Эффективные средние приближения

Метод аппроксимации свойств композиционного материала

В материаловедении приближения эффективной среды ( EMA ) или теория эффективной среды ( EMT ) относятся к аналитическому или теоретическому моделированию, которое описывает макроскопические свойства композитных материалов . EMA или EMT разрабатываются путем усреднения множественных значений компонентов, которые непосредственно составляют композитный материал. На уровне компонентов значения материалов различаются и неоднородны . Точный расчет многих значений компонентов практически невозможен. Однако были разработаны теории, которые могут производить приемлемые приближения, которые, в свою очередь, описывают полезные параметры, включая эффективную диэлектрическую проницаемость и проницаемость материалов в целом. В этом смысле приближения эффективной среды являются описаниями среды (композитного материала) на основе свойств и относительных долей его компонентов и выводятся из расчетов, ^{[1] [2]} и теории эффективной среды . ^[3] Существует две широко используемые формулы. ^[4]

Эффективная диэлектрическая и магнитная проницаемость являются усредненными диэлектрическими и магнитными характеристиками микронеоднородной среды. Они обе были выведены в квазистатическом приближении, когда электрическое поле внутри частицы смеси можно считать однородным. Поэтому эти формулы не могут описать эффект размера частиц. Было предпринято много попыток улучшить эти формулы.

Приложения

Существует много различных приближений эффективной среды, ^[5] каждое из которых более или менее точно в определенных условиях. Тем не менее, все они предполагают, что макроскопическая система однородна, и, что типично для всех теорий среднего поля, они не могут предсказать свойства многофазной среды вблизи порога перколяции из -за отсутствия в теории дальнодействующих корреляций или критических флуктуаций.

Рассматриваемыми свойствами обычно являются проводимость или диэлектрическая проницаемость ^[6] среды. Эти параметры взаимозаменяемы в формулах в целом ряде моделей из-за широкой применимости уравнения Лапласа. Задачи, выпадающие из этого класса, в основном относятся к области упругости и гидродинамики, что обусловлено тензорным характером эффективных констант среды более высокого порядка. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

EMA могут быть дискретными моделями, например, применяемыми к сетям резисторов, или теориями континуума, применяемыми к упругости или вязкости. Однако большинство современных теорий испытывают трудности в описании просачивающихся систем. Действительно, среди многочисленных приближений эффективной среды только симметричная теория Бруггемана способна предсказать порог. Эта характерная черта последней теории ставит ее в ту же категорию, что и другие теории среднего поля критических явлений . ^{[ необходима цитата ]}

Модель Брюггемана

Для смеси двух материалов с диэлектрическими проницаемостями и с соответствующими объемными долями и Д.А.Г. Брюггеман предложил формулу следующего вида: ^[7] ${\displaystyle \varepsilon _{m}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{d}}$ ${\displaystyle c_{m}}$ ${\displaystyle c_{d}}$

Здесь положительный знак перед квадратным корнем должен быть изменен на отрицательный знак в некоторых случаях, чтобы получить правильную мнимую часть эффективной комплексной диэлектрической проницаемости, которая связана с затуханием электромагнитных волн. Формула симметрична относительно перестановки ролей 'd' и 'm'. Эта формула основана на равенстве

где — скачок потока электрического смещения по всей поверхности интегрирования, — компонента микроскопического электрического поля, нормальная к поверхности интегрирования, — локальная относительная комплексная диэлектрическая проницаемость, которая принимает значение внутри выбранной металлической частицы, значение внутри выбранной диэлектрической частицы и значение снаружи выбранной частицы, — нормальная компонента макроскопического электрического поля. Формула (4) вытекает из равенства Максвелла . Таким образом, в подходе Бруггемана рассматривается только одна выбранная частица. Взаимодействие со всеми остальными частицами учитывается только в приближении среднего поля, описываемом выражением . Формула (3) дает разумную резонансную кривую для плазмонных возбуждений в металлических наночастицах , если их размер составляет 10 нм или меньше. Однако она не способна описать размерную зависимость для резонансной частоты плазмонных возбуждений, которые наблюдаются в экспериментах ^[8] ${\displaystyle \Delta \Phi }$ ${\displaystyle E_{n}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \varepsilon _{r}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \varepsilon _{m}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{d}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eff} }}$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {div} (\varepsilon _{r}\mathbf {E} )=0}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eff} }}$

