Представление группы Ли

Представительство группы

В математике и теоретической физике представлением группы Ли является линейное действие группы Ли на векторное пространство . Эквивалентно, представление — это гладкий гомоморфизм группы в группу обратимых операторов в векторном пространстве. Представления играют важную роль в изучении непрерывной симметрии . О таких представлениях известно очень многое, причем основным инструментом их изучения является использование соответствующих «бесконечно малых» представлений алгебр Ли .

Конечномерные представления

Представительства

Комплексное представление группы — это действие группы на конечномерном векторном пространстве над полем . Представление группы Ли G , действующее на n -мерном векторном пространстве V , является тогда гладким гомоморфизмом группы. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \Pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$,

где – общая линейная группа всех обратимых линейных преобразований по их составу. Поскольку все n -мерные пространства изоморфны, группу можно отождествить с группой обратимых комплексных матриц, обычно называемых гладкостью отображения , которую можно рассматривать как техническую формальность, поскольку любой непрерывный гомоморфизм автоматически будет гладким. ^[1] ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} ).}$ ${\displaystyle \Pi }$

Альтернативно мы можем описать представление группы Ли как линейное действие в векторном пространстве . Условно, тогда мы бы написали вместо того, как групповой элемент действует на вектор . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle g\cdot v}$ ${\displaystyle \Pi (g)v}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle v\in V}$

Типичным примером возникновения представлений в физике может быть исследование линейного уравнения в частных производных, имеющего группу симметрии . Хотя отдельные решения уравнения могут не быть инвариантными под действием , пространство всех решений инвариантно под действием . Таким образом, представляет собой представление . См. пример SO(3), обсуждаемый ниже. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$

Основные определения

Если гомоморфизм инъективен (т. е. мономорфизм ), представление называется точным . ${\displaystyle \Pi }$

Если выбран базис комплексного векторного пространства V , представление можно выразить как гомоморфизм в общую линейную группу . Это известно как матричное представление . Два представления G в векторных пространствах V , W эквивалентны , если они имеют одинаковые матричные представления относительно некоторого выбора базисов для V и W. ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}$

Учитывая представление , мы говорим, что подпространство W в V является инвариантным подпространством, если для всех и . Представление называется неприводимым, если единственными инвариантными подпространствами V являются нулевое пространство и само V. Для некоторых типов групп Ли, а именно компактных ^[2] и полупростых ^[3] групп, каждое конечномерное представление разлагается в прямую сумму неприводимых представлений - свойство, известное как полная сводимость. Для таких групп типичная цель теории представлений — классифицировать все конечномерные неприводимые представления данной группы с точностью до изоморфизма. (См. раздел «Классификация» ниже.) ${\displaystyle \Pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle \Pi (g)w\in W}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle w\in W}$

Унитарное представление в конечномерном пространстве внутреннего продукта определяется таким же образом, за исключением того, что требуется отобразить его в группу унитарных операторов . Если G — компактная группа Ли , каждое конечномерное представление эквивалентно унитарному. ^[2] ${\displaystyle \Pi }$

Представления алгебры Ли

Каждое представление группы Ли G порождает представление ее алгебры Ли; эта переписка подробно обсуждается в последующих разделах. См. представление алгебр Ли для теории алгебры Ли.

Пример: группа ротации SO(3)

В квантовой механике важную роль играет независимое от времени уравнение Шрёдингера . В трехмерном случае, если она обладает вращательной симметрией, то пространство решений будет инвариантным относительно действия SO(3). Таким образом, для каждого фиксированного значения будет представлять собой представление SO(3), которое обычно является конечномерным. При попытке решения полезно знать, как выглядят все возможные конечномерные представления SO(3). Теория представления SO(3) играет ключевую роль, например, в математическом анализе атома водорода . ${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle V_{E}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$ ${\displaystyle V_{E}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$

Каждый стандартный учебник по квантовой механике содержит анализ, который по существу классифицирует конечномерные неприводимые представления SO (3) с помощью ее алгебры Ли. (Коммутационные отношения между операторами углового момента — это не что иное, как отношения для алгебры Ли SO(3).) Одна из тонкостей этого анализа состоит в том, что представления группы и алгебры Ли не находятся во взаимно однозначном соответствии, момент, который имеет решающее значение для понимания различия между целочисленным и полуцелым спином . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Обычные представления

