теория Ходжа

Математическая теория многообразий

В математике теория Ходжа , названная в честь В. В. Д. Ходжа , представляет собой метод изучения групп когомологий гладкого многообразия M с использованием уравнений в частных производных . Ключевое наблюдение состоит в том, что при заданной римановой метрике на M каждый класс когомологий имеет канонического представителя — дифференциальную форму , которая исчезает под действием оператора Лапласа метрики. Такие формы называются гармоническими .

Теория была разработана Ходжем в 1930-х годах для изучения алгебраической геометрии и основывалась на работе Жоржа де Рама по когомологиям де Рама . Она имеет основные приложения в двух ситуациях — римановых многообразиях и кэлеровых многообразиях . Основная мотивация Ходжа, изучение комплексных проективных многообразий , охватывается последним случаем. Теория Ходжа стала важным инструментом в алгебраической геометрии, особенно благодаря ее связи с изучением алгебраических циклов .

Хотя теория Ходжа по сути зависит от действительных и комплексных чисел , ее можно применять к вопросам теории чисел . В арифметических ситуациях инструменты p -адической теории Ходжа дали альтернативные доказательства или аналогичные результаты классической теории Ходжа.

История

Область алгебраической топологии все еще зарождалась в 1920-х годах. Она еще не разработала понятие когомологии , и взаимодействие между дифференциальными формами и топологией было плохо изучено. В 1928 году Эли Картан опубликовал идею « О числах бетти пространств закрытых групп» , в которой он предположил — но не доказал — что дифференциальные формы и топология должны быть связаны. Прочитав ее, Жорж де Рам, тогда еще студент, был вдохновлен. В своей диссертации 1931 года он доказал результат, который теперь называется теоремой де Рама . По теореме Стокса интегрирование дифференциальных форм вдоль сингулярных цепей индуцирует для любого компактного гладкого многообразия M билинейное спаривание, как показано ниже:

${\displaystyle H_{k}(M;\mathbf {R} )\times H_{\text{dR}}^{k}(M;\mathbf {R} )\to \mathbf {R} .}$

Как изначально было заявлено, ^[1] теорема де Рама утверждает, что это совершенное спаривание , и что, следовательно, каждый из членов в левой части является векторным пространством, дуальным друг другу. На современном языке теорема де Рама чаще формулируется как утверждение, что сингулярные когомологии с действительными коэффициентами изоморфны когомологиям де Рама:

${\displaystyle H_{\text{sing}}^{k}(M;\mathbf {R} )\cong H_{\text{dR}}^{k}(M;\mathbf {R} ).}$

Исходное утверждение де Рама является следствием того факта, что над действительными числами сингулярные когомологии являются двойственными сингулярным гомологиям.

Отдельно в статье 1927 года Соломон Лефшец использовал топологические методы для передоказательства теорем Римана . ^[2] На современном языке, если ω ₁ и ω ₂ являются голоморфными дифференциалами на алгебраической кривой C , то их клиновое произведение обязательно равно нулю, поскольку C имеет только одну комплексную размерность; следовательно, чашечное произведение их классов когомологий равно нулю, и когда это сделано явно, это дало Лефшецу новое доказательство соотношений Римана . Кроме того, если ω является ненулевым голоморфным дифференциалом, то является положительной формой объема, из которой Лефшец смог повторно вывести неравенства Римана. В 1929 году В. В. Д. Ходж узнал о статье Лефшеца. Он сразу же заметил, что аналогичные принципы применимы к алгебраическим поверхностям. Точнее, если ω — ненулевая голоморфная форма на алгебраической поверхности, то положительно, поэтому произведение чашек и должно быть ненулевым. Из этого следует, что сама ω должна представлять ненулевой класс когомологий, поэтому ее периоды не могут быть все нулевыми. Это решило вопрос Севери. ^[3] ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\,\omega \wedge {\bar {\omega }}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\,\omega \wedge {\bar {\omega }}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$