Формулы

Не теряя общности, рассмотрим изучение эффективной проводимости (которая может быть как постоянного, так и переменного тока) для системы, состоящей из сферических многокомпонентных включений с различной произвольной проводимостью. Тогда формула Бруггемана примет вид:

Круглые и сферические включения

В системе евклидовой пространственной размерности, имеющей произвольное число компонентов, ^[9] сумма производится по всем компонентам. и являются соответственно долей и проводимостью каждого компонента, а является эффективной проводимостью среды. (Сумма по 's равна единице.) ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \delta _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{e}}$ ${\displaystyle \delta _{i}}$

Эллиптические и эллипсоидальные включения

Это обобщение уравнения (1) на двухфазную систему с эллипсоидальными включениями проводимости в матрицу проводимости . ^[10] Доля включений равна и система является размерной. Для случайно ориентированных включений, ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma _{m}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle n}$

где 's обозначают соответствующий дублет/триплет факторов деполяризации, который регулируется соотношениями между осями эллипса/эллипсоида. Например: в случае круга ( , ) и в случае сферы ( , , ). (Сумма по 's равна единице.) ${\displaystyle L_{j}}$ ${\displaystyle L_{1}=1/2}$ ${\displaystyle L_{2}=1/2}$ ${\displaystyle L_{1}=1/3}$ ${\displaystyle L_{2}=1/3}$ ${\displaystyle L_{3}=1/3}$ ${\displaystyle L_{j}}$

Наиболее общий случай, к которому был применен подход Бруггемана, включает бианизотропные эллипсоидальные включения. ^[11]

Вывод

На рисунке показана двухкомпонентная среда. ^[9] Рассмотрим заштрихованный объем проводимости , примем его за сферу объемом и предположим, что он вложен в однородную среду с эффективной проводимостью . Если электрическое поле вдали от включения равно , то элементарные соображения приводят к дипольному моменту , связанному с объемом ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \sigma _{e}}$ ${\displaystyle {\overline {E_{0}}}}$

Эта поляризация производит отклонение от . Если среднее отклонение должно исчезнуть, общая поляризация, суммированная по двум типам включений, должна исчезнуть. Таким образом ${\displaystyle {\overline {E_{0}}}}$

где и — соответственно объемная доля материала 1 и 2. Это можно легко распространить на систему размерности , которая имеет произвольное число компонентов. Все случаи можно объединить, чтобы получить уравнение (1). ${\displaystyle \delta _{1}}$ ${\displaystyle \delta _{2}}$ ${\displaystyle n}$

Уравнение (1) также можно получить, потребовав, чтобы отклонение тока исчезло. ^{[12] [13]} Оно было выведено здесь из предположения, что включения являются сферическими, и его можно модифицировать для форм с другими факторами деполяризации, что приводит к уравнению (2).

Также доступен более общий вывод, применимый к бианизотропным материалам. ^[11]

Моделирование просачивающихся систем

Основное приближение заключается в том, что все домены находятся в эквивалентном среднем поле. К сожалению, это не так вблизи порога перколяции, где система управляется крупнейшим кластером проводников, который является фракталом, и дальними корреляциями, которые полностью отсутствуют в простой формуле Бруггемана. Пороговые значения в целом не предсказаны правильно. Это 33% в EMA, в трех измерениях, далеко от 16%, ожидаемых из теории перколяции и наблюдаемых в экспериментах. Однако в двух измерениях EMA дает порог 50% и, как было доказано, моделирует перколяцию относительно хорошо. ^{[14] [15] [16]}

Уравнение Максвелла Гарнетта

В приближении Максвелла Гарнетта ^[17] эффективная среда состоит из матричной среды с и включений с . Максвелл Гарнетт был сыном физика Уильяма Гарнетта и был назван в честь друга Гарнетта, Джеймса Клерка Максвелла . Он предложил свою формулу для объяснения цветных картин, которые наблюдаются в стеклах, легированных металлическими наночастицами. Его формула имеет вид ${\displaystyle \varepsilon _{m}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

