h-вектор

В алгебраической комбинаторике h -вектор симплициального многогранника является фундаментальным инвариантом многогранника, который кодирует число граней различных размерностей и позволяет выразить уравнения Дена–Соммервилля в особенно простой форме. Характеристика множества h -векторов симплициальных многогранников была выдвинута Питером МакМалленом ^[1] и доказана Лу Биллерой и Карлом В. Ли ^{[2] [3]} и Ричардом Стэнли ^[4] ( g -теорема ). Определение h -вектора применимо к произвольным абстрактным симплициальным комплексам . g -гипотеза утверждала, что для симплициальных сфер все возможные h -векторы уже встречаются среди h -векторов границ выпуклых симплициальных многогранников. Это было доказано в декабре 2018 года Каримом Адипрасито . ^{[5] [6]}

Стэнли ввел обобщение h -вектора, торический h -вектор , который определен для произвольного ранжированного частично упорядоченного множества , и доказал, что для класса эйлеровых частично упорядоченных множеств уравнения Дена–Соммервилля продолжают выполняться. ^{[ необходима цитата ]} Другое, более комбинаторное обобщение h -вектора, которое было широко изучено, — это флаговый h -вектор ранжированного частично упорядоченного множества. Для эйлеровых частично упорядоченных множеств его можно более кратко выразить с помощью некоммутативного полинома от двух переменных, называемого cd -индексом .

Определение

Пусть Δ — абстрактный симплициальный комплекс размерности d − 1 с f _i i -мерными гранями и f ₋₁ = 1. Эти числа организованы в f -вектор Δ,

${\displaystyle f(\Delta )=(f_{-1},f_{0},\ldots ,f_{d-1}).}$

Важный особый случай возникает, когда Δ является границей d -мерного выпуклого многогранника.

Для k = 0, 1, …, d пусть

${\displaystyle h_{k}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {d-i}{k-i}}f_{i-1}.}$

Кортеж

${\displaystyle h(\Delta )=(h_{0},h_{1},\ldots ,h_{d})}$

называется h -вектором Δ. В частности, , , и , где — эйлерова характеристика . Вектор f и вектор h однозначно определяют друг друга через линейное соотношение ${\displaystyle h_{0}=1}$ ${\displaystyle h_{1}=f_{0}-d}$ ${\displaystyle h_{d}=(-1)^{d}(1-\chi (\Delta ))}$ ${\displaystyle \chi (\Delta )}$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{d}f_{i-1}(t-1)^{d-i}=\sum _{k=0}^{d}h_{k}t^{d-k},}$

откуда следует, что для , ${\displaystyle i=0,\dotsc ,d}$

${\displaystyle f_{i-1}=\sum _{k=0}^{i}{\binom {d-k}{i-k}}h_{k}.}$

В частности, . Пусть R = k [Δ] — кольцо Стенли–Райснера Δ. Тогда его ряд Гильберта–Пуанкаре можно выразить как ${\displaystyle f_{d-1}=h_{0}+h_{1}+\dotsb +h_{d}}$

${\displaystyle P_{R}(t)=\sum _{i=0}^{d}{\frac {f_{i-1}t^{i}}{(1-t)^{i}}}={\frac {h_{0}+h_{1}t+\cdots +h_{d}t^{d}}{(1-t)^{d}}}.}$

Это мотивирует определение h -вектора конечно порожденной положительно градуированной алгебры размерности Крулля d как числителя ее ряда Гильберта–Пуанкаре, записанного со знаменателем (1 −  t ) ^d .

Вектор h тесно связан с вектором h ^* для выпуклого решетчатого многогранника, см. многочлен Эрхарта .

Рекуррентное соотношение

Вектор можно вычислить из вектора, используя рекуррентное соотношение ${\displaystyle \textstyle h}$ ${\displaystyle (h_{0},h_{1},\dotsc ,h_{d})}$ ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle (f_{-1},f_{0},\dotsc ,f_{d-1})}$

${\displaystyle h_{0}^{i}=1,\qquad -1\leq i\leq d}$

${\displaystyle h_{i+1}^{i}=f_{i},\qquad -1\leq i\leq d-1}$

${\displaystyle h_{k}^{i}=h_{k}^{i-1}-h_{k-1}^{i-1},\qquad 1\leq k\leq i\leq d}$.

