Обобщенный процесс обновления

В математической теории вероятностей обобщенный процесс восстановления (GRP) или процесс G-восстановления — это стохастический точечный процесс, используемый для моделирования поведения отказов/ремонтов восстанавливаемых систем в технике надежности . Пуассоновский точечный процесс является частным случаем GRP.

Вероятностная модель

Виртуальный возраст

Процесс G-обновления представлен Киджимой и Сумитой через понятие виртуального века . ^[1]

${\displaystyle y_{i}=qt_{i}}$

где:

${\displaystyle t_{i}}$и - реальный и виртуальный возраст (соответственно) системы при/после i ^-го ремонта, ${\displaystyle y_{i}}$

${\displaystyle q}$- коэффициент восстановления (он же коэффициент эффективности ремонта),

${\displaystyle q=0}$, представляет собой состояние идеального ремонта, когда возраст системы сбрасывается до нуля после ремонта. Это состояние соответствует обычному процессу обновления .

${\displaystyle q=1}$, представляет собой условие минимального ремонта, при котором состояние системы после ремонта остается таким же, как и непосредственно перед ремонтом. Это условие соответствует неоднородному процессу Пуассона .

${\displaystyle 0<q<1}$, представляет собой состояние общего ремонта, где состояние системы находится между идеальным ремонтом и минимальным ремонтом. Это состояние соответствует процессу генерализованного обновления .

Каминский и Кривцов ^[2] расширили модели Киджимы , допустив q  > 1, так что ремонт повреждает (старит) систему в большей степени, чем это было непосредственно перед соответствующим отказом.

Уравнение G-обновления

Математически процесс G-обновления количественно определяется посредством решения уравнения G-обновления:

${\displaystyle W(t)=\int _{0}^{t}(g(\tau \mid 0)+\int _{0}^{\tau }w(x)\cdot (g(\tau -x\mid x)\,dx)\,d\tau }$

где,

${\displaystyle g(\tau \mid x)={\frac {(t+qx,\theta )}{1-F(qx,\theta )}}}$ ${\displaystyle t,x\geq 0}$

${\displaystyle w(x)={\frac {dW(x)}{dx}}}$

f ( t ) — функция плотности вероятности (PDF) базового распределения времени отказа,

F ( t ) — кумулятивная функция распределения (CDF) базового распределения времени отказа,

q — коэффициент восстановления,

${\displaystyle {\theta }}$— вектор параметров базового распределения времени отказа.

Решение уравнения G-восстановления в замкнутой форме невозможно. Кроме того, численные приближения трудно получить из-за повторяющихся бесконечных рядов. Подход Монте-Карло к решению уравнения G-восстановления был разработан Каминиским и Кривцовым. ^{[2] [3]}

Статистическая оценка

Процесс G-восстановления получил практическую популярность в технике надежности только после того, как стали доступны методы оценки его параметров.

Подход Монте-Карло

Нелинейная оценка LSQ процесса G-обновления была впервые предложена Каминским и Кривцовым. ^[2] Случайное время между прибытиями из параметризованного процесса G-обновления определяется как:

${\displaystyle X_{i}=F^{-1}(1-U_{i}[1-F(qS_{i-1})])-qS_{i-1}}$

где,

${\displaystyle S_{i-1}}$это совокупный реальный возраст до i - ^го промежуточного прибытия,

${\displaystyle U_{i}}$— равномерно распределенная случайная величина,

${\displaystyle F}$представляет собой CDF базового распределения времени отказа.