где - эффективная относительная комплексная диэлектрическая проницаемость смеси, - относительная комплексная диэлектрическая проницаемость фоновой среды, содержащей малые сферические включения относительной диэлектрической проницаемости с объемной долей . Эта формула основана на равенстве ${\displaystyle \varepsilon _{\text{eff}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{d}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{m}}$ ${\displaystyle c_{m}\ll 1}$

где — абсолютная диэлектрическая проницаемость свободного пространства , а — электрический дипольный момент одиночного включения, индуцированный внешним электрическим полем E. Однако это равенство справедливо только для однородной среды и . Кроме того, формула (1) игнорирует взаимодействие между одиночными включениями. В силу этих обстоятельств формула (1) дает слишком узкую и слишком высокую резонансную кривую для плазмонных возбуждений в металлических наночастицах смеси. ^[18] ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle p_{m}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{d}=1}$

Формула

Уравнение Максвелла Гарнетта гласит: ^[19]

где — эффективная диэлектрическая проницаемость среды, включений и матрицы; — объемная доля включений. ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eff} }}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{m}}$ ${\displaystyle \delta _{i}}$

Уравнение Максвелла Гарнетта решается следующим образом: ^{[20] [21]}

пока знаменатель не исчезнет. Простой калькулятор MATLAB, использующий эту формулу, выглядит следующим образом.

% Этот простой калькулятор MATLAB вычисляет эффективную диэлектрическую проницаемость % смеси материала включений в базовой среде % в соответствии с теорией Максвелла Гарнетта % ВХОДЫ: % eps_base: диэлектрическая проницаемость основного материала; % eps_incl: диэлектрическая проницаемость материала включений; % vol_incl: объемная доля материала включений; % ВЫХОД: % eps_mean: эффективная диэлектрическая проницаемость смеси.функция  eps_mean = МаксвеллГарнеттФормула ( eps_base, eps_incl, vol_incl )   small_number_cutoff = 1e-6 ;   if vol_incl < 0 || vol_incl > 1 disp ( 'ВНИМАНИЕ: объемная доля материала включения выходит за пределы диапазона!' ); end factor_up = 2 * ( 1 - vol_incl ) * eps_base + ( 1 + 2 * vol_incl ) * eps_incl ; factor_down = ( 2 + vol_incl ) * eps_base + ( 1 - vol_incl ) * eps_incl ; if abs ( factor_down ) < small_number_cutoff disp ( 'ВНИМАНИЕ: эффективная среда является единственной!' ); eps_mean = 0 ; else eps_mean = eps_base * factor_up / factor_down ; end end                                                        

Вывод

Для вывода уравнения Максвелла Гарнетта мы начнем с массива поляризуемых частиц. Используя концепцию локального поля Лоренца, мы получаем соотношение Клаузиуса-Моссотти : Где - число частиц в единице объема. Используя элементарную электростатику, мы получаем для сферического включения с диэлектрической проницаемостью и радиусом поляризуемость : Если мы объединим с уравнением Клаузиуса-Моссотти , мы получим: Где - эффективная диэлектрическая проницаемость среды включений; - объемная доля включений. Поскольку модель Максвелла Гарнетта представляет собой композицию матричной среды с включениями, мы усиливаем уравнение: $${\displaystyle {\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +2}}={\frac {4\pi }{3}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}}$$ ${\displaystyle N_{j}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \alpha =\left({\frac {\varepsilon _{i}-1}{\varepsilon _{i}+2}}\right)a^{3}}$$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \left({\frac {\varepsilon _{\mathrm {eff} }-1}{\varepsilon _{\mathrm {eff} }+2}}\right)=\delta _{i}\left({\frac {\varepsilon _{i}-1}{\varepsilon _{i}+2}}\right)}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eff} }}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle \delta _{i}}$

Действительность

В общих чертах, ожидается, что ЭМА Максвелла Гарнетта будет действителен при низких объемных долях , поскольку предполагается, что домены пространственно разделены и электростатическое взаимодействие между выбранными включениями и всеми другими соседними включениями пренебрегается. ^[22] Формула Максвелла Гарнетта, в отличие от формулы Бруггемана, перестает быть верной, когда включения становятся резонансными. В случае плазмонного резонанса формула Максвелла Гарнетта верна только при объемной доле включений . ^[23] Была изучена применимость приближения эффективной среды для диэлектрических многослойных структур ^[24] и металл-диэлектрических многослойных структур ^[25] , что показало, что существуют определенные случаи, когда приближение эффективной среды не выполняется, и необходимо проявлять осторожность при применении теории. ${\displaystyle \delta _{i}}$ ${\displaystyle \delta _{i}<10^{-5}}$

