Глобально гиперболическое многообразие

В математической физике глобальная гиперболичность — это определенное условие причинной структуры пространственно - временного многообразия (то есть лоренцева многообразия). Она называется гиперболической по аналогии с линейной теорией распространения волн , где будущее состояние системы задается начальными условиями . (В свою очередь, ведущим символом волнового оператора является гиперболоид . ) Это относится к общей теории относительности Альберта Эйнштейна и, возможно, к другим метрическим теориям гравитации.

Определения

Существует несколько эквивалентных определений глобальной гиперболичности. Пусть M — гладкое связное лоренцево многообразие без края. Сделаем следующие предварительные определения:

• M не является полностью порочным, если существует хотя бы одна точка, через которую не проходит замкнутая времениподобная кривая.
• M является причинным , если оно не имеет замкнутых причинных кривых.
• M не является тотальным заключением , если в компактном множестве не содержится ни одна нерастяжимая причинная кривая. Это свойство подразумевает причинность.
• M является сильно причинным , если для каждой точки p и любой окрестности U точки p существует причинно-выпуклая окрестность V точки p , содержащаяся в U , причем причинная выпуклость означает, что любая причинная кривая с концами в V полностью содержится в V. Это свойство подразумевает неполное тюремное заключение.
• Учитывая любую точку p в M , [соответственно. ] — это совокупность точек, которых можно достичь с помощью направленного в будущее [соответственно. направленная в прошлое] непрерывная причинно-следственная кривая, начинающаяся с p . ${\displaystyle J^{+}(p)}$ ${\displaystyle J^{-}(p)}$
• Учитывая подмножество S из M , областью зависимости S является множество всех точек p в M , таких, что каждая непродолжаемая причинная кривая, проходящая через p , пересекает S.
• Подмножество S из M является хрональным, если ни одна времениподобная кривая не пересекает S более одного раза.
• Поверхность Коши для M представляет собой замкнутое ахрональное множество, областью зависимости которого является M .

Следующие условия эквивалентны:

1. Пространство-время является причинным, и для каждой пары точек p и q в M пространство непрерывных, направленных в будущее причинных кривых от p до q компактно в топологии. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}}$
2. Пространство-время имеет поверхность Коши.
3. Пространство-время причинно, и для каждой пары точек p и q в M подмножество компактно. ${\displaystyle J^{-}(p)\cap J^{+}(q)}$
4. Пространство-время не является тотальным заключением, и для каждой пары точек p и q в M подмножество содержится в компактном множестве (то есть его замыкание компактно). ${\displaystyle {J^{-}(p)\cap J^{+}(q)}}$

Если какое-либо из этих условий выполняется, мы говорим, что M глобально гиперболично . Если M — гладкое связное лоренцево многообразие с краем, мы говорим, что оно глобально гиперболично, если его внутренность глобально гиперболична.

Другие эквивалентные характеристики глобальной гиперболичности используют понятие лоренцева расстояния, где верхняя грань берется по всем причинным кривым, соединяющим точки (по соглашению d = 0, если такой кривой нет). Они есть ${\displaystyle d(p,q):=\sup _{\gamma }l(\gamma )}$ ${\displaystyle C^{1}}$

• Сильно причинное пространство-время, для которого конечное значение. ^[1] ${\displaystyle d}$
• Нетотальное заключающее пространство-время, такое, что оно непрерывно для любого выбора метрики в конформном классе исходной метрики. ${\displaystyle d}$

Примечания

Глобальная гиперболичность в первой форме, приведенной выше, была введена Лере ^[2] для рассмотрения корректности задачи Коши для волнового уравнения на многообразии. В 1970 г. Герох ^[3] доказал эквивалентность определений 1 и 2. Определение 3 в предположении сильной причинности и его эквивалентность первым двум было дано Хокингом и Эллисом. ^[4]

Как уже упоминалось, в более старой литературе условие причинности в первом и третьем определениях глобальной гиперболичности, приведенных выше, заменяется более сильным условием сильной причинности . В 2007 году Бернал и Санчес ^[5] показали, что условие сильной причинности можно заменить причинностью. В частности, любое глобально гиперболическое многообразие, определенное в разделе 3, является сильно причинным. Позже Хоуннонкпе и Мингуцци ^[6] доказали, что для вполне разумных пространств-временей, точнее, пространств размерности больше трех, которые некомпактны или не полностью порочны, условие «причинности» можно исключить из определения 3.

