Асимптотическая гомогенизация

В математике и физике гомогенизация — это метод изучения уравнений в частных производных с быстро осциллирующими коэффициентами, ^{[1] [2] [3],} такими как

${\displaystyle \nabla \cdot \left(A\left({\frac {\vec {x}}{\epsilon }}\right)\nabla u_{\epsilon }\right)=f}$

где — очень малый параметр, а — 1-периодический коэффициент: , . ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle A\left({\vec {y}}\right)}$ ${\displaystyle A\left({\vec {y}}+{\vec {e}}_{i}\right)=A\left({\vec {y}}\right)}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

Оказывается, изучение этих уравнений также имеет большое значение в физике и технике, поскольку уравнения этого типа управляют физикой неоднородных или гетерогенных материалов. Конечно, вся материя неоднородна в некотором масштабе, но часто удобно рассматривать ее как однородную. Хорошим примером является концепция континуума, которая используется в механике сплошных сред . При этом предположении такие материалы, как жидкости , твердые тела и т. д., можно рассматривать как однородные материалы, и с этими материалами связаны такие свойства материалов, как модуль сдвига , упругие модули и т. д.

Часто неоднородные материалы (например, композитные материалы ) обладают микроструктурой и поэтому подвергаются нагрузкам или воздействиям, которые изменяются в масштабе длины, который намного больше характерного масштаба длины микроструктуры. В этой ситуации часто можно заменить приведенное выше уравнение уравнением вида

${\displaystyle \nabla \cdot \left(A^{*}\nabla u\right)=f}$

где — постоянный тензорный коэффициент, известный как эффективное свойство, связанное с рассматриваемым материалом. Его можно явно вычислить как ${\displaystyle A^{*}}$

${\displaystyle A_{ij}^{*}=\int _{(0,1)^{n}}A({\vec {y}})\left(\nabla w_{j}({\vec {y}})+{\vec {e}}_{j}\right)\cdot {\vec {e}}_{i}\,dy_{1}\dots dy_{n},\qquad i,j=1,\dots ,n}$

из 1-периодических функций, удовлетворяющих: ${\displaystyle w_{j}}$

${\displaystyle \nabla _{y}\cdot \left(A({\vec {y}})\nabla w_{j}\right)=-\nabla _{y}\cdot \left(A({\vec {y}}){\vec {e}}_{j}\right).}$

Этот процесс замены уравнения с сильно колеблющимся коэффициентом на уравнение с однородным (равномерным) коэффициентом известен как гомогенизация . Этот предмет неразрывно связан с предметом микромеханики именно по этой причине.

При гомогенизации одно уравнение заменяется другим, если для достаточно малого , при условии, что в некоторой подходящей норме . ${\displaystyle u_{\epsilon }\approx u}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle u_{\epsilon }\to u}$ ${\displaystyle \epsilon \to 0}$

В результате вышесказанного гомогенизация может рассматриваться как расширение концепции континуума на материалы, обладающие микроструктурой. Аналог дифференциального элемента в концепции континуума (который содержит достаточно атомов или молекулярную структуру, чтобы быть репрезентативным для этого материала) известен как «Элемент представительного объема » ^[4] в гомогенизации и микромеханике. Этот элемент содержит достаточно статистической информации о неоднородной среде, чтобы быть репрезентативным для материала. Поэтому усреднение по этому элементу дает эффективное свойство, такое как выше. ${\displaystyle A^{*}}$

Классические результаты теории гомогенизации ^{[1] [2] [3]} были получены для сред с периодической микроструктурой, моделируемых дифференциальными уравнениями в частных производных с периодическими коэффициентами. Эти результаты были позднее обобщены на пространственно однородные случайные среды, моделируемые дифференциальными уравнениями со случайными коэффициентами, статистические свойства которых одинаковы в каждой точке пространства. ^{[5] [6]} На практике многие приложения требуют более общего способа моделирования, который не является ни периодическим, ни статистически однородным. Для этой цели методы теории гомогенизации были распространены на дифференциальные уравнения в частных производных, коэффициенты которых не являются ни периодическими, ни статистически однородными (так называемые произвольно грубые коэффициенты). ^{[7] [8]}

