Темпы роста (теория групп)

В математическом предмете геометрической теории групп скорость роста группы относительно симметричного порождающего набора описывает , как быстро растет группа. Каждый элемент в группе может быть записан как произведение порождающих элементов, а скорость роста подсчитывает количество элементов, которые могут быть записаны как произведение длины n .

Определение

Предположим, что G — конечно порожденная группа; а T — конечный симметричный набор генераторов (симметричный означает, что если то ). Любой элемент может быть выражен как слово в T -алфавите ${\displaystyle x\in T}$ ${\displaystyle x^{-1}\in T}$ ${\displaystyle x\in G}$

${\displaystyle x=a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{k}{\text{ where }}a_{i}\in T.}$

Рассмотрим подмножество всех элементов G , которые можно выразить таким словом длины ≤  n

${\displaystyle B_{n}(G,T)=\{x\in G\mid x=a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{k}{\text{ where }}a_{i}\in T{\text{ and }}k\leq n\}.}$

Это множество представляет собой просто замкнутый шар радиуса n в словесной метрике d на G относительно порождающего множества T :

${\displaystyle B_{n}(G,T)=\{x\in G\mid d(x,e)\leq n\}.}$

Более геометрически, это множество вершин в графе Кэли относительно T , которые находятся в пределах расстояния n от единицы. ${\displaystyle B_{n}(G,T)}$

Для двух неубывающих положительных функций a и b можно сказать, что они эквивалентны ( ), если существует константа C такая, что для всех положительных целых чисел  n , ${\displaystyle a\sim b}$

${\displaystyle a(n/C)\leq b(n)\leq a(Cn),\,}$

например, если . ${\displaystyle p^{n}\sim q^{n}}$ ${\displaystyle p,q>1}$

Тогда скорость роста группы G можно определить как соответствующий класс эквивалентности функции

${\displaystyle \#(n)=|B_{n}(G,T)|,}$

где обозначает число элементов в наборе . Хотя функция зависит от набора генераторов T, ее скорость роста не зависит (см. ниже) и, следовательно, скорость роста дает инвариант группы. ${\displaystyle |B_{n}(G,T)|}$ ${\displaystyle B_{n}(G,T)}$ ${\displaystyle \#(n)}$

Метрика слова d и, следовательно, множества зависят от порождающего множества T. Однако любые две такие метрики являются билипшицево эквивалентными в следующем смысле: для конечных симметричных порождающих множеств E , F существует положительная константа C такая, что ${\displaystyle B_{n}(G,T)}$

${\displaystyle {1 \over C}\ d_{F}(x,y)\leq d_{E}(x,y)\leq C\ d_{F}(x,y).}$

Как непосредственное следствие этого неравенства получаем, что скорость роста не зависит от выбора генераторного набора.

Полиномиальный и экспоненциальный рост

Если

${\displaystyle \#(n)\leq C(n^{k}+1)}$

для некоторых мы говорим, что G имеет полиномиальную скорость роста . Нижняя грань таких k's называется порядком полиномиального роста . Согласно теореме Громова , группа полиномиального роста является виртуально нильпотентной группой , т.е. она имеет нильпотентную подгруппу конечного индекса . В частности, порядок полиномиального роста должен быть натуральным числом и фактически . ${\displaystyle C,k<\infty }$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle \#(n)\sim n^{k_{0}}}$

Если для некоторых мы говорим, что G имеет экспоненциальный темп роста . Каждый конечно порождённый G имеет не более чем экспоненциальный рост, т.е. для некоторых мы имеем . ${\displaystyle \#(n)\geq a^{n}}$ ${\displaystyle a>1}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle \#(n)\leq b^{n}}$

Если растет медленнее любой экспоненциальной функции , то G имеет субэкспоненциальную скорость роста . Любая такая группа является аменабельной . ${\displaystyle \#(n)}$

Примеры

• Свободная группа конечного ранга имеет экспоненциальную скорость роста. ${\displaystyle k>1}$
• Конечная группа имеет постоянный рост, то есть полиномиальный рост порядка 0, и это включает в себя фундаментальные группы многообразий , универсальное покрытие которых компактно .
• Если M — замкнутое отрицательно искривленное риманово многообразие , то его фундаментальная группа имеет экспоненциальную скорость роста. Джон Милнор доказал это, используя тот факт, что словесная метрика на квазиизометрична универсальному покрытию M. ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$
• Свободная абелева группа имеет полиномиальную скорость роста порядка d . ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$
• Дискретная группа Гейзенберга имеет полиномиальную скорость роста порядка 4. Этот факт является частным случаем общей теоремы Хаймана Басса и Ива Гиварша, которая обсуждается в статье о теореме Громова . ${\displaystyle H_{3}}$
• Группа фонарщиков демонстрирует экспоненциальный рост.
• Существование групп с промежуточным ростом , т. е. субэкспоненциальным, но не полиномиальным, было открыто в течение многих лет. Вопрос был задан Милнором в 1968 году и окончательно получил положительный ответ Ростислава Григорчука в 1984 году. В этой области все еще есть открытые вопросы, и полная картина того, какие порядки роста возможны, а какие нет, отсутствует.
• Группы треугольников включают в себя бесконечное множество конечных групп (сферических, соответствующих сфере), три группы квадратичного роста (евклидовы, соответствующие евклидовой плоскости) и бесконечное множество групп экспоненциального роста (гиперболических, соответствующих гиперболической плоскости).

Смотрите также

• Связи с изопериметрическими неравенствами

Ссылки

• Милнор Дж. (1968). «Заметка о кривизне и фундаментальной группе». Журнал дифференциальной геометрии . 2 : 1–7. doi : 10.4310/jdg/1214501132 .
• Григорчук Р.И. (1984). «Степени роста конечно порождённых групп и теория инвариантных средних». Изв. АН СССР. Сер. матем. , 48 (5): 939–985.

Дальнейшее чтение

• Ростислав Григорчук и Игорь Пак (2006). «Группы промежуточного роста: введение для начинающих». arXiv : math.GR/0607384 .