Обобщение уравнения Максвелла-Гарнетта для описания распределения размеров наночастиц

Уравнение Максвелла Гарнетта описывает оптические свойства нанокомпозитов, которые состоят из набора идеально сферических наночастиц. Все эти наночастицы должны иметь одинаковый размер. Однако из-за эффекта ограничения оптические свойства могут зависеть от распределения размеров наночастиц. Как показали Батти и др. ^[26] , уравнение Максвелла Гарнетта можно обобщить, чтобы учесть это распределение.

${\displaystyle {\frac {(\varepsilon _{\text{eff}}-\varepsilon _{m})}{\varepsilon _{\text{eff}}-2\varepsilon _{m}}}={\frac {3i\lambda ^{3}}{16\pi ^{2}\varepsilon _{m}^{1.5}}}{\frac {f}{R_{m}^{3}}}\int P(R)a_{1}(R)dR}$

${\displaystyle R}$и — радиус наночастиц и распределение по размерам, соответственно. и — средний радиус и объемная доля наночастиц, соответственно. — первый электрический коэффициент Ми. Это уравнение показывает, что классическое уравнение Максвелла Гарнетта дает ложную оценку объемной доли наночастиц, когда распределением по размерам нельзя пренебречь. ${\displaystyle P(R)}$ ${\displaystyle R_{m}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{1}}$

Обобщение для включения распределения форм наночастиц

Уравнение Максвелла Гарнетта описывает только оптические свойства набора идеально сферических наночастиц. Однако оптические свойства нанокомпозитов чувствительны к распределению формы наночастиц. Чтобы преодолеть это ограничение, Y. Battie и др. ^[27] разработали теорию эффективной среды с распределенной формой (SDEMT). Эта теория эффективной среды позволяет рассчитать эффективную диэлектрическую функцию нанокомпозита, который состоит из набора эллипсоидальных наночастиц, распределенных по форме.

${\displaystyle \varepsilon _{\text{eff}}={\frac {(1-f)\varepsilon _{m}+f\beta \varepsilon _{i}}{1-f+f\beta }}}$

с ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{3}}\iint P(L_{1},L_{2})\sum _{i\mathop {=} 1}^{3}{\frac {\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{m}+L_{i}(\varepsilon _{i}-\varepsilon _{m})}}dL_{1}dL_{2}}$

Факторы деполяризации ( ) зависят только от формы наночастиц. — распределение факторов деполяризации. f — объемная доля наночастиц. ${\displaystyle L_{1},L_{2},L_{3}}$ ${\displaystyle P(L_{1},L_{2})}$

Теория SDEMT использовалась для извлечения распределения формы наночастиц из спектров поглощения ^[28] или эллипсометрических спектров. ^{[29] [30]}

Формула, описывающая эффект размера

Была предложена новая формула, описывающая эффект размера. ^[18] Эта формула имеет вид $${\displaystyle \varepsilon _{\text{eff}}={\frac {1}{4}}\left(H_{\varepsilon }+i{\sqrt {-H_{\varepsilon }^{2}-8\varepsilon _{m}\varepsilon _{d}J(k_{m}a)}}\right),}$$

$${\displaystyle J(x)=2{\frac {1-x\cot(x)}{x^{2}+x\cot(x)-1}},}$$где a — радиус наночастицы, а — волновое число. Здесь предполагается, что временная зависимость электромагнитного поля задается множителем В данной работе использовался подход Бруггемана, но электромагнитное поле для электрической дипольной моды колебаний внутри выбранной частицы вычислялось без применения квазистатического приближения . Таким образом, функция обусловлена ​​неоднородностью поля внутри выбранной частицы. В квазистатической области ( , т.е. для Ag эта функция становится постоянной и формула (5) становится идентичной формуле Бруггемана. ${\displaystyle k_{m}={\sqrt {\varepsilon _{m}\mu _{m}}}\omega /c}$ ${\displaystyle \mathrm {exp} (-i\omega t).}$ ${\displaystyle J(k_{m}a)}$ ${\displaystyle k_{m}a\ll 1}$ ${\displaystyle a\leq \mathrm {10\,nm} }$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle J(k_{m}a)=1}$

