Проект строительства

Проективный аналог спектра кольца

В алгебраической геометрии Proj — это конструкция, аналогичная конструкции спектра кольца аффинных схем , которая производит объекты с типичными свойствами проективных пространств и проективных многообразий . Конструкция, хотя и не является функториальной , является фундаментальным инструментом в теории схем .

В этой статье все кольца будут предполагаться коммутативными и обладающими тождественностью.

Проекция градуированного кольца

Proj как набор

Пусть будет коммутативным градуированным кольцом , где — разложение в прямую сумму , связанное с градуировкой. Нерелевантный идеал — это идеал элементов положительной степени Мы говорим, что идеал однороден , если он порождается однородными элементами. Тогда, как множество, Для краткости мы иногда будем писать для . ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle S_{+}=\bigoplus _{i>0}S_{i}.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Proj} S=\{P\subseteq S{\text{ homogeneous prime ideal, }}S_{+}\not \subseteq P\}.}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

Proj как топологическое пространство

Мы можем определить топологию , называемую топологией Зарисского , определив замкнутые множества как множества вида ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

${\displaystyle V(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\subseteq p\},}$

где — однородный идеал . Как и в случае аффинных схем, быстро проверяется, что образуют замкнутые множества топологии на . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V(a)}$ ${\displaystyle X}$

Действительно, если — семейство идеалов, то имеем и если индексное множество I конечно, то ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ ${\textstyle \bigcap V(a_{i})=V\left(\sum a_{i}\right)}$ ${\textstyle \bigcup V(a_{i})=V\left(\prod a_{i}\right).}$

Эквивалентно, мы можем взять открытые множества в качестве отправной точки и определить

${\displaystyle D(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\not \subseteq p\}.}$

Распространенным сокращением является обозначение через , где — идеал , порожденный . Для любого идеала множества и являются дополнительными, и, следовательно, то же доказательство, что и раньше, показывает, что множества образуют топологию на . Преимущество этого подхода состоит в том, что множества , где пробегает все однородные элементы кольца , образуют базу для этой топологии, которая является незаменимым инструментом для анализа , так же как аналогичный факт для спектра кольца также незаменим. ${\displaystyle D(Sf)}$ ${\displaystyle D(f)}$ ${\displaystyle Sf}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle D(a)}$ ${\displaystyle V(a)}$ ${\displaystyle D(a)}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle D(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

Проект как схема

Мы также строим пучок на , называемый «структурным пучком», как в аффинном случае, что превращает его в схему . Как и в случае конструкции Spec, существует много способов продолжить: наиболее прямой, который также весьма наводит на мысль о построении регулярных функций на проективном многообразии в классической алгебраической геометрии, заключается в следующем. Для любого открытого множества ( которое по определению является множеством однородных простых идеалов , не содержащих ) мы определяем кольцо как множество всех функций ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{+}}$ ${\displaystyle O_{X}(U)}$

${\displaystyle f\colon U\to \bigcup _{p\in U}S_{(p)}}$

(где обозначает подкольцо кольца дробей, состоящее из дробей однородных элементов одинаковой степени) такое, что для каждого простого идеала кольца : ${\displaystyle S_{(p)}}$ ${\displaystyle S_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U}$

1. ${\displaystyle f(p)}$является элементом ; ${\displaystyle S_{(p)}}$
2. Существует открытое подмножество , содержащее и однородные элементы из той же степени, такое, что для каждого простого идеала из : ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle V}$
   • ${\displaystyle t}$не находится в ; ${\displaystyle q}$
   • ${\displaystyle f(q)=s/t}$

Из определения немедленно следует, что образуют пучок колец на , и можно показать, что пара ( , ) на самом деле является схемой (это достигается путем демонстрации того, что каждое из открытых подмножеств на самом деле является аффинной схемой). ${\displaystyle O_{X}(U)}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle D(f)}$