Группа вращений SO(3) является компактной группой Ли, и поэтому каждое конечномерное представление SO(3) разлагается как прямая сумма неприводимых представлений. Группа SO(3) имеет одно неприводимое представление в каждом нечетном измерении. ^[4] Для каждого неотрицательного целого числа неприводимое представление размерности может быть реализовано как пространство однородных гармонических многочленов степени . ^[5] Здесь SO(3) действует так же, как вращение действует на функции на : ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 2k+1}$ ${\displaystyle V_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle (\Pi (R)f)(x)=f(R^{-1}x)\quad R\in \operatorname {SO} (3).}$

Ограничением единичной сферы элементов являются сферические гармоники степени . ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle V_{k}}$ ${\displaystyle k}$

Если, скажем, , то все однородные многочлены степени один являются гармоническими, и мы получаем трехмерное пространство, натянутое на линейные многочлены , , и . Если , пространство натянуто полиномами , , , , и . ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle xz}$ ${\displaystyle yz}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}-z^{2}}$

Как отмечалось выше, конечномерные представления SO(3) естественным образом возникают при изучении нестационарного уравнения Шредингера для радиального потенциала, такого как атом водорода , как отражение вращательной симметрии задачи. (См. роль сферических гармоник в математическом анализе водорода .)

Проективные представления

Если мы посмотрим на алгебру Ли группы SO(3), эта алгебра Ли изоморфна алгебре Ли группы SU(2). Согласно теории представлений , тогда существует одно неприводимое представление в каждом измерении. Однако четномерные представления не соответствуют представлениям группы SO (3). ^[6] Однако эти так называемые представления с «дробным спином» соответствуют проективным представлениям SO(3). Эти представления возникают в квантовой механике частиц с дробным спином, например электрона. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Операции над представлениями

В этом разделе мы опишем три основные операции над представлениями. ^[7] См. также соответствующие конструкции для представлений алгебры Ли.

Прямые суммы

Если у нас есть два представления группы и , то прямая сумма будет иметь базовое векторное пространство с действием группы, заданным формулой ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi _{1}:G\rightarrow GL(V_{1})}$ ${\displaystyle \Pi _{2}:G\rightarrow GL(V_{2})}$ ${\displaystyle V_{1}\oplus V_{2}}$

${\displaystyle \Pi (g)(v_{1},v_{2})=(\Pi _{1}(g)v_{1},\Pi _{2}(g)v_{2}),}$

для всех и . ${\displaystyle v_{1}\in V_{1},}$ ${\displaystyle v_{2}\in V_{2}}$ ${\displaystyle g\in G}$

Некоторые типы групп Ли, в частности компактные группы Ли, обладают тем свойством, что каждое конечномерное представление изоморфно прямой сумме неприводимых представлений. ^[2] В таких случаях классификация представлений сводится к классификации неприводимых представлений. См. теорему Вейля о полной сводимости .

Тензорные произведения представлений

Если у нас есть два представления группы и , то тензорное произведение представлений будет иметь векторное пространство тензорного произведения в качестве основного векторного пространства, причем действие однозначно определяется предположением, что ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi _{1}:G\rightarrow GL(V_{1})}$ ${\displaystyle \Pi _{2}:G\rightarrow GL(V_{2})}$ ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \Pi (g)(v_{1}\otimes v_{2})=(\Pi _{1}(g)v_{1})\otimes (\Pi _{2}(g)v_{2})}$

для всех и . То есть, . ${\displaystyle v_{1}\in V_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}\in V_{2}}$ ${\displaystyle \Pi (g)=\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)}$

Представление алгебры Ли , связанное с представлением тензорного произведения, задается формулой: ^[8] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle \pi (X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X).}$

Тензорное произведение двух неприводимых представлений обычно не является неприводимым; Тогда основная проблема теории представлений состоит в том, чтобы разложить тензорные произведения неприводимых представлений в прямую сумму неприводимых подпространств. В физической литературе эта проблема носит название «сложение углового момента» или « теория Клебша – Гордана ».