Формула эффективной проницаемости

Формула эффективной проницаемости смесей имеет вид ^[18]

$${\displaystyle H_{\mu }=(2-3c_{m})\mu _{d}-(1-3c_{m})\mu _{m}J(k_{m}a).}$$

Здесь — эффективная относительная комплексная проницаемость смеси, — относительная комплексная проницаемость фоновой среды, содержащей мелкие сферические включения с относительной проницаемостью с объемной долей . Эта формула выведена в дипольном приближении. Магнитная октупольная мода и все другие магнитные моды колебаний нечетных порядков здесь не учитывались. При и эта формула имеет простой вид ^[18] ${\displaystyle \mu _{\text{eff}}}$ ${\displaystyle \mu _{d}}$ ${\displaystyle \mu _{m}}$ ${\displaystyle c_{m}\ll 1}$ ${\displaystyle \mu _{m}=\mu _{d}}$ ${\displaystyle k_{m}a\ll 1}$

Теория эффективной среды для резистивных цепей

Для сети, состоящей из высокой плотности случайных резисторов, точное решение для каждого отдельного элемента может быть непрактичным или невозможным. В таком случае случайную сеть резисторов можно рассматривать как двумерный граф , а эффективное сопротивление можно моделировать в терминах мер графа и геометрических свойств сетей. ^[31] Предполагая, что длина ребра намного меньше расстояния между электродами, а ребра должны быть равномерно распределены, можно считать, что потенциал падает равномерно от одного электрода к другому. Поверхностное сопротивление такой случайной сети ( ) можно записать в терминах плотности ребер (проводов) ( ), удельного сопротивления ( ), ширины ( ) и толщины ( ) ребер (проводов) как: ${\displaystyle R_{sn}}$ ${\displaystyle N_{E}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle t}$