Связка, связанная с градуированным модулем

Существенным свойством для приведенной выше конструкции была способность образовывать локализации для каждого простого идеала . Этим свойством также обладает любой градуированный модуль над , и поэтому с соответствующими незначительными изменениями предыдущий раздел строит для любого такого пучка, обозначаемого , -модулей на . Этот пучок квазикогерентен по построению. Если порождается конечным числом элементов степени (например, кольцом многочленов или его однородным фактором), все квазикогерентные пучки на возникают из градуированных модулей по этой конструкции. ^[1] Соответствующий градуированный модуль не является единственным. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{(p)}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

Скрученный сноп Серра

Частным случаем пучка, связанного с градуированным модулем, является случай, когда мы берем его самого с другой градуировкой: а именно, мы позволяем элементам степени быть элементами степени , так что и обозначаем . Затем мы получаем как квазикогерентный пучок на , обозначаемый или просто , называемый скручивающим пучком Серра . Можно проверить, что на самом деле является обратимым пучком . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (d+1)}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle M_{d}=S_{d+1}}$$ ${\displaystyle M=S(1)}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle O_{X}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

Одной из причин полезности является то, что он восстанавливает алгебраическую информацию , которая была утеряна, когда при построении мы перешли к дробям нулевой степени. В случае Spec A для кольца A глобальные сечения структурного пучка образуют само A , тогда как глобальные сечения здесь образуют только элементы нулевой степени . Если мы определим ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)=\bigotimes _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}(1)}$

то каждый содержит информацию о степени , обозначенную , и взятые вместе они содержат всю информацию об оценке, которая была потеряна. Аналогично, для любого пучка градуированных -модулей мы определяем ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N(n)=N\otimes {\mathcal {O}}(n)}$

и ожидаем, что этот «скрученный» пучок будет содержать информацию о градуировке относительно . В частности, если — пучок, связанный с градуированным -модулем, мы также ожидаем, что он будет содержать потерянную информацию о градуировке относительно . Это предполагает, хотя и ошибочно, что на самом деле может быть восстановлено из этих пучков; как, однако, это верно в случае, когда — полиномиальное кольцо, ниже. Эту ситуацию следует противопоставить тому факту, что функтор spec сопряжен с функтором глобальных сечений в категории локально окольцованных пространств . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(n))}$$ ${\displaystyle S}$

Проективныйн-космос

Если - кольцо, то мы определяем проективное n -пространство над как схему ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A[x_{0},\ldots ,x_{n}].}$

Градуировка на кольце многочленов определяется тем, что каждый имеет степень один, а каждый элемент из — степень ноль. Сравнивая это с определением выше, мы видим, что сечения на самом деле являются линейными однородными многочленами, порожденными самими собой . Это предполагает другую интерпретацию , а именно как пучка «координат» для , поскольку являются буквально координатами для проективного -пространства. ${\displaystyle S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle n}$

Примеры проекта

Проекция на аффинную прямую

Если мы допустим, что базовое кольцо будет , то имеет канонический проективный морфизм на аффинную прямую , слои которой являются эллиптическими кривыми, за исключением точек , где кривые вырождаются в узловые кривые. Таким образом, существует расслоение , которое также является гладким морфизмом схем (что можно проверить с помощью критерия Якоби ). ${\displaystyle A=\mathbb {C} [\lambda ]}$ $${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \left({\frac {A[X,Y,Z]_{\bullet }}{(ZY^{2}-X(X-Z)(X-\lambda Z))_{\bullet }}}\right)}$$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\lambda }^{1}}$ ${\displaystyle \lambda =0,1}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}E_{\lambda }&\longrightarrow &X\\&&\downarrow \\&&\mathbb {A} _{\lambda }^{1}-\{0,1\}\end{matrix}}}$$

Проективные гиперповерхности и многообразия

Проективная гиперповерхность является примером квинтики Ферма , которая также является многообразием Калаби–Яу . В дополнение к проективным гиперповерхностям любое проективное многообразие, вырезанное системой однородных полиномов от -переменных, может быть преобразовано в проективную схему с помощью конструкции proj для градуированной алгебры, дающей вложение проективных многообразий в проективные схемы. ${\displaystyle \operatorname {Proj} \left(\mathbb {C} [X_{0},\ldots ,X_{4}]/(X_{0}^{5}+\cdots +X_{4}^{5})\right)}$ $${\displaystyle f_{1}=0,\ldots ,f_{k}=0}$$ ${\displaystyle (n+1)}$ $${\displaystyle {\frac {k[X_{0},\ldots ,X_{n}]_{\bullet }}{(f_{1},\ldots ,f_{k})_{\bullet }}}}$$