Метод асимптотической гомогенизации

Математическая теория гомогенизации восходит к французской, русской и итальянской школам. ^{[1] [2] [3] [9]} Метод асимптотической гомогенизации осуществляется путем введения быстрой переменной и постановки формального разложения по : ${\displaystyle {\vec {y}}={\vec {x}}/\epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle u_{\epsilon }({\vec {x}})=u({\vec {x}},{\vec {y}})=u_{0}({\vec {x}},{\vec {y}})+\epsilon u_{1}({\vec {x}},{\vec {y}})+\epsilon ^{2}u_{2}({\vec {x}},{\vec {y}})+O(\epsilon ^{3})\,}$

что порождает иерархию задач. Получено гомогенизированное уравнение и эффективные коэффициенты определяются путем решения так называемых «ячеечных задач» для функции . ${\displaystyle u_{1}({\vec {x}},{\vec {x}}/\epsilon )}$

Смотрите также

• Асимптотический анализ
• Γ-сходимость
• конвергенция Москвы
• Эффективные средние приближения

Примечания

1. Санчес-Паленсия, Э. (1980). Неоднородные среды и теория колебаний . Конспект лекций по физике. Т. 127. Springer Verlag. doi :10.1007/3-540-10000-8. ISBN 978-3-540-10000-3.
2. Бахвалов, Н .; Панасенко, Г. (1989). Гомогенизация: усреднение процессов в периодических средах . Математика и ее приложения. Дордрехт: Kluwer. doi :10.1007/978-94-009-2247-1. ISBN 978-94-010-7506-0.
3. Bensoussan, A.; Lions, JL ; Papanicolaou, G. (1978). Асимптотический анализ периодических структур . Исследования по математике и ее приложениям. Амстердам: Северная Голландия. ISBN 0-444-85172-0.
4. Остоя-Старжевски, М. (2007). Микроструктурная случайность и масштабирование в материалах . Современная механика и математика. Chapman and Hall/CRC Press. ISBN 9781584884170.
5. Козлов, СМ (1979). «Усреднение случайных операторов». Матем. сборник . 109 (151): 188–202.(Английский перевод: Матем. СССР, Сб. 37:2, 1980, стр. 167-180)
6. Папаниколау, GC; Варадхан, SR (1981). «Краевые задачи с быстро осциллирующими коэффициентами» (PDF) . Seria Colloq. Math. Society Janos Bolyai . 27 . Амстердам: 835–873.
7. Berlyand, L. ; Owhadi, H. (ноябрь 2010 г.). "Подход Flux Norm к конечномерным приближениям гомогенизации с неразделенными шкалами и высокой контрастностью". Архив для Rational Mechanics and Analysis . 198 (2): 677–721. arXiv : 0901.1463 . Bibcode :2010ArRMA.198..677B. doi :10.1007/s00205-010-0302-1. S2CID  1337370.
8. Målqvist, A.; Peterseim, D. (2014). «Локализация эллиптических многомасштабных задач». Mathematics of Computation . 83 (290): 2583–2603. arXiv : 1110.0692 . doi : 10.1090/S0025-5718-2014-02868-8 .
9. Дал Мазо, Г. (1993). Введение в Γ-сходимость . Прогресс в нелинейных дифференциальных уравнениях и их приложениях. Биркхаузер. doi :10.1007/978-1-4612-0327-8. ISBN 9780817636791.

Ссылки

• Козлов, С.М.; Олейник, О.А.; Жиков, В.В. (1994), Усреднение дифференциальных операторов и интегральных функционалов , Берлин - Гейдельберг - Нью-Йорк : Springer-Verlag , ISBN 3-540-54809-2, ЗБЛ  0838.35001
• Олейник, О.А .; Шамаев, А.С.; Иосифян, Г.А. (1991), Математические проблемы упругости и гомогенизации , Исследования по математике и ее приложениям, т. 26, Амстердам - ​​Лондон - Нью-Йорк - Токио : Северная Голландия , ISBN 0-444-88441-6, ЗБЛ  0768.73003
• Хорнунг, Ульрих (ред.). (1997), Гомогенизация и пористые среды , Междисциплинарная прикладная математика, т. 6, Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-1920-0, ISBN 978-1-4612-7339-4
• Бахвалов, Н.С.; Панасенко, Г.П. (1984), Усреднение процессов в периодических средах (перевод на английский язык: Kluwer,1989) , Москва : Наука , Zbl  0607.73009
• Брейдс, А.; Дефранчески, А. (1998), Усреднение кратных интегралов , Серия лекций Оксфорда по математике и ее приложениям, Оксфорд : Clarendon Press , ISBN 978-0-198-50246-3