Выражение земли

Термин, не содержащий никаких переменных

В математической логике базовый термин формальной системы — это термин , который не содержит никаких переменных . Аналогично, базовая формула — это формула , которая не содержит никаких переменных.

В логике первого порядка с тождеством с постоянными символами и предложение является базовой формулой. Базовое выражение является базовым термином или базовой формулой. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle Q(a)\lor P(b)}$

Примеры

Рассмотрим следующие выражения в логике первого порядка над сигнатурой , содержащей константные символы и для чисел 0 и 1 соответственно, унарный функциональный символ для функции-последователя и бинарный функциональный символ для сложения. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle +}$

• ${\displaystyle s(0),s(s(0)),s(s(s(0))),\ldots }$являются основными терминами;
• ${\displaystyle 0+1,\;0+1+1,\ldots }$являются основными терминами;
• ${\displaystyle 0+s(0),\;s(0)+s(0),\;s(0)+s(s(0))+0}$являются основными терминами;
• ${\displaystyle x+s(1)}$и являются терминами, но не основными терминами; ${\displaystyle s(x)}$
• ${\displaystyle s(0)=1}$и являются основными формулами. ${\displaystyle 0+0=0}$

Формальные определения

Далее следует формальное определение языков первого порядка . Пусть дан язык первого порядка с набором константных символов, набором функциональных операторов и набором предикатных символов . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P}$

Термин «земля»

АОсновной термин — этотермин, который не содержит переменных. Основные термины могут быть определены с помощью логической рекурсии (рекурсии-формулы):

1. Элементы являются основными терминами; ${\displaystyle C}$
2. Если — символ -арной функции и — основные члены, то — основной член. ${\displaystyle f\in F}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle f\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\right)}$
3. Каждый основной термин может быть задан конечным применением двух приведенных выше правил (других основных терминов нет; в частности, предикаты не могут быть основными терминами).

Грубо говоря, вселенная Эрбрана — это совокупность всех основных терминов.

Основной атом

Аосновной предикат ,основной атом илиосновной литерал — этоатомарная формула, все аргументы которой являются основными терминами.

Если — символ -арного предиката и — основные термины, то — основной предикат или основной атом. ${\displaystyle p\in P}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle p\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\right)}$

Грубо говоря, база Эрбрана представляет собой набор всех основных атомов ^[1] , тогда как интерпретация Эрбрана присваивает истинностное значение каждому основному атому в базе.

Основная формула

Аосновная формула илиОсновное предложение — это формула без переменных.

Основные формулы можно определить с помощью синтаксической рекурсии следующим образом:

1. Основной атом — это основная формула.
2. Если и являются основными формулами, то , , и являются основными формулами. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \lnot \varphi }$ ${\displaystyle \varphi \lor \psi }$ ${\displaystyle \varphi \land \psi }$

Основные формулы представляют собой особый вид замкнутых формул .

Смотрите также

• Открытая формула  – формула, содержащая хотя бы одну свободную переменную.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Предложение (математическая логика)  — в математической логике правильно построенная формула без свободных переменных.

Ссылки

1. Алекс Сахаров. "Ground Atom". MathWorld . Получено 20 октября 2022 г.

• Далал, М. (2000), «Парадигмы компьютерного программирования на основе логики», в книге Розена, К. Х.; Майклса, Дж. Г. (ред.), Справочник по дискретной и комбинаторной математике , стр. 68
• Ходжес, Уилфрид (1997), Более короткая модель теории , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6
• Логика первого порядка: синтаксис и семантика