Двойные представления

Пусть – группа Ли и – представление G. Пусть – двойственное пространство, т. е. пространство линейных функционалов на . Тогда мы можем определить представление по формуле ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi :G\rightarrow GL(V)}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Pi ^{*}:G\rightarrow GL(V^{*})}$

${\displaystyle \Pi ^{*}(g)=(\Pi (g^{-1}))^{\operatorname {tr} },}$

где для любого оператора оператор транспонирования определяется как оператор «композиция с»: ${\displaystyle A:V\rightarrow V}$ ${\displaystyle A^{\operatorname {tr} }:V^{*}\rightarrow V^{*}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle (A^{\operatorname {tr} }\phi )(v)=\phi (Av).}$

(Если мы работаем в базисе, то это просто обычная матрица, транспонированная .) Обратное определение необходимо для того, чтобы гарантировать, что это действительно представление , в свете идентичности . ${\displaystyle A^{\operatorname {tr} }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Pi ^{*}}$ ${\displaystyle \Pi ^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (AB)^{\operatorname {tr} }=B^{\operatorname {tr} }A^{\operatorname {tr} }}$

Двойственное неприводимому представлению всегда неприводимо ^[9] , но может быть изоморфным или не быть изоморфным исходному представлению. Например, в случае группы SU(3) неприводимые представления помечаются парой неотрицательных целых чисел. Двойственным представлению, ассоциированному с, является представление, ассоциированное с . ^[10] ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ ${\displaystyle (m_{2},m_{1})}$

Группа Ли против представлений алгебры Ли

Обзор

Во многих случаях представления группы Ли удобно изучать, изучая представления ассоциированной алгебры Ли. Однако в целом не каждое представление алгебры Ли происходит от представления группы. Этот факт, например, лежит в основе различия между целочисленным и полуцелым спином в квантовой механике. С другой стороны, если G — односвязная группа, то теорема ^[11] утверждает, что мы действительно получаем взаимно однозначное соответствие между группой и представлениями алгебры Ли.

Пусть G — группа Ли с алгеброй Ли и предположим, что представление ее имеется. Соответствие Ли можно использовать для получения групповых представлений компонента связности G . Грубо говоря, это достигается взятием матричной экспоненты матриц представления алгебры Ли. Возникает тонкость, если G не является односвязным . Это может привести к проективным представлениям или, говоря языком физики, к многозначным представлениям G . На самом деле это представления универсальной накрывающей группы G . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Эти результаты будут объяснены более подробно ниже.

Соответствие Ли дает результаты только для компонента связности групп, и поэтому другие компоненты полной группы рассматриваются отдельно путем указания представителей для матриц, представляющих эти компоненты, по одному для каждого компонента. Они образуют (представители) нулевую гомотопическую группу G . Например, в случае с четырёхкомпонентной группой Лоренца представители пространственной инверсии и обращения времени должны быть вставлены вручную . Дальнейшие иллюстрации будут взяты из теории представлений группы Лоренца ниже.

Экспоненциальное отображение

Софус Ли , создатель теории Ли . Теория многообразий не была открыта во времена Ли, поэтому он работал локально с подмножествами структуры. Сегодня эту структуру назвали бы локальной группой . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Если группа Ли с алгеброй Ли , то мы имеем экспоненциальное отображение от до , записанное как ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle X\mapsto e^{X},\quad X\in {\mathfrak {g}}.}$

Если это матричная группа Ли, выражение можно вычислить с помощью обычного степенного ряда для экспоненты. В любой группе Ли существуют окрестности тождества в и начала в со свойством, что каждый в может быть записан однозначно, как и с . То есть экспоненциальное отображение имеет локальное обратное. В большинстве групп это только местное явление; то есть экспоненциальное отображение обычно не является ни «один к одному», ни «на». ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e^{X}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g=e^{X}}$ ${\displaystyle X\in V}$

Представления алгебры Ли из представлений групп

Всегда можно перейти от представления группы Ли G к представлению ее алгебры Ли. Если Π : G → GL( V ) является групповым представлением для некоторого векторного пространства V , то его продвижение вперед (дифференциал) в единице, или карта Ли , является представлением алгебры Ли. Оно вычисляется явно с использованием ^[12] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$ ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\text{End}}V}$

Основное свойство, связанное с экспоненциальным отображением: ^[12] ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \Pi (e^{X})=e^{\pi (X)}.}$

Вопрос, который мы хотим исследовать, заключается в том, возникает ли каждое представление группы таким образом из представлений группы . Как мы увидим, это тот случай, когда односвязно. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Представления групп из представлений алгебры Ли

Основным результатом этого раздела является следующее: ^[13]

Теорема : Если односвязно, то каждое представление алгебры Ли происходит из представления самого себя. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$

