Геодезическое отклонение

В общей теории относительности , если два объекта приводятся в движение по двум изначально параллельным траекториям, наличие приливной гравитационной силы заставит траектории изгибаться по направлению друг к другу или отдаляться друг от друга, создавая относительное ускорение между объектами. ^[1]

Математически приливная сила в общей теории относительности описывается тензором кривизны Римана ^[1], а траектория объекта, находящегося исключительно под действием силы тяжести, называется геодезической . Уравнение геодезического отклонения связывает тензор кривизны Римана с относительным ускорением двух соседних геодезических. В дифференциальной геометрии уравнение геодезического отклонения более известно как уравнение Якоби .

Математическое определение

Чтобы количественно оценить геодезическое отклонение, начинают с настройки семейства близко расположенных геодезических, индексированных непрерывной переменной s и параметризованных аффинным параметром τ. То есть, для каждого фиксированного s кривая, выметаемая γ _s (τ) при изменении τ, является геодезической. При рассмотрении геодезической массивного объекта часто удобно выбирать τ в качестве собственного времени объекта . Если x ^μ ( s , τ) являются координатами геодезической γ _s (τ), то касательный вектор этой геодезической равен

${\displaystyle T^{\mu }={\frac {\partial x^{\mu }(s,\tau )}{\partial \tau }}.}$

Если τ — собственное время, то T ^μ — 4-скорость объекта, движущегося по геодезической.

Можно также определить вектор отклонения , который представляет собой смещение двух объектов, движущихся вдоль двух бесконечно малых геодезических:

${\displaystyle X^{\mu }={\frac {\partial x^{\mu }(s,\tau )}{\partial s}}.}$

Относительное ускорение A ^μ двух объектов определяется, грубо говоря, как вторая производная вектора разделения X μ ^по мере продвижения объектов вдоль их соответствующих геодезических. В частности, A ^μ находится путем взятия направленной ковариантной производной X вдоль T дважды:

${\displaystyle A^{\mu }=T^{\alpha }\nabla _{\alpha }\left(T^{\beta }\nabla _{\beta }X^{\mu }\right).}$

Уравнение геодезического отклонения связывает A ^µ , T ^µ , X ^µ и тензор Римана R ^µ _νρσ : ^{[2] [3]}

${\displaystyle A^{\mu }={R^{\mu }}_{\nu \rho \sigma }T^{\nu }T^{\rho }X^{\sigma }.}$

Альтернативная запись для ковариантной производной по направлению — , поэтому уравнение геодезического отклонения можно также записать как ${\displaystyle T^{\alpha }\nabla _{\alpha }}$ ${\displaystyle D/d\tau }$

${\displaystyle {\frac {D^{2}X^{\mu }}{d\tau ^{2}}}={R^{\mu }}_{\nu \rho \sigma }T^{\nu }T^{\rho }X^{\sigma }.}$

Уравнение геодезического отклонения может быть получено из второй вариации лагранжиана точечной частицы вдоль геодезических или из первой вариации комбинированного лагранжиана. ^{[ необходимо пояснение ]} Лагранжев подход имеет два преимущества. Во-первых, он позволяет применять различные формальные подходы квантования к системе геодезического отклонения. Во-вторых, он позволяет формулировать отклонение для гораздо более общих объектов, чем геодезические (любая динамическая система , которая имеет один индексированный в пространстве-времени импульс, по-видимому, имеет соответствующее обобщение геодезического отклонения). ^{[ необходимо цитирование ]}

Предел слабого поля

Связь между геодезическим отклонением и приливным ускорением можно увидеть более явно, исследуя геодезическое отклонение в пределе слабого поля , где метрика приблизительно равна метрике Минковского, а скорости тестовых частиц предполагаются намного меньшими, чем c . Тогда касательный вектор T ^μ приблизительно равен (1, 0, 0, 0); т. е. только временная компонента не равна нулю.

Пространственные компоненты относительного ускорения тогда определяются как

${\displaystyle A^{i}={R^{i}}_{0j0}X^{j},}$

где i и j пробегают только пространственные индексы 1, 2 и 3.

В частном случае метрики, соответствующей ньютоновскому потенциалу Φ( x , y , z ) массивного объекта при x = y = z = 0, имеем

${\displaystyle {R^{i}}_{0j0}=-{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{i}\partial x^{j}}},}$

что является приливным тензором ньютоновского потенциала.

Смотрите также

• Бернхард Риман
• Кривизна
• Глоссарий римановой и метрической геометрии

Ссылки

1. Ohanian, Hans (1976). Гравитация и пространство-время (1-е изд.). С. 271–276.
2. Кэрролл, Шон (2004). Пространство-время и геометрия . С. 144–6.
3. Уолд, Роберт (1984). Общая теория относительности . С. 46–47.

• Стефани, Ганс (1982), Общая теория относительности — введение в теорию гравитационного поля , Cambridge University Press, ISBN 0-521-37066-3.
• Уолд, Роберт М. (1984), Общая теория относительности , Издательство Чикагского университета, ISBN 978-0-226-87033-5.

Внешние ссылки

• Общая теория относительности и квантовая космология
• Тензоры и теория относительности: геодезическое отклонение Архивировано 2011-11-16 на Wayback Machine