Однородное дифференциальное уравнение

Тип обыкновенного дифференциального уравнения

Дифференциальное уравнение может быть однородным в одном из двух отношений.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно записать

${\displaystyle f(x,y)\,dy=g(x,y)\,dx,}$

где f и g — однородные функции одинаковой степени x и y . ^[1] В этом случае замена переменной y = ux приводит к уравнению вида

${\displaystyle {\frac {dx}{x}}=h(u)\,du,}$

которую легко решить путем объединения двух членов.

В противном случае дифференциальное уравнение однородно, если оно является однородной функцией неизвестной функции и ее производных. В случае линейных дифференциальных уравнений это означает, что нет постоянных членов. Решения любого линейного обыкновенного дифференциального уравнения любого порядка могут быть выведены путем интегрирования из решения однородного уравнения, полученного путем удаления постоянного члена.

История

Термин «однородный» впервые был применен к дифференциальным уравнениям Иоганном Бернулли в разделе 9 его статьи 1726 года «De integraionibus aequationum Differentium» («Об интегрировании дифференциальных уравнений»). ^[2]

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка в виде:

${\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0}$

является однородным типом, если обе функции M ( x , y ) и N ( x , y ) являются однородными функциями одной и той же степени n . ^[3] То есть, умножая каждую переменную на параметр λ , мы находим

${\displaystyle M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)\quad {\text{and}}\quad N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y)\,.}$

Таким образом,

${\displaystyle {\frac {M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}\,.}$

Метод решения

В частном мы можем положить t = ⁠ ${\textstyle {\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}}$1/х⁠ чтобы упростить это частное до функции f одной переменной ⁠у/х⁠ :

${\displaystyle {\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x)\,.}$

То есть

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-f(y/x).}$

Вводим замену переменных y = ux ; дифференцируем, используя правило произведения :

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u.}$

Это преобразует исходное дифференциальное уравнение в разделимую форму

${\displaystyle x{\frac {du}{dx}}=-f(u)-u,}$

или

${\displaystyle {\frac {1}{x}}{\frac {dx}{du}}={\frac {-1}{f(u)+u}},}$

которое теперь можно интегрировать напрямую: ln x равен первообразной правой части (см. обыкновенное дифференциальное уравнение ).

Особый случай

Дифференциальное уравнение первого порядка вида ( a , b , c , e , f , g — все константы)

${\displaystyle \left(ax+by+c\right)dx+\left(ex+fy+g\right)dy=0}$

где af ≠ be можно преобразовать в однородный тип путем линейного преобразования обеих переменных ( α и β — константы):

${\displaystyle t=x+\alpha ;\;\;z=y+\beta \,.}$

Однородные линейные дифференциальные уравнения

Линейное дифференциальное уравнение однородно , если оно является однородным линейным уравнением относительно неизвестной функции и ее производных. Отсюда следует, что если φ ( x ) является решением, то решением является и cφ ( x ) для любой (ненулевой) константы c . Для того чтобы это условие выполнялось, каждый ненулевой член линейного дифференциального уравнения должен зависеть от неизвестной функции или любой ее производной. Линейное дифференциальное уравнение, которое не удовлетворяет этому условию, называется неоднородным.

Линейное дифференциальное уравнение можно представить как линейный оператор, действующий на y ( x ) , где x обычно является независимой переменной, а y — зависимой переменной. Таким образом, общая форма линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид

${\displaystyle L(y)=0}$

где L — дифференциальный оператор , сумма производных (определяющая «нулевую производную» как исходную, недифференцированную функцию), каждая из которых умножена на функцию f _i от x :

${\displaystyle L=\sum _{i=0}^{n}f_{i}(x){\frac {d^{i}}{dx^{i}}}\,,}$

где f _i могут быть константами, но не все f _i могут быть равны нулю.

Например, следующее линейное дифференциальное уравнение является однородным:

${\displaystyle \sin(x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4{\frac {dy}{dx}}+y=0\,,}$

в то время как следующие два являются неоднородными:

${\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4x{\frac {dy}{dx}}+y=\cos(x)\,;}$

${\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-3x{\frac {dy}{dx}}+y=2\,.}$

Наличие постоянного члена является достаточным условием неоднородности уравнения, как в приведенном выше примере.

Смотрите также

• Разделение переменных

Примечания

1. Деннис Г. Зилл (15 марта 2012 г.). Первый курс дифференциальных уравнений с приложениями моделирования. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.
2. "De integraionibus aequationum Differentialium" . Комментарии Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae . 1 : 167–184. Июнь 1726 г.
3. С 1956 г., стр. 18.

Ссылки

• Бойс, Уильям Э.; ДиПрима, Ричард К. (2012), Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (10-е изд.), Wiley, ISBN 978-0470458310. (Это хороший вводный справочник по дифференциальным уравнениям.)
• Инс, Э. Л. (1956), Обыкновенные дифференциальные уравнения, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0486603490. (Это классический справочник по ОДУ, впервые опубликованный в 1926 году.)
• Андрей Д. Полянин; Валентин Ф. Зайцев (15 ноября 2017 г.). Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: точные решения, методы и задачи. CRC Press. ISBN 978-1-4665-6940-9.
• Мэтью Р. Болкинс; Джек Л. Голдберг; Мерл К. Поттер (5 ноября 2009 г.). Дифференциальные уравнения с линейной алгеброй. Oxford University Press. стр. 274–. ISBN 978-0-19-973666-9.

Внешние ссылки

• Однородные дифференциальные уравнения в MathWorld
• Wikibooks: Обыкновенные дифференциальные уравнения/Подстановка 1