Из этого мы легко выводим следующее:

Следствие : Если связно, но не просто связно, то каждое представление происходит из представления , универсального покрытия . Если неприводимо, то сводится к проективному представлению . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$

Проективное представление — это представление, в котором каждое из них определено только с точностью до умножения на константу. В квантовой физике естественно допускать проективные представления в дополнение к обычным, поскольку состояния действительно определяются только с точностью до константы. (То есть, если - вектор в квантовом гильбертовом пространстве, то представляет одно и то же физическое состояние для любой константы .) Каждое конечномерное проективное представление связной группы Ли происходит из обычного представления универсального накрытия . ^[14] И наоборот, как мы обсудим ниже, каждое неприводимое обычное представление сводится к проективному представлению . В физической литературе проективные представления часто описываются как многозначные представления (т. е. каждое из них имеет не одно значение, а целое семейство значений). Это явление важно для изучения дробного спина в квантовой механике. ${\displaystyle \Pi (g),\,g\in G,}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle c\psi }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi (g)}$

Здесь V — конечномерное векторное пространство, GL( V ) — множество всех обратимых линейных преобразований на V и его алгебра Ли. Отображения π и Π являются представлениями алгебры Ли и групп соответственно, а exp — экспоненциальное отображение. Диаграмма коммутирует только с точностью до знака, если Π проективно. ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$

Приведем теперь доказательство основных результатов, изложенных выше. Предположим , является представлением в векторном пространстве V . Если будет ассоциированное представление группы Ли , оно должно удовлетворять экспоненциальному соотношению предыдущего подраздела. Теперь, в свете локальной обратимости экспоненты, мы можем определить карту из окрестности единицы с помощью этого соотношения: ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \Pi (e^{X})=e^{\pi (X)},\quad g=e^{X}\in U.}$

Ключевой вопрос тогда заключается в следующем: является ли это локально определенное отображение «локальным гомоморфизмом»? (Этот вопрос применим даже в особом случае, когда экспоненциальное отображение является глобально взаимно-однозначным и на; в этом случае это будет глобально определенное отображение, но не очевидно, почему это будет гомоморфизм.) Ответ на вопрос этот вопрос — да: является локальным гомоморфизмом, и это можно установить с помощью формулы Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа . ^[15] ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$

Если связно, то каждый элемент является по крайней мере произведением экспонент элементов из . Таким образом, мы можем ориентировочно определить глобально следующее. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Pi }$

Однако обратите внимание, что представление данного элемента группы как произведения экспонент очень далеко не уникально, поэтому очень далеко не ясно, действительно ли оно четко определено. ${\displaystyle \Pi }$

Чтобы решить вопрос о том, правильно ли определено, мы соединяем каждый элемент группы с идентификатором, используя непрерывный путь. Тогда можно определить путь и показать, что значение не меняется при непрерывной деформации пути с фиксированными конечными точками. Если он просто связан, любой путь, начинающийся с единицы и заканчивающийся в, может непрерывно деформироваться в любой другой такой путь, показывая, что он полностью независим от выбора пути. Учитывая, что первоначальное определение почти идентичности было локальным гомоморфизмом, нетрудно показать, что глобально определенное отображение также является гомоморфизмом, удовлетворяющим (G2) . ^[16] ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi (g)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Pi (g)}$ ${\displaystyle \Pi }$

Если не просто связно, мы можем применить описанную выше процедуру к универсальному покрытию . Пусть – покрывающая карта. Если случится так, что ядро ​​содержит ядро ​​, то происходит переход к представлению исходной группы . Даже если это не так, заметим, что ядро ​​представляет собой дискретную нормальную подгруппу группы , которая, следовательно, находится в центре группы . Таким образом, если неприводимо, лемма Шура подразумевает, что ядро ​​будет действовать скалярными кратными тождества. Таким образом, сводится к проективному представлению , то есть такому, которое определяется только по модулю скалярных кратных единицы. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p:{\tilde {G}}\rightarrow G}$ ${\displaystyle \Pi :{\tilde {G}}\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$

Наглядное представление о том, как универсальная накрывающая группа содержит все такие гомотопические классы, и ее техническое определение (как множества и как группы) дается в геометрическом представлении .