и, наконец , устанавливаем для . Для небольших примеров можно использовать этот метод для быстрого вычисления -векторов вручную путем рекурсивного заполнения элементов массива, похожего на треугольник Паскаля . Например, рассмотрим граничный комплекс октаэдра . -Вектор равен . Чтобы вычислить -вектор , постройте треугольный массив, сначала записав s по левому краю, а -вектор по правому краю. ${\displaystyle \textstyle h_{k}=h_{k}^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle 0\leq k\leq d}$ ${\displaystyle \textstyle h}$ ${\displaystyle \textstyle \Delta }$ ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle \Delta }$ ${\displaystyle \textstyle (1,6,12,8)}$ ${\displaystyle \textstyle h}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle d+2}$ ${\displaystyle \textstyle 1}$ ${\displaystyle \textstyle f}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&&&&1&&&\\&&&1&&6&&\\&&1&&&&12&\\&1&&&&&&8\\1&&&&&&&&0\end{matrix}}}$

(Мы устанавливаем только для того, чтобы сделать массив треугольным.) Затем, начиная сверху, заполняем каждую оставшуюся запись, вычитая ее верхнего левого соседа из ее верхнего правого соседа. Таким образом, мы генерируем следующий массив: ${\displaystyle f_{d}=0}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&&&&1&&&\\&&&1&&6&&\\&&1&&5&&12&\\&1&&4&&7&&8\\1&&3&&3&&1&&0\end{matrix}}}$

Элементы нижней строки (кроме последнего ) являются элементами -вектора . Следовательно, -вектор равен . ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \textstyle h}$ ${\displaystyle \textstyle h}$ ${\displaystyle \textstyle \Delta }$ ${\displaystyle \textstyle (1,3,3,1)}$

Торическийчас-вектор

Произвольному градуированному частично упорядоченному множеству P Стэнли связал пару многочленов f ( P , x ) и g ( P , x ). Их определение рекурсивно в терминах многочленов, связанных с интервалами [0, y ] для всех y ∈ P , y ≠ 1, рассматриваемых как ранжированные частично упорядоченные множества более низкого ранга (0 и 1 обозначают минимальный и максимальный элементы P ). Коэффициенты f ( P , x ) образуют торический h -вектор P . Когда P является эйлеровым частично упорядоченным множеством ранга d + 1 таким, что P − 1 является симплициальным, торический h -вектор совпадает с обычным h -вектором , построенным с использованием чисел f _i элементов P − 1 заданного ранга i + 1. В этом случае торический h -вектор P удовлетворяет уравнениям Дена–Соммервилля

${\displaystyle h_{k}=h_{d-k}.}$

Причиной для прилагательного "торический" является связь торического h -вектора с когомологиями пересечения некоторого проективного торического многообразия X , когда P является граничным комплексом рационального выпуклого многогранника. А именно, компоненты являются размерностями четных групп когомологий пересечения X :

${\displaystyle h_{k}=\dim _{\mathbb {Q} }\operatorname {IH} ^{2k}(X,\mathbb {Q} )}$

(нечетные группы когомологий пересечения X все равны нулю). Уравнения Дена–Соммервилля являются проявлением двойственности Пуанкаре в когомологиях пересечения X. Калле Кару доказал, что торический h -вектор многогранника является унимодальным, независимо от того, является ли многогранник рациональным или нет. ^[7]

Флагчас-вектор икомпакт-диск-индекс

Другое обобщение понятий f- вектора и h -вектора выпуклого многогранника было широко изучено. Пусть будет конечным градуированным посетом ранга n , так что каждая максимальная цепь в имеет длину n . Для любого , подмножества , пусть обозначает число цепей, в рангах которых состоит множество . Более формально, пусть ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left\{0,\ldots ,n\right\}}$ ${\displaystyle \alpha _{P}(S)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle rk:P\to \{0,1,\ldots ,n\}}$

будет ранговой функцией и пусть будет -ранговым выбранным подмножеством , которое состоит из элементов, ранг которых находится в : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle P_{S}=\{x\in P:rk(x)\in S\}.}$

Тогда — число максимальных цепей в и функция ${\displaystyle \alpha _{P}(S)}$ ${\displaystyle P_{S}}$

${\displaystyle S\mapsto \alpha _{P}(S)}$

называется флаговым f - вектором P. Функция

${\displaystyle S\mapsto \beta _{P}(S),\quad \beta _{P}(S)=\sum _{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}\alpha _{P}(S)}$

называется флагом h -вектором . По принципу включения-исключения , ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \alpha _{P}(S)=\sum _{T\subseteq S}\beta _{P}(T).}$

Флаговые f - и h -векторы уточняют обычные f - и h -векторы его порядкового комплекса : ^[8] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Delta (P)}$

