Гранулометрия (морфология)

В математической морфологии гранулометрия — это подход к вычислению распределения размеров зерен в бинарных изображениях с использованием серии морфологических операций открытия . Он был введен Жоржем Матероном в 1960-х годах и является основой для характеристики концепции размера в математической морфологии.

Гранулометрия, полученная с помощью структурирующего элемента

Пусть B — структурный элемент в евклидовом пространстве или сетке E , и рассмотрим семейство , , заданное формулой: ${\displaystyle \{B_{k}\}}$ ${\displaystyle k=0,1,\ldots }$

${\displaystyle B_{k}=\underbrace {B\oplus \ldots \oplus B} _{k{\mbox{ times}}}}$,

где обозначает морфологическое расширение . По соглашению, — это множество, содержащее только начало координат E , и . ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle B_{1}=B}$

Пусть X — множество (т.е. двоичное изображение в математической морфологии), и рассмотрим ряд множеств , , заданный формулой: ${\displaystyle \{\gamma _{k}(X)\}}$ ${\displaystyle k=0,1,\ldots }$

${\displaystyle \gamma _{k}(X)=X\circ B_{k}}$,

где обозначает морфологическое открытие. ${\displaystyle \circ }$

Функция гранулометрии — это мощность (т. е. площадь или объем в непрерывном евклидовом пространстве или количество элементов в сетках) изображения : ${\displaystyle G_{k}(X)}$ ${\displaystyle \gamma _{k}(X)}$

${\displaystyle G_{k}(X)=|\gamma _{k}(X)|}$.

Спектр паттернов или распределение размеров X представляет собой совокупность наборов , , заданных формулой: ${\displaystyle \{PS_{k}(X)\}}$ ${\displaystyle k=0,1,\ldots }$

${\displaystyle PS_{k}(X)=G_{k}(X)-G_{k+1}(X)}$.

Параметр k называется размером , а компонент k спектра узора дает грубую оценку количества зерен размера k в изображении X. Пики указывают на относительно большое количество зерен соответствующих размеров. ${\displaystyle PS_{k}(X)}$ ${\displaystyle PS_{k}(X)}$

Аксиомы просеивания

Вышеуказанный общий метод является частным случаем более общего подхода, разработанного Жоржем Матероном . Французский математик был вдохновлен просеиванием как средством характеристики размера . При просеивании гранулированный образец пропускается через ряд сит с уменьшающимися размерами отверстий. В результате различные зерна в образце разделяются в соответствии с их размерами.

Операция пропускания образца через сито с определенным размером отверстий " k " может быть математически описана как оператор , который возвращает подмножество элементов в X с размерами, которые меньше или равны k . Это семейство операторов удовлетворяет следующим свойствам: ${\displaystyle \Psi _{k}(X)}$

1. Антиэкстенсивность : Каждое сито уменьшает количество зерен, т.е. , ${\displaystyle \Psi _{k}(X)\subseteq X}$
2. Возрастание : Результатом просеивания подмножества выборки является подмножество просеивания этого образца, т.е. , ${\displaystyle X\subseteq Y\Rightarrow \Psi _{k}(X)\subseteq \Psi _{k}(Y)}$
3. « Стабильность »: Результат прохождения через два сита определяется по ситу с наименьшим размером отверстий. Т.е. ${\displaystyle \Psi _{k}\Psi _{m}(X)=\Psi _{m}\Psi _{k}(X)=\Psi _{\min(k,m)}(X)}$

Семейство операторов, генерирующее гранулометрию, должно удовлетворять трем вышеуказанным аксиомам.

В приведенном выше случае (гранулометрия, сформированная структурирующим элементом), . ${\displaystyle \Psi _{k}(X)=\gamma _{k}(X)=X\circ B_{k}}$

Другим примером семейства, генерирующего гранулометрию, является случай, когда , где — набор линейных структурных элементов с различными направлениями. ${\displaystyle \Psi _{k}(X)=\bigcup _{i=1}^{N}X\circ (B^{(i)})_{k}}$ ${\displaystyle \{B^{(i)}\}}$

Смотрите также

• Распределение размера частиц
• Размер зерна
• Оптическая гранулометрия

Ссылки

• Случайные множества и интегральная геометрия , Жорж Матерон, Wiley 1975, ISBN  0-471-57621-2 .
• Анализ изображений и математическая морфология Жана Серры, ISBN 0-12-637240-3 (1982) 
• Сегментация изображений с помощью локальной морфологической гранулометрии, Догерти, Э.Р., Краус, Э.Дж. и Пельц, Дж.Б., Симпозиум по геонаукам и дистанционному зондированию, 1989. IGARSS'89, doi :10.1109/IGARSS.1989.576052 (1989)
• Введение в морфологическую обработку изображений Эдварда Р. Догерти, ISBN 0-8194-0845-X (1992) 
• Морфологический анализ изображений. Принципы и применение Пьера Сойля, ISBN 3-540-65671-5 (1999)