Например, когда это специализировано на двусвязном SO(3, 1) ⁺ , универсальная накрывающая группа равна , и то, является ли ее соответствующее представление точным , решает, является ли Π проективным . ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Классификация в компактном корпусе

Если G — связная компактная группа Ли, ее конечномерные представления можно разложить в прямые суммы неприводимых представлений . ^[17] Неприводимые классифицируются по « теореме о высшем весе ». Здесь мы даем краткое описание этой теории; подробнее см. статьи по теории представлений связной компактной группы Ли и параллельной теории , классифицирующей представления полупростых алгебр Ли .

Пусть T — максимальный тор в G . По лемме Шура неприводимые представления T одномерны. Эти представления можно легко классифицировать, и они обозначаются определенными «аналитически целыми элементами» или «весами». Если это неприводимое представление G , ограничение на T обычно не будет неприводимым, но оно будет разлагаться как прямая сумма неприводимых представлений T , помеченных соответствующими весами. (Один и тот же вес может встречаться более одного раза.) Для фиксированного можно определить один из весов как «самый высокий», а затем представления классифицируются по этому самому высокому весу. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Важным аспектом теории представлений является связанная с ней теория характеров . Здесь для представления G характером является функция ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \chi _{G}:G\rightarrow \mathbb {C} }$

данный

${\displaystyle \chi _{G}(g)=\operatorname {trace} (\Sigma (g)).}$

Два представления с одним и тем же характером оказываются изоморфными. Более того, формула характера Вейля дает замечательную формулу для определения характера представления через его старший вес. Эта формула не только дает много полезной информации о представлении, но и играет решающую роль в доказательстве теоремы о наибольшем весе.

Унитарные представления в гильбертовых пространствах

Пусть V — комплексное гильбертово пространство, которое может быть бесконечномерным, и пусть обозначает группу унитарных операторов на V . Унитарное представление группы Ли G на V — это групповой гомоморфизм со свойством, что для каждого фиксированного отображение ${\displaystyle U(V)}$ ${\displaystyle \Pi :G\rightarrow U(V)}$ ${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle g\mapsto \Pi (g)v}$

является непрерывным отображением G в V .

Конечномерные унитарные представления

Если гильбертово пространство V конечномерно, существует ассоциированное представление алгебры Ли . Если связно, то представление унитарно тогда и только тогда, когда кососамосопряжено для каждого . ^[18] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi (X)}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$

Если компактно , то каждое представление на конечномерном векторном пространстве V является «унитаризуемым», что означает, что можно выбрать скалярный продукт на V так, чтобы каждое из них было унитарным. ^[19] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi (g),\,g\in G}$

Бесконечномерные унитарные представления

Если гильбертово пространство V разрешено быть бесконечномерным, изучение унитарных представлений включает в себя ряд интересных особенностей, которых нет в конечномерном случае. Например, построение подходящего представления алгебры Ли становится технически сложной задачей. Одним из случаев, когда представление алгебры Ли хорошо понимается, являются полупростые (или редуктивные) группы Ли, где ассоциированное представление алгебры Ли образует (g,K)-модуль . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Примеры унитарных представлений возникают в квантовой механике и квантовой теории поля, а также в анализе Фурье , как показано в следующем примере. Пусть , и пусть комплексное гильбертово пространство V будет . Определим представление как ${\displaystyle G=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \psi :\mathbb {R} \rightarrow U(L^{2}(\mathbb {R} ))}$

${\displaystyle [\psi (a)(f)](x)=f(x-a).}$

Вот несколько важных примеров анализа унитарных представлений группы Ли.

• Теорему Стоуна -фон Неймана можно понимать как классификацию неприводимых унитарных представлений группы Гейзенберга .
• Классификация Вигнера представлений группы Пуанкаре играет важную концептуальную роль в квантовой теории поля, показывая, как массу и спин частиц можно понять в терминах теории групп.
• Теория представлений SL(2,R) была разработана В. Баргманом и служит прообразом для изучения унитарных представлений некомпактных полупростых групп Ли.