Взвешенное проективное пространство

Взвешенные проективные пространства могут быть построены с использованием полиномиального кольца, переменные которого имеют нестандартные степени. Например, взвешенное проективное пространство соответствует взятию кольца , где имеют вес, а имеет вес 2. ${\displaystyle \mathbb {P} (1,1,2)}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} }$ ${\displaystyle A[X_{0},X_{1},X_{2}]}$ ${\displaystyle X_{0},X_{1}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle X_{2}}$

Кольца с большим радиусом

Конструкция proj распространяется на биградуированные и мультиградуированные кольца. Геометрически это соответствует взятию произведений проективных схем. Например, если даны градуированные кольца со степенью каждого генератора . Тогда тензорное произведение этих алгебр по дает биградуированную алгебру , где имеют вес и имеют вес . Тогда конструкция proj дает , которая является произведением проективных схем. Существует вложение таких схем в проективное пространство путем взятия полной градуированной алгебры , где элемент степени рассматривается как элемент степени. Это означает, что -й градуированный кусок является модулем Кроме того, схема теперь поставляется с биградуированными пучками , которые являются тензорным произведением пучков , где и являются каноническими проекциями, полученными из инъекций этих алгебр из диаграммы тензорного произведения коммутативных алгебр. $${\displaystyle A_{\bullet }=\mathbb {C} [X_{0},X_{1}],{\text{ }}B_{\bullet }=\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1}]}$$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\bullet }\otimes _{\mathbb {C} }B_{\bullet }&=S_{\bullet ,\bullet }\\&=\mathbb {C} [X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1}]\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ $${\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })=\mathbb {P} ^{1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}\mathbb {P} ^{1}}$$ $${\displaystyle S_{\bullet ,\bullet }\to S_{\bullet }}$$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (a+b)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S_{\bullet }}$ $${\displaystyle S_{k}=\bigoplus _{a+b=k}S_{a,b}}$$ ${\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(a,b)}$ ${\displaystyle \pi _{1}^{*}{\mathcal {O}}(a)\otimes \pi _{2}^{*}{\mathcal {O}}(b)}$ $${\displaystyle \pi _{1}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(A_{\bullet })}$$ $${\displaystyle \pi _{2}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(B_{\bullet })}$$

Глобальный проект

Обобщение конструкции Proj заменяет кольцо S пучком алгебр и в результате дает схему, которую можно рассматривать как расслоение Proj колец. Эта конструкция часто используется, например, для построения проективных пространственных расслоений над базовой схемой .

Предположения

Формально, пусть X — произвольная схема , а S — пучок градуированных -алгебр (определение которого аналогично определению -модулей на локально окольцованном пространстве ): то есть пучок с разложением в прямую сумму ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle O_{X}}$

${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$

где каждый является -модулем таким, что для каждого открытого подмножества U из X , S ( U ) является -алгеброй и результирующее разложение в прямую сумму ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle O_{X}(U)}$

${\displaystyle S(U)=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}(U)}$

является градуировкой этой алгебры как кольца. Здесь мы предполагаем, что . Мы делаем дополнительное предположение, что S является квазикогерентным пучком ; это предположение «согласованности» сечений над различными открытыми множествами, необходимое для продолжения построения. ${\displaystyle S_{0}=O_{X}}$

Строительство

В этой настройке мы можем построить схему и «проекцию» отображения p на X, такие, что для каждого открытого аффинного U из X , ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$

${\displaystyle (\operatorname {\mathbf {Proj} } S)|_{p^{-1}(U)}=\operatorname {Proj} (S(U)).}$

Это определение предполагает, что мы строим , сначала определяя схемы для каждого открытого аффинного U , устанавливая ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$ ${\displaystyle Y_{U}}$

