Геометрическое отношение

В алгебраической геометрии геометрическое отношение алгебраического многообразия X с действием алгебраической группы G — это морфизм многообразий, такой что ^[1] $\pi :X\to Y$

(i) Отображение сюръективно, и его слои — это в точности G-орбиты в X.

\пи

(ii) Топология Y является фактор-топологией : подмножество открыто тогда и только тогда, когда открыто.

U\подмножество Y

\пи ^{-1}(U)

(iii) Для любого открытого подмножества является изоморфизмом. (Здесь k — базовое поле.)

U\подмножество Y

\pi ^{\#}:k[U]\to k[\pi ^{-1}(U)]^{G}

Понятие появляется в геометрической теории инвариантов . (i), (ii) говорят, что Y является пространством орбит X в топологии . (iii) также может быть сформулировано как изоморфизм пучков . В частности, если X неприводимо, то Y также неприводимо и : рациональные функции на Y можно рассматривать как инвариантные рациональные функции на X (т. е. рациональные инварианты X ). ${\mathcal {O}}_{Y}\simeq \pi _{*}({\mathcal {O}}_{X}^{G})$ $k(Y)=k(X)^{G}$

Например, если H — замкнутая подгруппа G , то — геометрическое отношение. Отношение GIT может быть или не быть геометрическим отношением: но оба являются категориальными отношениями, что уникально; другими словами, нельзя иметь оба типа отношений (не будучи одинаковыми). $Г/Ч$

Отношение к другим факторам

Геометрическое частное является категорическим частным . Это доказано в геометрической инвариантной теории Мамфорда.

Геометрическое частное — это как раз хорошее частное , слои которого являются орбитами группы.

Примеры

Каноническая карта — это геометрическое отношение. $\mathbb {A} ^{n+1}\setminus 0\to \mathbb {P} ^{n}$
Если L — линеаризованное линейное расслоение на алгебраическом G -многообразии X , то, записывая для множества устойчивых точек относительно L , фактор $X_{(0)}^{s}$

X_{(0)}^{s}\to X_{(0)}^{s}/G

является геометрическим отношением.

Ссылки

^ Брайон, М. "Введение в действия алгебраических групп" (PDF) . Определение 1.18.