Ходж считал, что эти методы должны быть применимы и к многообразиям более высоких размерностей. Его коллега Питер Фрейзер порекомендовал ему диссертацию де Рама. Читая диссертацию де Рама, Ходж понял, что действительная и мнимая части голоморфной 1-формы на римановой поверхности в некотором смысле двойственны друг другу. Он подозревал, что должна быть похожая двойственность в более высоких размерностях; эта двойственность теперь известна как оператор звезды Ходжа . Он также предположил, что каждый класс когомологий должен иметь выдающегося представителя со свойством, что и он, и его двойственный класс исчезают под действием оператора внешней производной; теперь они называются гармоническими формами. Ходж посвятил большую часть 1930-х годов этой проблеме. Его самая ранняя опубликованная попытка доказательства появилась в 1933 году, но он считал ее «крайне грубой». Герман Вейль , один из самых блестящих математиков той эпохи, оказался неспособным определить, было ли доказательство Ходжа правильным или нет. В 1936 году Ходж опубликовал новое доказательство. Хотя Ходж считал новое доказательство намного лучше, Боненбласт обнаружил серьезный недостаток. Независимо друг от друга Герман Вейль и Кунихико Кодаира модифицировали доказательство Ходжа, чтобы исправить ошибку. Это установило искомый Ходжем изоморфизм между гармоническими формами и классами когомологий.

Оглядываясь назад, становится ясно, что технические трудности в теореме существования на самом деле не требовали никаких существенных новых идей, а лишь осторожного расширения классических методов. Настоящая новизна, которая была главным вкладом Ходжа, заключалась в концепции гармонических интегралов и их значимости для алгебраической геометрии. Этот триумф концепции над техникой напоминает похожий эпизод в работе великого предшественника Ходжа Бернхарда Римана.

— М. Ф. Атья , Уильям Валланс Дуглас Ходж, 17 июня 1903 г. – 7 июля 1975 г., Биографические воспоминания членов Королевского общества , т. 22, 1976 г., стр. 169–192.

Теория Ходжа для реальных многообразий

Когомологии де Рама

Теория Ходжа ссылается на комплекс де Рама . Пусть M — гладкое многообразие . Для неотрицательного целого числа k пусть Ω ^k ( M ) — вещественное векторное пространство гладких дифференциальных форм степени k на M. Комплекс де Рама — это последовательность дифференциальных операторов

${\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M)\xrightarrow {d_{0}} \Omega ^{1}(M)\xrightarrow {d_{1}} \cdots \xrightarrow {d_{n-1}} \Omega ^{n}(M)\xrightarrow {d_{n}} 0,}$

где d _k обозначает внешнюю производную на Ω ^k ( M ). Это коцепной комплекс в том смысле, что d _{k +1} ∘ d _k = 0 (также пишется d ² = 0 ). Теорема де Рама гласит, что сингулярные когомологии M с действительными коэффициентами вычисляются комплексом де Рама:

${\displaystyle H^{k}(M,\mathbf {R} )\cong {\frac {\ker d_{k}}{\operatorname {im} d_{k-1}}}.}$

Операторы в теории Ходжа

Выберем риманову метрику g на M и вспомним, что:

${\displaystyle \Omega ^{k}(M)=\Gamma \left(\bigwedge \nolimits ^{k}T^{*}(M)\right).}$

Метрика дает внутренний продукт на каждом волокне путем расширения (см. матрицу Грама ) внутреннего продукта, индуцированного g из каждого кокасательного волокна, до его внешнего продукта : . Внутренний продукт затем определяется как интеграл поточечного внутреннего продукта данной пары k -форм над M относительно формы объема, связанной с g . Явно, учитывая некоторые, мы имеем ${\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{k}(T_{p}^{*}(M))}$ ${\displaystyle T_{p}^{*}(M)}$ ${\displaystyle k^{th}}$ ${\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{k}(T_{p}^{*}(M))}$ ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \omega ,\tau \in \Omega ^{k}(M)}$

${\displaystyle (\omega ,\tau )\mapsto \langle \omega ,\tau \rangle :=\int _{M}\langle \omega (p),\tau (p)\rangle _{p}\sigma .}$

Естественно, указанное выше скалярное произведение индуцирует норму, когда эта норма конечна на некоторой фиксированной k -форме:

${\displaystyle \langle \omega ,\omega \rangle =\|\omega \|^{2}<\infty ,}$

тогда подынтегральное выражение представляет собой действительно значную квадратично интегрируемую функцию на M , вычисленную в заданной точке через ее поточечные нормы,

${\displaystyle \|\omega (p)\|_{p}:M\to \mathbf {R} \in L^{2}(M).}$

Рассмотрим сопряженный оператор d относительно этих скалярных произведений :

${\displaystyle \delta :\Omega ^{k+1}(M)\to \Omega ^{k}(M).}$

Тогда Лапласиан на формах определяется как

${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d.}$

Это линейный дифференциальный оператор второго порядка, обобщающий лапласиан для функций на R ⁿ . По определению, форма на M является гармоничной , если ее лапласиан равен нулю:

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)=\{\alpha \in \Omega ^{k}(M)\mid \Delta \alpha =0\}.}$

Лапласиан впервые появился в математической физике . В частности, уравнения Максвелла говорят, что электромагнитное поле в вакууме, т.е. при отсутствии каких-либо зарядов, представляется 2-формой F такой, что Δ F = 0 в пространстве-времени, рассматриваемом как пространство Минковского размерности 4.