${\displaystyle f_{i-1}(\Delta (P))=\sum _{|S|=i}\alpha _{P}(S),\quad h_{i}(\Delta (P))=\sum _{|S|=i}\beta _{P}(S).}$

Флаг h -вектор может быть отображен через полином от некоммутативных переменных a и b . Для любого подмножества {1,…, n } определите соответствующий моном от a и b , ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle u_{S}=u_{1}\cdots u_{n},\quad u_{i}=a{\text{ for }}i\notin S,u_{i}=b{\text{ for }}i\in S.}$

Тогда некоммутативная производящая функция для флагового h -вектора P определяется как

${\displaystyle \Psi _{P}(a,b)=\sum _{S}\beta _{P}(S)u_{S}.}$

Из соотношения между α _P ( S ) и β _P ( S ) некоммутативная производящая функция для флагового вектора f матрицы P имеет вид

${\displaystyle \Psi _{P}(a,a+b)=\sum _{S}\alpha _{P}(S)u_{S}.}$

Маргарет Байер и Луис Биллера определили наиболее общие линейные соотношения , которые выполняются между компонентами флагового вектора h эйлерова частично упорядоченного множества P. ^[9]

Файн заметил элегантный способ сформулировать эти соотношения : существует некоммутативный многочлен Φ _P ( c , d ), называемый cd -индексом P , такой, что

${\displaystyle \Psi _{P}(a,b)=\Phi _{P}(a+b,ab+ba).}$

Стэнли доказал, что все коэффициенты cd -индекса граничного комплекса выпуклого многогранника неотрицательны. Он предположил, что это явление положительности сохраняется для более общего класса эйлеровых частично упорядоченных множеств, которые Стэнли называет комплексами Горенштейна* и которые включают симплициальные сферы и полные веера. Эту гипотезу доказал Калле Кару. ^[10] Комбинаторное значение этих неотрицательных коэффициентов (ответ на вопрос «что они считают?») остается неясным.

Ссылки

1. МакМаллен, Питер (1971), «Число граней симплициальных многогранников», Israel Journal of Mathematics , 9 (4): 559–570, doi :10.1007/BF02771471, MR  0278183, S2CID  92984501.
2. Биллера, Луис ; Ли, Карл (1980), «Достаточность условий МакМаллена для f-векторов симплициальных многогранников», Бюллетень Американского математического общества , 2 (1): 181–185, doi : 10.1090/s0273-0979-1980-14712-6 , MR  0551759.
3. Биллера, Луис ; Ли, Карл (1981), «Доказательство достаточности условий МакМаллена для f-векторов симплициальных выпуклых многогранников», Журнал комбинаторной теории, Серия A , 31 (3): 237–255, doi : 10.1016/0097-3165(81)90058-3.
4. Стэнли, Ричард (1980), «Число граней симплициального выпуклого многогранника», Advances in Mathematics , 35 (3): 236–238, doi : 10.1016/0001-8708(80)90050-X , MR  0563925.
5. Калай, Гил (25.12.2018). «Удивительно: Карим Адипрасито доказал g-гипотезу для сфер!». Комбинаторика и многое другое . Получено 12.06.2019 .
6. Адипрасито, Карим (2018-12-26). «Комбинаторные теоремы Лефшеца за пределами положительности». arXiv : 1812.10454v3 [math.CO].
7. Кару, Калле (1 августа 2004 г.). «Жесткая теорема Лефшеца для нерациональных многогранников». Математические изобретения . 157 (2): 419–447. arXiv : math/0112087 . Бибкод : 2004InMat.157..419K. дои : 10.1007/s00222-004-0358-3. ISSN  1432-1297. S2CID  15896309.
8. Стэнли, Ричард (1979), «Сбалансированные комплексы Коэна-Маколея», Труды Американского математического общества , 249 (1): 139–157, doi : 10.2307/1998915 , JSTOR  1998915.
9. Байер, Маргарет М. и Биллера, Луис Дж. (1985), «Обобщенные соотношения Дена-Соммервилля для многогранников, сфер и эйлеровых частично упорядоченных множеств», Inventiones Mathematicae 79 : 143-158. doi:10.1007/BF01388660.
10. Кару, Калле (2006), « CD -индекс вееров и посетов», Compositio Mathematica , 142 (3): 701–718, doi : 10.1112/S0010437X06001928 , MR  2231198.

Дальнейшее чтение

• Стэнли, Ричард (1996), Комбинаторика и коммутативная алгебра , Progress in Mathematics, т. 41 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN 0-8176-3836-9.
• Стэнли, Ричард (1997), Перечислительная комбинаторика, т. 1, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55309-1.