Топология пространства-времени

Топология пространства-времени — это топологическая структура пространства -времени , тема, изучаемая в основном в общей теории относительности . Эта физическая теория моделирует гравитацию как кривизну четырехмерного лоренцева многообразия (пространства-времени), и поэтому концепции топологии становятся важными при анализе как локальных, так и глобальных аспектов пространства-времени. Изучение топологии пространства-времени особенно важно в физической космологии .

Типы топологии

Существует два основных типа топологии пространства- времени M.

Топология многообразия

Как и любое многообразие, пространство-время обладает естественной топологией многообразия . Здесь открытые множества являются образом открытых множеств в . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Топология пути или Зеемана

Определение : ^[1] Топология, в которой подмножество открыто , если для каждой времениподобной кривой существует множество в топологии многообразия такое, что . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle E\subset M}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle E\cap c=O\cap c}$

Это самая тонкая топология , которая индуцирует ту же топологию, что и на времениподобных кривых. ^[2] ${\displaystyle M}$

Характеристики

Строго тоньше топологии многообразия. Поэтому она хаусдорфова , сепарабельна , но не локально компактна .

Основой топологии являются множества вида для некоторой точки и некоторой выпуклой нормальной окрестности . ${\displaystyle Y^{+}(p,U)\cup Y^{-}(p,U)\cup p}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle U\subset M}$

( обозначают хронологическое прошлое и будущее ). ${\displaystyle Y^{\pm }}$

топология Александрова

Топология Александрова в пространстве-времени является самой грубой топологией, такой, что и открыты для всех подмножеств . ${\displaystyle Y^{+}(E)}$ ${\displaystyle Y^{-}(E)}$ ${\displaystyle E\subset M}$

При этом основой открытых множеств для топологии являются множества вида для некоторых точек . ${\displaystyle Y^{+}(x)\cap Y^{-}(y)}$ ${\displaystyle \,x,y\in M}$

Эта топология совпадает с топологией многообразия тогда и только тогда, когда многообразие является строго причинным, но в общем случае оно грубее. ^[3]

Обратите внимание, что в математике топология Александрова на частичном порядке обычно считается самой грубой топологией, в которой только верхние множества должны быть открытыми. Эта топология восходит к Павлу Александрову . ${\displaystyle Y^{+}(E)}$

В настоящее время правильным математическим термином для топологии Александрова в пространстве-времени (которая восходит к Александру Д. Александрову ) будет интервальная топология , но когда Кронгеймер и Пенроуз ввели этот термин, эта разница в номенклатуре не была столь очевидной ^{[ необходима ссылка ]} , и в физике термин топология Александрова по-прежнему используется.

Плоское пространство-время

События, связанные светом, имеют нулевое разделение. Пленум пространства-времени на плоскости разделен на четыре квадранта, каждый из которых имеет топологию R ² . Разделительные линии являются траекторией входящих и исходящих фотонов в точке (0,0). Топологическая сегментация плоской космологии — это будущее F, прошлое P, пространство слева L и пространство справа D. Гомеоморфизм F с R ² представляет собой полярное разложение расщепленных комплексных чисел :

${\displaystyle z=\exp(a+jb)=e^{a}(\cosh b+j\sinh b)\to (a,b),}$так что

${\displaystyle z\to (a,b)}$— комплексный логарифм расщепления и требуемый гомеоморфизм F → R ² . Обратите внимание, что b — параметр быстроты относительного движения в F.

F находится во взаимно однозначном соответствии с каждым из P, L и D при отображениях z → – z , z → j z и z → – j z , поэтому каждый из них приобретает ту же самую топологию. Объединение U = F ∪ P ∪ L ∪ D тогда имеет топологию, почти покрывающую плоскость, оставляя только нулевой конус на (0,0). Гиперболическое вращение плоскости не смешивает квадранты, фактически, каждый из них является инвариантным множеством относительно единичной группы гиперболы .

Смотрите также

• 4-х коллекторный
• Форма Клиффорда-Клейна
• Замкнутая кривая времени
• Сложное пространство-время
• Геометродинамика
• Гравитационная сингулярность
• Многообразие Ганцше–Вендта
• Искривление пространства-времени
• Червоточина

Примечания

1. Сайт Луки Бомбелли Архивировано 16 июня 2010 г. на Wayback Machine
2. * Zeeman, EC (1967). «Топология пространства Минковского». Топология . 6 (2): 161–170. doi :10.1016/0040-9383(67)90033-X.
3. Пенроуз, Роджер (1972), Методы дифференциальной топологии в теории относительности , Серия региональных конференций CBMS-NSF по прикладной математике, стр. 34

Ссылки

• Zeeman, EC (1964). «Причинность подразумевает группу Лоренца». Журнал математической физики . 5 (4): 490–493. Bibcode : 1964JMP.....5..490Z. doi : 10.1063/1.1704140.
• Хокинг, SW; Кинг, AR; Маккарти, PJ (1976). "Новая топология для искривленного пространства-времени, которая включает причинные, дифференциальные и конформные структуры" (PDF) . Журнал математической физики . 17 (2): 174–181. Bibcode :1976JMP....17..174H. doi :10.1063/1.522874.