Каждая гармоническая форма α на замкнутом римановом многообразии замкнута , что означает, что dα = 0. В результате существует каноническое отображение . Теорема Ходжа утверждает, что является изоморфизмом векторных пространств. ^[4] Другими словами, каждый действительный класс когомологий на M имеет единственного гармонического представителя. Конкретно, гармонический представитель является единственной замкнутой формой минимальной нормы L ² , которая представляет данный класс когомологий. Теорема Ходжа была доказана с использованием теории эллиптических уравнений в частных производных, причем первоначальные аргументы Ходжа были дополнены Кодаирой и другими в 1940-х годах. ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)\to H^{k}(M,\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \varphi }$

Например, теорема Ходжа подразумевает, что группы когомологий с действительными коэффициентами замкнутого многообразия конечномерны . (Правда, есть и другие способы доказать это.) Действительно, операторы Δ являются эллиптическими, а ядро ​​эллиптического оператора на замкнутом многообразии всегда является конечномерным векторным пространством. Другим следствием теоремы Ходжа является то, что риманова метрика на замкнутом многообразии M определяет действительнозначное скалярное произведение на интегральных когомологиях M по модулю кручения . Из этого следует, например, что образ группы изометрий M в общей линейной группе GL( H ^∗ ( M , Z )) конечен (потому что группа изометрий решетки конечна ).

Вариантом теоремы Ходжа является разложение Ходжа . Оно гласит, что существует единственное разложение любой дифференциальной формы ω на замкнутом римановом многообразии в виде суммы трех частей в виде

${\displaystyle \omega =d\alpha +\delta \beta +\gamma ,}$

в котором γ является гармоническим: Δ γ = 0. [ ^5] В терминах метрики L ² на дифференциальных формах это дает ортогональное разложение в прямую сумму :

${\displaystyle \Omega ^{k}(M)\cong \operatorname {im} d_{k-1}\oplus \operatorname {im} \delta _{k+1}\oplus {\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M).}$

Разложение Ходжа является обобщением разложения Гельмгольца для комплекса де Рама.

Теория Ходжа эллиптических комплексов

Атья и Ботт определили эллиптические комплексы как обобщение комплекса де Рама. Теорема Ходжа распространяется на эту установку следующим образом. Пусть будут векторными расслоениями , снабженными метриками, на замкнутом гладком многообразии M с формой объема  dV . Предположим, что ${\displaystyle E_{0},E_{1},\ldots ,E_{N}}$

${\displaystyle L_{i}:\Gamma (E_{i})\to \Gamma (E_{i+1})}$

являются линейными дифференциальными операторами, действующими на C ∞ сечениях этих векторных расслоений, и что индуцированная последовательность

${\displaystyle 0\to \Gamma (E_{0})\to \Gamma (E_{1})\to \cdots \to \Gamma (E_{N})\to 0}$

— эллиптический комплекс. Введем прямые суммы:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {E}}^{\bullet }&=\bigoplus \nolimits _{i}\Gamma (E_{i})\\L&=\bigoplus \nolimits _{i}L_{i}:{\mathcal {E}}^{\bullet }\to {\mathcal {E}}^{\bullet }\end{aligned}}}$

и пусть L ^∗ будет сопряженным к L . Определим эллиптический оператор Δ = LL ^∗ + L ^∗ L . Как и в случае де Рама, это дает векторное пространство гармонических сечений

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{e\in {\mathcal {E}}^{\bullet }\mid \Delta e=0\}.}$

Пусть — ортогональная проекция, а G — оператор Грина для Δ. Теорема Ходжа утверждает следующее: ^[6] ${\displaystyle H:{\mathcal {E}}^{\bullet }\to {\mathcal {H}}}$

1. H и G хорошо определены.
2. Ид = Н + Δ Г = Н + Г Δ
3. ЛГ = ГЛ , Л ^∗ Г = ГЛ ^∗
4. Когомологии комплекса канонически изоморфны пространству гармонических сечений, в том смысле, что каждый класс когомологий имеет единственного гармонического представителя. ${\displaystyle H(E_{j})\cong {\mathcal {H}}(E_{j})}$

В этой ситуации также существует разложение Ходжа, обобщающее приведенное выше утверждение для комплекса де Рама.