Смотрите также

• Уравнение состояния
• Порог просачивания

Ссылки

1. Вэньшань, Цай ; Шалаев, Владимир (ноябрь 2009 г.). Оптические метаматериалы: основы и применение. Springer. стр. Глава 2.4. ISBN 978-1-4419-1150-6.
2. Ван, М.; Пан, Н. (2008). «Прогнозы эффективных физических свойств сложных многофазных материалов» (бесплатная загрузка PDF) . Materials Science and Engineering: R: Reports . 63 : 1–30. doi :10.1016/j.mser.2008.07.001.
3. TC Choy, «Теория эффективной среды», Oxford University Press, (2016) 241 стр.
4. М. Шеллер, К. Янсен, М. Кох, «Применение теорий эффективной среды в терагерцовом режиме» в сборнике «Современные оптические и фотонные технологии » , под ред. К. Й. Кима, Intech, Хорватия, Вуковар (2010), стр. 231.
5. Tinga, WR; Voss, WAG; Blossey, DF (1973). "Обобщенный подход к теории многофазной диэлектрической смеси". J. Appl. Phys . 44 (9): 3897. Bibcode :1973JAP....44.3897T. doi :10.1063/1.1662868. Архивировано из оригинала 2012-07-16 . Получено 2019-04-24 .
6. Лова, Паола; Мегад, Хеба; Стагнаро, Паола; Аллоизио, Марина; Патрини, Маддалена; Коморетто, Давиде (15 июня 2020 г.). «Стратегии повышения диэлектрического контраста в одномерных плоских полимерных фотонных кристаллах». Прикладные науки . 10 (12): 4122. дои : 10.3390/app10124122 . ISSN  2076-3417.
7. Брюггеман, DAG (1935). «Berechnung verschiedener phykalischer Konstanten von гетерогенное вещество. I. Dielektrizitätskonstanten und Leitfähigkeiten der Mischkörper aus isotropen Substanzen». Аннален дер Физик (на немецком языке). 416 (7): 636–664. Бибкод : 1935АнП...416..636Б. дои : 10.1002/andp.19354160705. ISSN  0003-3804.
8. SJ Oldenburg. "Silver Nanoparticles: Properties and Applications". Sigma Aldrich . Получено 17 мая 2019 г.
9. Landauer, Rolf (апрель 1978 г.). "Электрическая проводимость в неоднородных средах". Труды конференции AIP . Том 40. Американский институт физики. стр. 2–45. doi :10.1063/1.31150. Архивировано из оригинала 2012-07-10 . Получено 2010-02-07 .
10. Гранквист, К. Г.; Хундери, О. (1978). «Проводимость неоднородных материалов: теория эффективной среды с диполь-дипольным взаимодействием». Phys. Rev. B. 18 ( 4): 1554–1561. Bibcode : 1978PhRvB..18.1554G. doi : 10.1103/PhysRevB.18.1554.
11. Weiglhofer, WS; Lakhtakia, A.; Michel, B. (1998). "Формализмы Максвелла Гарнетта и Бруггемана для композита из частиц с бианизотропной средой-хозяином". Microw. Opt. Technol. Lett . 15 (4): 263–266. doi :10.1002/(SICI)1098-2760(199707)15:4<263::AID-MOP19>3.0.CO;2-8. Архивировано из оригинала 2013-01-05.
12. Страуд, Д. (1975). «Обобщенный подход эффективной среды к проводимости неоднородного материала». Phys. Rev. B. 12 ( 8): 3368–3373. Bibcode :1975PhRvB..12.3368S. doi :10.1103/PhysRevB.12.3368.
13. Дэвидсон, А.; Тинкхэм, М. (1976). «Феноменологические уравнения для электропроводности микроскопически неоднородных материалов». Phys. Rev. B. 13 ( 8): 3261–3267. Bibcode :1976PhRvB..13.3261D. doi :10.1103/PhysRevB.13.3261.
14. Киркпатрик, Скотт (1973). «Перколяция и проводимость». Rev. Mod. Phys . 45 (4): 574–588. Bibcode :1973RvMP...45..574K. doi :10.1103/RevModPhys.45.574.
15. Zallen, Richard (1998). Физика аморфных твердых тел . Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-29941-7.
16. Розен, Джон; Лопес, Рене; Хаглунд, Ричард Ф. младший; Фельдман, Леонард К. (2006). «Двумерная текущая перколяция в нанокристаллических пленках диоксида ванадия». Appl. Phys. Lett . 88 (8): 081902. Bibcode : 2006ApPhL..88h1902R. doi : 10.1063/1.2175490. Архивировано из оригинала 2012-07-12 . Получено 2019-04-24 .
17. Гарнетт, Дж. К. М. (1904). «Цвета в металлических стеклах и металлических пленках». Философские труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки . 203 (359–371): 385–420. Bibcode : 1904RSPTA.203..385G. doi : 10.1098/rsta.1904.0024 . ISSN  1364-503X.
18. Беляев, BA; Тюрнев, VV (2018). "Электродинамический расчет эффективных электромагнитных параметров диэлектрической среды с металлическими наночастицами заданного размера". Журнал экспериментальной и теоретической физики . 127 (4): 608–619. Bibcode :2018JETP..127..608B. doi :10.1134/S1063776118100114. ISSN  1063-7761. S2CID  125250487.
19. Чой, Так К. (1999). Теория эффективной среды . Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851892-1.
20. Леви, О. и Страуд, Д. (1997). Теория Максвелла Гарнетта для смесей анизотропных включений: применение к проводящим полимерам. Physical Review B, 56(13), 8035.