В определении 3 замыкание кажется сильным (фактически, замыкание множеств подразумевает причинную простоту , уровень причинной иерархии пространства-времени ^[7] , который остается чуть ниже глобальной гиперболичности). Эту проблему можно решить, усилив условие причинности, как в определении 4, предложенном Мингуцци ^[8] в 2009 году. Эта версия поясняет, что глобальная гиперболичность устанавливает условие совместимости между причинным отношением и понятием компактности: каждый причинный ромб содержится в компактное множество, и каждая нерасширяемая причинная кривая выходит за пределы компактных множеств. Заметьте, что чем больше семейство компактных множеств, тем легче причинным ромбам удерживаться в каком-то компактном множестве, но тем труднее причинным кривым выйти за пределы компактных множеств. Таким образом, глобальная гиперболичность устанавливает баланс между обилием компактов и причинной структурой. Поскольку более тонкие топологии имеют менее компактные множества, мы также можем сказать, что баланс зависит от количества открытых множеств с учетом причинной связи. Определение 4 также устойчиво при возмущениях метрики (которые в принципе могут привести к появлению замкнутых причинных кривых). Фактически с помощью этой версии было показано, что глобальная гиперболичность устойчива при возмущениях метрики. ^[9] ${\displaystyle J^{-}(p)\cap J^{+}(q)}$ ${\displaystyle J^{\pm }(p)}$

В 2003 году Бернал и Санчес ^[10] показали, что любое глобально гиперболическое многообразие M имеет гладкую вложенную трехмерную поверхность Коши и, более того, что любые две поверхности Коши для M диффеоморфны. В частности, M диффеоморфно произведению поверхности Коши с . Ранее было хорошо известно, что любая поверхность Коши глобально гиперболического многообразия представляет собой вложенное трехмерное подмногообразие, любые два из которых гомеоморфны и такое, что многообразие топологически распадается как произведение поверхности Коши и . В частности, глобально гиперболическое многообразие расслаивается на поверхности Коши. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

С учетом формулировки начальных значений уравнений Эйнштейна глобальная гиперболичность рассматривается как очень естественное условие в контексте общей теории относительности в том смысле, что при произвольных начальных данных существует единственное максимальное глобально гиперболическое решение уравнений Эйнштейна.

Смотрите также

• Условия причинности
• Причинная структура
• Световой конус

Рекомендации

1. Дж. К. Бим, П. Е. Эрлих и К. Л. Исли, «Глобальная лоренцева геометрия». Нью-Йорк: Марсель Деккер Inc. (1996).
2. Жан Лере, «Гиперболические дифференциальные уравнения». Мимеографированные записи, Принстон, 1952 год.
3. Роберт П. Герох, «Область зависимости», Журнал математической физики 11 , (1970) 437, 13 стр.
4. Стивен Хокинг и Джордж Эллис, «Крупномасштабная структура пространства-времени». Кембридж: Издательство Кембриджского университета (1973).
5. Антонио Н. Берналь и Мигель Санчес, «Глобально гиперболическое пространство-время можно определить как «каузальное», а не как «строго причинное»», Classical and Quantum Gravity 24 (2007), вып. 3, 745–749 [1]
6. Раймонд Н. Хоуннонкпе и Этторе Мингуцци, «Глобально гиперболическое пространство-время может быть определено без «каузального» условия», Classical and Quantum Gravity 36 (2019), 197001 [2]
7. Э. Мингуцци и М. Санчес, «Причинная иерархия пространства-времени», в «Последние разработки в псевдоримановой геометрии» ESI Lect. Математика. Phys., под редакцией Х. Баума и Д. Алексеевского (Издательство Европейского математического общества (EMS), Цюрих, 2008), с. 299 [3]
8. Этторе Мингуцци, «Характеристика некоторых условий причинности посредством непрерывности лоренцева расстояния», Journal of Geometry and Physics 59 (2009), 827–833 [4]
9. Дж. Дж. Бенавидес Наварро и Э. Мингуцци, «Глобальная гиперболичность стабильна в интервальной топологии», Журнал математической физики 52 (2011), 112504 [5]
10. Антонио Н. Берналь и Мигель Санчес, «О гладких гиперповерхностях Коши и теореме Героха о расщеплении», Communications in Mathematical Physics 243 (2003), вып. 3, 461–470 [6]

• Хокинг, Стивен; Эллис, СКФ (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-09906-4.
• Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-87033-2.