Проективные представления

В квантовой физике часто интересуются проективными унитарными представлениями группы Ли . Причина такого интереса в том, что состояния квантовой системы представлены векторами в гильбертовом пространстве , но с учетом того, что два состояния, отличающиеся константой, на самом деле являются одним и тем же физическим состоянием. Симметрии гильбертова пространства тогда описываются унитарными операторами, но унитарный оператор, кратный единице, не меняет физического состояния системы. Таким образом, нас интересуют не обычные унитарные представления, т. е. гомоморфизмы в унитарную группу , а проективные унитарные представления, т. е. гомоморфизмы в проективную унитарную группу. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U(\mathbf {H} )}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle PU(\mathbf {H} ):=U(\mathbf {H} )/\{e^{i\theta }I\}.}$

Другими словами, для проективного представления мы строим семейство унитарных операторов , где подразумевается, что изменение на константу с абсолютным значением 1 считается «тем же самым» оператором. Затем операторы должны удовлетворять свойству гомоморфизма с точностью до константы : ${\displaystyle \rho (g),\,\,g\in G}$ ${\displaystyle \rho (g)}$ ${\displaystyle \rho (g)}$

${\displaystyle \rho (g)\rho (h)=e^{i\theta _{g,h}}\rho (gh).}$

Мы уже обсуждали выше неприводимые проективные унитарные представления группы вращений SO(3); рассмотрение проективных представлений допускает дробное вращение в дополнение к целочисленному вращению.

Теорема Баргмана утверждает, что для некоторых типов групп Ли неприводимые проективные унитарные представления находятся во взаимно однозначном соответствии с обычными унитарными представлениями универсального накрытия . Важными примерами применения теоремы Баргмана являются SO(3) (как только что упоминалось) и группа Пуанкаре . Последний случай важен для классификации Вигнером проективных представлений группы Пуанкаре с приложениями к квантовой теории поля. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Одним из примеров, когда теорема Баргмана не применима , является группа . Совокупность переводов в положении и импульсе on образует проективное унитарное представление, но они не происходят из обычного представления универсального покрытия — которое есть только оно само. В этом случае для получения обычного представления необходимо перейти к группе Гейзенберга , которая является одномерным центральным расширением группы . (Смотрите обсуждение здесь .) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

Коммутативный случай

Если — коммутативная группа Ли , то каждое неприводимое унитарное представление на комплексных векторных пространствах одномерно. (Это утверждение следует из леммы Шура и справедливо, даже если заранее не предполагается, что представления конечномерны.) Таким образом, неприводимые унитарные представления являются просто непрерывными гомоморфизмами в группу единичных кругов U (1). Например, если , то неприводимые унитарные представления имеют вид ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\mathbb {R} }$

${\displaystyle \Pi (x)=[e^{iax}]}$,

для некоторого действительного числа . ${\displaystyle a}$

См. также двойственность Понтрягина для этого случая.

Смотрите также

• Теория представлений связных компактных групп
• Представление алгебры Ли
• Проективное представление
• Теория представлений SU(2)
• Теория представлений группы Лоренца
• Теория представлений алгебр Хопфа
• Присоединенное представление группы Ли.
• Список тем группы Лия
• Симметрия в квантовой механике
• D-матрица Вигнера

Примечания

1. Холл 2015. Следствие 3.51.
2. Hall 2015 Теорема 4.28
3. Зал 2015 г., раздел 10.3.
4. Зал 2015 г., раздел 4.7.
5. Зал 2013 г., раздел 17.6.
6. Зал 2015 г., Предложение 4.35.
7. Зал 2015, Раздел 4.3.
8. Холл 2015, Предложение 4.18.
9. Зал 2015 г., Предложение 4.22.
10. Hall 2015 Глава 6, Упражнение 3. См. также Главу 10, Упражнение 10.
11. Холл, 2015 г. Теорема 5.6.
12. Hall 2015, Теорема 3.28
13. Холл 2015, Теорема 5.6.
14. Зал 2013, раздел 16.7.3.
15. Холл 2015, Предложение 5.9.
16. Холл 2015, Теорема 5.10.
17. Холл 2015. Теоремы 4.28.
18. Зал 2015 г., Предложение 4.8.
19. Холл, 2015 г., доказательство предложения 4.28.

Рекомендации

• Фултон, В .; Харрис, Дж. (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97495-8. МР  1153249.
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Спрингер, ISBN 978-1461471158.
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666.
• Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли за пределами введения, Progress in Mathematics, vol. 140 (2-е изд.), Бостон: Биркхойзер..
• Россманн, Вульф (2001), Группы Ли: введение через линейные группы , Оксфордские тексты для выпускников по математике, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859683-7. В переиздании 2003 года исправлено несколько типографских ошибок.
• Вайнберг, С. (2002) [1995], Основы , Квантовая теория полей, том. 1, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-55001-7