${\displaystyle Y_{U}=\operatorname {Proj} S(U),}$

и карт , а затем показывая, что эти данные могут быть склеены «над» каждым пересечением двух открытых аффинных U и V для формирования схемы Y , которую мы определяем как . Нетрудно показать, что определение каждой из них как карты, соответствующей включению в S ( U ) в качестве элементов нулевой степени, дает необходимую согласованность , в то время как согласованность самих следует из предположения о квазисогласованности S . ${\displaystyle p_{U}\colon Y_{U}\to U}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$ ${\displaystyle p_{U}}$ ${\displaystyle O_{X}(U)}$ ${\displaystyle p_{U}}$ ${\displaystyle Y_{U}}$

Скручивающийся сноп

Если S обладает дополнительным свойством, которое является когерентным пучком и локально порождает S над (то есть, когда мы переходим к стеблю пучка S в точке x из X , который является градуированной алгеброй, элементы степени ноль которой образуют кольцо , то элементы степени один образуют конечно порожденный модуль над и также порождают стебель как алгебру над ним), то мы можем сделать дальнейшее построение. Над каждым открытым аффинным U , Proj S ( U ) несет обратимый пучок O(1) , и предположение, которое мы только что сделали, гарантирует, что эти пучки могут быть склеены так же, как выше; результирующий пучок на также обозначается O (1) и служит во многом той же цели для , что и скручивающий пучок на Proj кольца. ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle O_{X,x}}$ ${\displaystyle O_{X,x}}$ ${\displaystyle Y_{U}}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$

Proj квазикогерентного пучка

Пусть — квазикогерентный пучок на схеме . Пучок симметричных алгебр естественным образом является квазикогерентным пучком градуированных -модулей, порожденных элементами степени 1. Полученная схема обозначается через . Если имеет конечный тип, то ее канонический морфизм — проективный морфизм . ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {Sym} _{O_{X}}({\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle p:\mathbb {P} ({\mathcal {E}})\to X}$

Для любого , слой указанного выше морфизма над является проективным пространством, связанным с двойственным векторным пространством над . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}}(x))}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(x):={\mathcal {E}}\otimes _{O_{X}}k(x)}$ ${\displaystyle k(x)}$

Если — квазикогерентный пучок градуированных -модулей, порожденный и такой, что имеет конечный тип, то — замкнутая подсхема и тогда проективен над . Фактически, каждая замкнутая подсхема проективного имеет этот вид. ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {Proj} {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {S}}_{1})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$

Проективные пространственные расслоения

Как частный случай, когда локально свободен от ранга , мы получаем проективное расслоение над относительной размерности . Действительно, если мы возьмем открытое покрытие X открытыми аффинными множествами, такими, что при ограничении каждым из них свободно над A , то ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})|_{p^{-1}(U)}\simeq \operatorname {Proj} A[x_{0},\dots ,x_{n}]=\mathbb {P} _{A}^{n}=\mathbb {P} _{U}^{n},}$

и, следовательно, является проективным пространственным расслоением. Многие семейства многообразий могут быть построены как подсхемы этих проективных расслоений, такие как семейство Вейерштрасса эллиптических кривых. Подробнее см. в основной статье. ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$

Пример глобального проекта

Глобальный proj можно использовать для построения пучков Лефшеца . Например, пусть и возьмем однородные многочлены степени k. Мы можем рассмотреть идеальный пучок и построить глобальный proj этого фактор-пучка алгебр . Это можно явно описать как проективный морфизм . ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{s,t}^{1}}$ ${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}=(sf+tg)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}[x_{0},\ldots ,x_{n}]/{\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} (\mathbb {C} [s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]/(sf+tg))\to \mathbb {P} _{s,t}^{1}}$

Смотрите также

• Проективное пространство
• Алгебраическая геометрия проективных пространств
• Проективизация

Ссылки

1. Рави Вакил (2015). Основы алгебраической геометрии (PDF) ., Следствие 15.4.3.
2. ЭГА , II.5.5.
3. ЭГА , II.5.5.1.

• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: II. Глобальное элементарное исследование некоторых классов морфизмов». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 8 . дои : 10.1007/bf02699291. МР  0217084.
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157