Теория Ходжа для комплексных проективных многообразий

Пусть X — гладкое комплексное проективное многообразие, что означает, что X — замкнутое комплексное подмногообразие некоторого комплексного проективного пространства CP ^N . По теореме Чжоу комплексные проективные многообразия автоматически являются алгебраическими: они определяются обращением в нуль однородных полиномиальных уравнений на CP ^N . Стандартная риманова метрика на CP ^N индуцирует риманову метрику на X , которая имеет сильную совместимость с комплексной структурой, делая X кэлеровым многообразием .

Для комплексного многообразия X и натурального числа r каждая C ∞ r -форма на X (с комплексными коэффициентами) может быть записана единственным образом как сумма форм типа ( p , q ) с p + q = r , то есть форм, которые локально могут быть записаны как конечная сумма членов, причем каждый член принимает вид

${\displaystyle f\,dz_{1}\wedge \cdots \wedge dz_{p}\wedge d{\overline {w_{1}}}\wedge \cdots \wedge d{\overline {w_{q}}}}$

с функцией f C ^{∞ и} голоморфными функциями z _s и w _s . На кэлеровом многообразии компоненты ( p , q ) гармонической формы снова являются гармоническими. Следовательно, для любого компактного кэлерова многообразия X теорема Ходжа дает разложение когомологий X с комплексными коэффициентами в виде прямой суммы комплексных векторных пространств: ^[7]

${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {C} )=\bigoplus _{p+q=r}H^{p,q}(X).}$

Это разложение фактически не зависит от выбора метрики Кэлера (но для общего компактного комплексного многообразия аналогичного разложения не существует). С другой стороны, разложение Ходжа действительно зависит от структуры X как комплексного многообразия, тогда как группа H ^r ( X , C ) зависит только от базового топологического пространства X .

Взятие клиновых произведений этих гармонических представителей соответствует чашечному произведению в когомологиях, поэтому чашечное произведение с комплексными коэффициентами совместимо с разложением Ходжа:

${\displaystyle \smile \colon H^{p,q}(X)\times H^{p',q'}(X)\rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).}$

Часть H ^{p , q} ( X ) разложения Ходжа можно отождествить с когерентной группой когомологий пучка , которая зависит только от X как комплексного многообразия (а не от выбора метрики Кэлера): ^[8]

${\displaystyle H^{p,q}(X)\cong H^{q}(X,\Omega ^{p}),}$

где Ω ^p обозначает пучок голоморфных p -форм на X. Например, H ^{p , 0} ( X ) — это пространство голоморфных p -форм на X . (Если X проективен, теорема Серра GAGA подразумевает, что голоморфная p -форма на всех X на самом деле является алгебраической.)

С другой стороны, интеграл можно записать как произведение чашек класса гомологии Z ^{[ необходимо разъяснение ]} и класса когомологии, представленного . По двойственности Пуанкаре класс гомологии Z является двойственным классу когомологии, который мы назовем [ Z ], и произведение чашек можно вычислить, взяв произведение чашек [ Z ] и α и увенчав его фундаментальным классом X. ${\displaystyle \alpha }$

Поскольку [ Z ] является когомологическим классом, он имеет разложение Ходжа. Согласно вычислению, которое мы сделали выше, если мы наложим этот класс на любой класс типа , то получим ноль. Поскольку , мы заключаем, что [ Z ] должен лежать в . ${\displaystyle (p,q)\neq (k,k)}$ ${\displaystyle H^{2n}(X,\mathbb {C} )=H^{n,n}(X)}$ ${\displaystyle H^{n-k,n-k}(X)}$

Число Ходжа h ^{p , q} ( X ) означает размерность комплексного векторного пространства H ^{p . q} ( X ). Это важные инварианты гладкого комплексного проективного многообразия; они не меняются, когда комплексная структура X непрерывно изменяется, и все же они в общем случае не являются топологическими инвариантами. Среди свойств чисел Ходжа есть симметрия Ходжа h ^{p , q} = h ^{q , p} (потому что H ^{p , q} ( X ) является комплексно сопряженным H ^{q , p} ( X )) и h ^{p , q} = h ^{n − p , n − q} (по двойственности Серра ).

Числа Ходжа гладкого комплексного проективного многообразия (или компактного кэлерова многообразия) можно перечислить в ромбе Ходжа (показанном в случае комплексной размерности 2):

Например, каждая гладкая проективная кривая рода g имеет ромб Ходжа

Другой пример: каждая поверхность K3 имеет алмаз Ходжа.

