA (1999). Дополнение к статье «Обобщенное распределение IntegerGamma — основа распределений в многомерном анализе». Журнал многомерного анализа , 69 , 281-285.
4. Coelho, CA (2004). "Обобщенное распределение гамма-квантов, близкое к целому числу, — основа для "почти точных" приближений к распределениям статистик, которые являются произведением нечетного числа частных независимых случайных бета-переменных". Журнал многомерного анализа , 89 (2), 191-218. MR 2063631 Zbl  1047.62014 [WOS: 000221483200001]
5. Билодо, М., Бреннер, Д. (1999) «Теория многомерной статистики». Springer, Нью-Йорк [Гл. 11, с. 11.4]
6. Дас, С., Дей, Д.К. (2010) «О байесовском выводе для обобщенного многомерного гамма-распределения». Statistics and Probability Letters , 80, 1492-1499.
7. Карагианнидис, К., Сагиас, Н.С., Цифцис, ТА (2006) «Статистика в закрытой форме для суммы квадратов переменных Накагами-м и ее приложения». Труды по коммуникациям , 54, 1353-1359.
8. Паолелла, М.С. (2007) "Промежуточная вероятность - вычислительный подход". J. Wiley & Sons, Нью-Йорк [Гл. 2, секция 2.2]
9. Тимм, NH (2002) «Прикладной многомерный анализ». Springer, Нью-Йорк [Гл. 3, с. 3.5]
10. Coelho, CA (2006) "Точные и почти точные распределения произведения независимых бета-случайных величин, второй параметр которых рационален". Журнал комбинаторики, информации и системных наук , 31 (1-4), 21-44. MR 2351709
11. Coelho, CA, Alberto, RP и Grilo, LM (2006) "Смесь обобщенных целочисленных гамма-распределений как точное распределение произведения нечетного числа независимых бета-случайных величин. Приложения". Журнал междисциплинарной математики , 9 , 2, 229-248. MR 2245158 Zbl  1117.62017
12. Коэльо, CA (2007) «Обернутое гамма-распределение и обернутые суммы и линейные комбинации независимых гамма-распределений и распределений Лапласа». Журнал статистической теории и практики , 1 (1), 1-29.
13. Э. Бьёрнсон, Д. Хаммарвалл, Б. Оттерстен (2009) «Использование обратной связи по квантованной норме канала с помощью условной статистики в произвольно коррелированных системах MIMO», Труды IEEE по обработке сигналов , 57, 4027-4041
14. Kaiser, T., Zheng, F. (2010) "Сверхширокополосные системы с MIMO". J. Wiley & Sons, Чичестер, Великобритания [Гл. 6, с. 6.6]
15. Suraweera, HA, Smith, PJ, Surobhi, NA (2008) "Точная вероятность отключения кооперативного разнообразия с оппортунистическим доступом к спектру". Международная конференция IEEE по коммуникациям, 2008, ICC Workshops '08 , 79-86 ( ISBN 978-1-4244-2052-0 - doi :10.1109/ICCW.2008.20). 
16. Surobhi, NA (2010) «Производительность кооперативных когнитивных релейных сетей при сбоях». Диссертация на степень магистра наук, Школа инженерии и науки , Университет Виктории, Мельбурн, Австралия [Гл. 3, с. 3.4].