Решение Монте-Карло впоследствии было улучшено ^[4] и реализовано в виде веб-ресурса. ^[5]

Метод максимального правдоподобия

Процедуры максимального правдоподобия впоследствии обсуждались Яньесом и др. ^[6] и Меттасом и Чжао. ^[7] Оценка фактора восстановления G-обновления была подробно рассмотрена Кахле и Лавом. ^[8]

Метод регуляризации при оценке параметров ВРП

Оценка параметров процесса G–восстановления является некорректной обратной задачей, и, следовательно, решение может быть не единственным и чувствительно к входным данным. Кривцов и Евкин ^{[9] [10]} предложили сначала оценить базовые параметры распределения, используя только время до первого отказа. Затем полученные параметры используются в качестве начальных значений для второго шага, на котором все параметры модели (включая фактор(ы) восстановления) оцениваются одновременно. Такой подход позволяет, с одной стороны, избежать нерелевантных решений (неправильных локальных максимумов или минимумов целевой функции), а с другой стороны, повысить скорость вычислений, так как количество итераций существенно зависит от выбранных начальных значений.

Ограничения

Одним из ограничений обобщенного процесса обновления является то, что он не может учитывать ремонт «лучше, чем новый». ^[11] Был разработан процесс обновления G1, который применяет фактор восстановления к параметру срока службы распределения масштаба местоположения, чтобы иметь возможность учитывать ремонт «лучше, чем новый» в дополнение к другим типам ремонта.

Ссылки

1. Кидзима, Масааки; Сумита, Ушио (1986). «Полезное обобщение теории обновления: процессы подсчета, управляемые неотрицательными марковскими приращениями». Журнал прикладной вероятности . 23 (1). Applied Probability Trust: 71–88. doi :10.2307/3214117. JSTOR  3214117. S2CID  222275620.
2. Каминский, М.П.; Кривцов, В.В. (1998). «Подход Монте-Карло к анализу надежности восстанавливаемых систем». Вероятностная оценка и управление безопасностью. Лондон: Springer–Verlag. С. 1063–1068.
3. Кривцов, В. В. (2000). Моделирование и оценка обобщенного процесса восстановления в анализе надежности восстанавливаемых систем (PhD). Мэрилендский университет, Колледж-Парк, ISBN/ISSN: 0599725877.
4. Yevkin, A. (2011). «Метод Монте-Карло для оценки доступности и интенсивности отказов в модели процесса G–Renewal». В Berenguer, Christophe; Grall, Antoine; Guedes Soares, Carlos (ред.). Advances in Safety, Reliability and Risk Management. London: CRC Press. pp. 1015–1020. doi :10.1201/b11939. ISBN 9780429217265.
5. Евкин, А. "G-Renewal Process Calculator" . Получено 13 мая 2021 г.
6. Яньес, М.; Джоглар, Ф.; Модаррес, М. (август 2002 г.). «Обобщенный процесс обновления для анализа восстанавливаемых систем с ограниченным опытом отказов». Надежность техники и безопасность систем . 77 (2): 167–180. doi :10.1016/S0951-8320(02)00044-3.
7. Меттас, А.; Чжао, В. (24 января 2005 г.). Моделирование и анализ восстанавливаемых систем с общим ремонтом. Ежегодный симпозиум по надежности и ремонтопригодности 2005 г. Александрия, Вирджиния.
8. Кале, В.; Лав, К. (2003). «Моделирование влияния действий по техническому обслуживанию». Математические и статистические методы в надежности . Серия по качеству, надежности и инженерной статистике. 7 : 387–399. doi :10.1142/9789812795250_0025. ISBN 978-981-238-321-1.
9. Кривцов, В.В.; Евкин, О. (июль 2013 г.). «Оценка параметров процесса G-восстановления как некорректная обратная задача». Надежность техники и безопасность систем . 115 : 10–18. doi :10.1016/j.ress.2013.02.005.
10. Кривцов, Василий; Евкин, Алекс (2017). Методы регуляризации для прогнозирования повторяющихся отказов в моделях Киджимы. Ежегодный симпозиум по надежности и ремонтопригодности 2017. Орландо, Флорида.
11. Каминский, депутат; Кривцов, В.В. (июнь 2010 г.). «Процесс G1-обновления как модель ремонтируемой системы». arXiv : 1006.3718 [stat.ME].