Числа Бетти для X являются суммой чисел Ходжа в данной строке. Основное применение теории Ходжа состоит в том, что нечетные числа Бетти b _{2 a +1} гладкого комплексного проективного многообразия (или компактного кэлерова многообразия) являются четными по симметрии Ходжа. Это неверно для компактных комплексных многообразий в общем случае, как показано на примере поверхности Хопфа , которая диффеоморфна S ¹ × S ^{3 и, следовательно} , имеет b ₁ = 1 .

«Пакет Кэлера» — это мощный набор ограничений на когомологии гладких комплексных проективных многообразий (или компактных кэлеровых многообразий), построенный на теории Ходжа. Результаты включают теорему Лефшеца о гиперплоскости , жесткую теорему Лефшеца и билинейные соотношения Ходжа-Римана . ^[9] Многие из этих результатов следуют из фундаментальных технических инструментов, которые могут быть доказаны для компактных кэлеровых многообразий с использованием теории Ходжа, включая тождества Кэлера и -лемму . ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

Теория Ходжа и ее расширения, такие как неабелева теория Ходжа, также накладывают сильные ограничения на возможные фундаментальные группы компактных кэлеровых многообразий.

Алгебраические циклы и гипотеза Ходжа

Пусть будет гладким комплексным проективным многообразием. Комплексное подмногообразие в коразмерности определяет элемент группы когомологий . Более того, полученный класс обладает особым свойством: его образ в комплексных когомологиях лежит в средней части разложения Ходжа, . Гипотеза Ходжа предсказывает обратное: каждый элемент , образ которого в комплексных когомологиях лежит в подпространстве, должен иметь положительное целое кратное, которое является -линейной комбинацией классов комплексных подмногообразий . (Такая линейная комбинация называется алгебраическим циклом на .) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle H^{p,p}(X)}$ ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H^{p,p}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Важным моментом является то, что разложение Ходжа представляет собой разложение когомологий с комплексными коэффициентами, которое обычно не получается из разложения когомологий с целыми (или рациональными) коэффициентами. В результате пересечение

${\displaystyle (H^{2p}(X,\mathbb {Z} )/{\text{torsion}})\cap H^{p,p}(X)\subseteq H^{2p}(X,\mathbb {C} )}$

может быть намного меньше всей группы , даже если число Ходжа велико. Короче говоря, гипотеза Ходжа предсказывает, что возможные «формы» комплексных подмногообразий (описываемых когомологиями) определяются структурой Ходжа ( комбинацией интегральных когомологий с разложением Ходжа комплексных когомологий). ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {Z} )/{\text{torsion}}}$ ${\displaystyle h^{p,p}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Теорема Лефшеца (1,1) утверждает, что гипотеза Ходжа верна для (даже в целочисленном смысле, то есть без необходимости в положительном целом кратном в утверждении). ${\displaystyle p=1}$

Структура Ходжа многообразия описывает интегралы алгебраических дифференциальных форм на по классам гомологии в . В этом смысле теория Ходжа связана с базовой проблемой исчисления : в общем случае не существует «формулы» для интеграла алгебраической функции . В частности, определенные интегралы алгебраических функций, известные как периоды , могут быть трансцендентными числами . Трудность гипотезы Ходжа отражает отсутствие понимания таких интегралов в целом. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Пример: Для гладкой комплексной проективной поверхности K3 группа изоморфна , и изоморфна . Их пересечение может иметь ранг где угодно между 1 и 20; этот ранг называется числом Пикара . Пространство модулей всех проективных поверхностей K3 имеет счетно бесконечное множество компонент, каждая из которых имеет комплексную размерность 19. Подпространство поверхностей K3 с числом Пикара имеет размерность . ^[10] (Таким образом, для большинства проективных поверхностей K3 пересечение с изоморфно , но для «специальных» поверхностей K3 пересечение может быть больше.) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{22}}$ ${\displaystyle H^{1,1}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{20}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 20-a}$ ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H^{1,1}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Этот пример предполагает несколько различных ролей, которые теория Ходжа играет в комплексной алгебраической геометрии. Во-первых, теория Ходжа дает ограничения на то, какие топологические пространства могут иметь структуру гладкого комплексного проективного многообразия. Во-вторых, теория Ходжа дает информацию о пространстве модулей гладких комплексных проективных многообразий с заданным топологическим типом. Наилучший случай — когда выполняется теорема Торелли , что означает, что многообразие определяется с точностью до изоморфизма своей структурой Ходжа. Наконец, теория Ходжа дает информацию о группе Чжоу алгебраических циклов на заданном многообразии. Гипотеза Ходжа касается образа отображения цикла из групп Чжоу в обычные когомологии, но теория Ходжа также дает информацию о ядре отображения цикла, например, с использованием промежуточных якобианов , которые строятся из структуры Ходжа.