21. Лю, Тонг и др. «Микропористые наночастицы Co@ CoO с превосходными свойствами поглощения микроволн». Nanoscale 6.4 (2014): 2447-2454.
22. Джепсен, Питер Ухд; Фишер, Бернд М.; Томан, Андреас; Хельм, Ханспетер; Су, Дж. Й.; Лопес, Рене; Хаглунд, Р. Ф. младший (2006). «Фазовый переход металл-изолятор в тонкой пленке VO2, наблюдаемый с помощью терагерцовой спектроскопии». Phys. Rev. B. 74 ( 20): 205103. Bibcode : 2006PhRvB..74t5103J. doi : 10.1103/PhysRevB.74.205103. hdl : 2440/36406 . S2CID  28476406.
23. Беляев, BA; Тюрнев, VV (2018). «Электродинамический расчет эффективных электромагнитных параметров диэлектрической среды с металлическими наночастицами заданного размера». Журнал экспериментальной и теоретической физики . 127 (4): 608–619. Bibcode :2018JETP..127..608B. doi :10.1134/S1063776118100114. S2CID  125250487.
24. Жуковский, СВ; Андриевский, А., Такаяма, О.; Шкондин, Э., Малуреану, Р.; Йенсен, Ф., Лавриненко, АВ (2015). "Экспериментальная демонстрация эффективного пробоя приближения среды в глубоко субволновых полностью диэлектрических мультислоях". Physical Review Letters . 115 (17): 177402. arXiv : 1506.08078 . Bibcode :2015PhRvL.115q7402Z. doi :10.1103/PhysRevLett.115.177402. PMID  26551143. S2CID  4018894.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
25. Сукхам, Дж.; Такаяма О., Махмуди М.; Сычев С., Богданов А.; Хасан Тавассоли С., Лавриненко А.В.; Малуреану Р. (2019). «Исследование возможности применения эффективных сред для ультратонких многослойных структур». Наномасштаб . 11 (26): 12582–12588. дои : 10.1039/C9NR02471A. PMID  31231735. S2CID  195326315.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
26. Бэтти, Ю.; Резано-Гарсия А., Шауи Н.; Чжан Ю., Эн Насири А. (2014). «Расширенная формулировка Максвелла-Гарнетта-Ми, применяемая для дисперсии размеров металлических наночастиц, внедренных в жидкую матрицу хозяина». Журнал химической физики . 140 : 044705. дои : 10.1063/1.4862995.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
27. Resano-Garcia, A.; Battie, Y., En Naciri, A.; Akil, S., Chaoui, N. (2015). «Экспериментальное и теоретическое определение плазмонных откликов и распределения форм коллоидных металлических наночастиц». Журнал химической физики . 142 : 134108. doi : 10.1063/1.4916917.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
28. Battie, Y.; Resano-Garcia, A., En Naciri, A.; Akil, S., Chaoui, N. (2015). «Определение морфологических характеристик металлических наночастиц на основе модифицированной подгонки оптических откликов по методу Максвелла-Гарнетта». Applied Physics Letters . 107 : 143104. doi : 10.1063/1.4932638.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
29. Battie, Y.; Izquierdo-Lorenzo, I., Resano-Garcia, A.; En Naciri, A., Akil, S.; Adam, PM, Jradi, S. (2016). «Как определить морфологию плазмонных нанокристаллов без просвечивающей электронной микроскопии?». Журнал исследований наночастиц . 18 : 1–13. doi :10.1007/s11051-016-3533-8.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
30. Battie, Y.; Stchakovsky, M., En Naciri, A.; Akil, S., Chaoui, N. (2017). «Эллипсометрия коллоидных растворов: новая экспериментальная установка и применение к металлическим коллоидам». Langmuir . 33 : 7425–7434. doi :10.1021/acs.langmuir.7b00490.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
31. Кумар, Анкуш; Видхьядхираджа, Н. С.; Кулкарни, Г. У. (2017). «Распределение тока в проводящих нанопроволочных сетях». Журнал прикладной физики . 122 (4): 045101. Bibcode : 2017JAP...122d5101K. doi : 10.1063/1.4985792.

Дальнейшее чтение

• Лахтакия, А., ред. (1996). Избранные статьи по линейным оптическим композитным материалам [Milestone Vol. 120] . Беллингхэм, Вашингтон, США: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-2152-4.
• Tuck, Choy (1999). Теория эффективной среды (1-е изд.). Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851892-1.
• Лахтакия (ред.), А. (2000). Электромагнитные поля в нетрадиционных материалах и конструкциях . Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-36356-9.
• Weiglhofer (ред.) ; Lakhtakia (ред.), A. (2003). Введение в сложные среды для оптики и электромагнетизма . Беллингхэм, Вашингтон, США: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-4947-4.
• Mackay, TG ; Lakhtakia, A. (2010). Электромагнитная анизотропия и бианизотропия: Полевое руководство (1-е изд.). Сингапур: World Scientific. ISBN 978-981-4289-61-0.