Jyā , koṭi-jyā и utkrama-jyā — три тригонометрические функции, введенные индийскими математиками и астрономами. Самый ранний известный индийский трактат, содержащий ссылки на эти функции, — Surya Siddhanta . [1] Это функции дуг окружностей, а не функции углов. Jyā и koti-jyā тесно связаны с современными тригонометрическими функциями синуса и косинуса . Фактически, происхождение современных терминов « синус » и «косинус» восходит к санскритским словам jyā и koti-jyā. [1]
Пусть «дуга AB» обозначает дугу , два конца которой — A и B окружности с центром O. Если перпендикуляр BM опущен из B в OA, то:
Если радиус окружности равен R , а длина дуги AB равна s , то угол, образуемый дугой AB в точке O, измеренный в радианах, равен θ = s / R. Три индийские функции связаны с современными тригонометрическими функциями следующим образом:
Дуга окружности подобна луку и поэтому называется dhanu или chāpa , что на санскрите означает «лук». Прямая линия, соединяющая два конца дуги окружности, подобна тетиве лука, и эта линия является хордой окружности. Эта хорда называется jyā , что на санскрите означает «тетива лука», предположительно переводя χορδή Гиппарха с тем же значением [ необходима цитата ] . Слово jīvá также используется как синоним jyā в геометрической литературе. [2] В какой-то момент индийские астрономы и математики поняли, что вычисления будут более удобными, если использовать половины хорд вместо полных хорд и связать полухорды с половинами дуг. [1] [3] Полухорды назывались ardha-jyā s или jyā-ardha s. Эти термины снова были сокращены до jyā путем опускания определителя ardha, который означал «половина».
Санскритское слово koṭi имеет значение «точка, острие», а конкретно « изогнутый конец дуги ». В тригонометрии оно стало обозначать «дополнение дуги к 90°». Таким образом, koṭi-jyā — это « jyā дополнительной дуги». В индийских трактатах, особенно в комментариях, koṭi-jyā часто сокращается до kojyā . Термин koṭi также обозначает «сторону прямоугольного треугольника». Таким образом, koṭi-jyā может также означать другой катет прямоугольного треугольника, первый катет — jyā . [ необходимо разъяснение ] [1]
Utkrama означает «перевернутый», таким образом utkrama-jyā означает «перевернутый хорд». Табличные значения utkrama-jyā получены из табличных значений jyā путем вычитания элементов из радиуса в обратном порядке. [ необходимо разъяснение ] Это на самом деле [ необходимо разъяснение ] стрела между луком и тетивой, и поэтому ее также называют bāṇa , iṣu или śara , что означает «стрела». [1]
Дуга окружности, которая стягивает угол в 90° в центре, называется vritta-pāda (квадрат окружности). Каждый знак зодиака определяет дугу в 30°, а три последовательных знака зодиака определяют vritta-pāda . Jyā vritta -pāda — это радиус окружности. Индийские астрономы ввели термин tri-jyā для обозначения радиуса окружности основания, термин tri-jyā указывает на « jyā трех знаков». Радиус также называется vyāsārdha , viṣkambhārdha , vistarārdha и т. д., все они означают «полудиаметр». [1]
Согласно одному соглашению, функции jyā и koti-jyā обозначаются соответственно как «Rsin» и «Rcos», рассматриваемые как отдельные слова. [1] Другие обозначают jyā и koti-jyā соответственно как «Sin» и «Cos» (первые буквы являются заглавными, в отличие от первых букв, которые являются строчными в обычных функциях синуса и косинуса). [3]
Происхождение современного термина синус прослеживается от санскритского слова jyā [4] [5] или, точнее, от его синонима jīvá . Этот термин был принят в средневековой исламской математике , транслитерирован на арабском языке как jība (جيب). Поскольку арабский язык пишется без кратких гласных — и как заимствование долгая гласная здесь обозначается как yāʾ — это было интерпретировано как омограф jaib , jayb (جيب), что означает «грудь». Латинский переводчик текста XII века использовал латинский эквивалент для «груди», sinus . [6] Когда jyā стал sinus , было высказано предположение, что по аналогии kojyā стал co-sinus . Однако в ранних средневековых текстах косинус называется completi sinus («синус дополнения»), что предполагает, что сходство с kojyā является случайным. [7]