Обобщения

Смешанная теория Ходжа , разработанная Пьером Делинем , распространяет теорию Ходжа на все комплексные алгебраические многообразия, не обязательно гладкие или компактные. А именно, когомологии любого комплексного алгебраического многообразия имеют более общий тип разложения — смешанную структуру Ходжа .

Другое обобщение теории Ходжа на сингулярные многообразия обеспечивается пересечением гомологий . А именно, Морихико Сайто показал, что пересечения гомологий любого комплексного проективного многообразия (не обязательно гладкого) имеют чистую структуру Ходжа, как и в гладком случае. Фактически, весь пакет Кэлера распространяется на пересечения гомологий.

Фундаментальным аспектом комплексной геометрии является то, что существуют непрерывные семейства неизоморфных комплексных многообразий (которые все диффеоморфны как вещественные многообразия). Понятие Филлипа Гриффитса об изменении структуры Ходжа описывает, как структура Ходжа гладкого комплексного проективного многообразия изменяется при изменении. В геометрических терминах это равносильно изучению отображения периодов , связанного с семейством многообразий. Теория модулей Ходжа Сайто является обобщением. Грубо говоря, смешанный модуль Ходжа на многообразии представляет собой пучок смешанных структур Ходжа над , как это возникло бы из семейства многообразий, которые не обязательно должны быть гладкими или компактными. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• Теория потенциала
• Серр двойственность
• Разложение Гельмгольца
• Теорема о локальном инвариантном цикле
• теория Аракелова
• Теория Ходжа-Аракелова
• Лемма ddbar , ключевое следствие теории Ходжа для компактных кэлеровых многообразий.

Примечания

1. Чаттерджи, Шришти; Оджангурен, Мануэль (2010), Взгляд на эпоху де Рама (PDF) , рабочий документ, EPFL , заархивировано из оригинала (PDF) 2023-12-04 , извлечено 2018-10-15
2. Лефшец, Соломон (1927). «Соответствия между алгебраическими кривыми». Ann. of Math. (2) . 28 (1): 342–354. doi :10.2307/1968379. JSTOR  1968379.
3. Майкл Атья , Уильям Валланс Дуглас Ходж, 17 июня 1903 г. – 7 июля 1975 г. , Biogr. Mem. Fellows R. Soc., 1976, т. 22, стр. 169–192.
4. Уорнер (1983), Теорема 6.11.
5. Уорнер (1983), Теорема 6.8.
6. Уэллс (2008), Теорема IV.5.2.
7. Хайбрехтс (2005), Следствие 3.2.12.
8. Хайбрехтс (2005), Следствие 2.6.21.
9. Huybrechts (2005), разделы 3.3 и 5.2; Griffiths & Harris (1994), разделы 0.7 и 1.2; Voisin (2007), т. 1, гл. 6 и т. 2, гл. 1.
10. Гриффитс и Харрис (1994), стр. 594.

Ссылки

• Арапура, Дону, Вычисление некоторых чисел Ходжа (PDF)
• Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джозеф (1994) [1978]. Принципы алгебраической геометрии . Библиотека Wiley Classics. Wiley Interscience. ISBN 0-471-05059-8. МР  0507725.
• Ходж, WVD (1941), Теория и применение гармонических интегралов , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-35881-1, МР  0003947
• Хайбрехтс, Дэниел (2005), Сложная геометрия: введение , Springer , ISBN 3-540-21290-6, МР  2093043
• Voisin, Claire (2007) [2002], Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия (2 тома) , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511615344, ISBN 978-0-521-71801-1, г-н  1967689
• Уорнер, Фрэнк (1983) [1971], Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Springer , ISBN 0-387-90894-3, МР  0722297
• Уэллс-младший, Рэймонд О. (2008) [1973], Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях , Graduate Texts in Mathematics, т. 65 (3-е изд.), Springer , doi :10.1007/978-0-387-73892-5, hdl : 10338.dmlcz/141778 , ISBN 978-0-387-73891-8, г-н  2359489

• Код Python для вычисления чисел Ходжа гиперповерхностей на GitHub