Гомологические гипотезы в коммутативной алгебре

В математике гомологические гипотезы были в центре внимания исследовательской деятельности в коммутативной алгебре с начала 1960-х годов. Они касаются ряда взаимосвязанных (иногда удивительно) гипотез, связывающих различные гомологические свойства коммутативного кольца с его внутренней кольцевой структурой, в частности с его размерностью Крулля и глубиной .

Следующий список, данный Мелвином Хохстером , считается окончательным для этой области. В дальнейшем, и относятся к нётеровым коммутативным кольцам ; будет локальным кольцом с максимальным идеалом , а и являются конечно порождёнными -модулями. ${\displaystyle A,R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle m_{R}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle R}$

1. Теорема о делителях нуля. Если имеет конечную проективную размерность и не является делителем нуля на , то не является делителем нуля на . ${\displaystyle M\neq 0}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$
2. Вопрос Басса. Если имеет конечную инъективную резольвенту , то является кольцом Коэна–Маколея . ${\displaystyle M\neq 0}$ ${\displaystyle R}$
3. Теорема пересечения. Если имеет конечную длину, то размерность Крулля N (т.е. размерность R по модулю аннулятора N ) не превышает проективной размерности M . ${\displaystyle M\otimes _{R}N\neq 0}$
4. Новая теорема о пересечении. Пусть обозначает конечный комплекс свободных R -модулей, имеющий конечную длину, но не равную 0. Тогда (размерность Крулля) . ${\displaystyle 0\to G_{n}\to \cdots \to G_{0}\to 0}$ ${\displaystyle \bigoplus \nolimits _{i}H_{i}(G_{\bullet })}$ ${\displaystyle \dim R\leq n}$
5. Улучшенная гипотеза о новом пересечении. Пусть обозначает конечный комплекс свободных R -модулей, такой, что имеет конечную длину для и имеет минимальный генератор, который уничтожается степенью максимального идеала R. Тогда . ${\displaystyle 0\to G_{n}\to \cdots \to G_{0}\to 0}$ ${\displaystyle H_{i}(G_{\bullet })}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle H_{0}(G_{\bullet })}$ ${\displaystyle \dim R\leq n}$
6. Гипотеза о прямом слагаемом. Если — модульно-конечное расширение кольца с регулярным R (здесь R не обязательно должен быть локальным, но проблема сразу сводится к локальному случаю), то R — прямое слагаемое S как R -модуля. Гипотеза была доказана Ивом Андре с использованием теории перфектоидных пространств . ^[1] ${\displaystyle R\subseteq S}$
7. Гипотеза канонического элемента. Пусть будет системой параметров для R , пусть будет свободной R -резольвентой поля вычетов R с , и пусть обозначает комплекс Кошуля R относительно . Поднимем тождественное отображение до отображения комплексов. Тогда независимо от выбора системы параметров или поднятия, последнее отображение из не равно 0. ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{d}}$ ${\displaystyle F_{\bullet }}$ ${\displaystyle F_{0}=R}$ ${\displaystyle K_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{d}}$ ${\displaystyle R=K_{0}\to F_{0}=R}$ ${\displaystyle R=K_{d}\to F_{d}}$
8. Гипотеза о существовании сбалансированных больших модулей Коэна–Маколея. Существует (не обязательно конечно порождённый) R -модуль W такой, что m _R W ≠ W и каждая система параметров для R является регулярной последовательностью на W .
9. Гипотеза о коэновости прямых слагаемых. Если R — прямое слагаемое регулярного кольца S как R -модуля, то R — Коэновско-Маколеевское ( R не обязательно должно быть локальным, но результат сразу сводится к случаю, когда R локально).
10. Гипотеза об исчезновении для отображений Tor. Пусть — гомоморфизмы, где R не обязательно локально (однако можно свести к этому случаю), причем A, S регулярны, а R конечно порожден как A -модуль. Пусть W — любой A -модуль. Тогда отображение равно нулю для всех . ${\displaystyle A\subseteq R\to S}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{A}(W,R)\to \operatorname {Tor} _{i}^{A}(W,S)}$ ${\displaystyle i\geq 1}$
11. Гипотеза о сильном прямом слагаемом. Пусть — карта полных локальных областей, и пусть Q — простой идеал S высотой один, лежащий над , где R и оба регулярны. Тогда — прямое слагаемое Q , рассматриваемое как R -модули. ${\displaystyle R\subseteq S}$ ${\displaystyle xR}$ ${\displaystyle R/xR}$ ${\displaystyle xR}$
12. Гипотеза о существовании слабо функториальных больших алгебр Коэна-Маколея. Пусть — локальный гомоморфизм полных локальных областей. Тогда существует R -алгебра B _R , которая является сбалансированной большой алгеброй Коэна-Маколея для R , S -алгебра, которая является сбалансированной большой алгеброй Коэна-Маколея для S , и гомоморфизм B _R → B _{S ,} такой что натуральный квадрат, заданный этими отображениями, коммутирует. ${\displaystyle R\to S}$ ${\displaystyle B_{S}}$
13. Гипотеза Серра о кратностях. (ср. Гипотезы Серра о кратностях . ) Предположим, что R регулярно размерности d и имеет конечную длину. Тогда , определяемое как знакопеременная сумма длин модулей, равно 0, если , и положительно, если сумма равна d . (Примечание: Жан-Пьер Серр доказал, что сумма не может превышать d .) ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle \chi (M,N)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,N)}$ ${\displaystyle \dim M+\dim N<d}$
14. Гипотеза о малых модулях Коэна–Маколея. Если R является полным, то существует конечно-порожденный R -модуль такой , что некоторая (эквивалентно любая) система параметров для R является регулярной последовательностью на M. ${\displaystyle M\neq 0}$

Ссылки

1. Андре, Ив (2018). «Прямая гипотеза факта». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 127 : 71–93. arXiv : 1609.00345 . дои : 10.1007/s10240-017-0097-9. MR  3814651. S2CID  119310771.

• Гомологические гипотезы, старые и новые, Мелвин Хохстер , Illinois Journal of Mathematics, том 51, номер 1 (2007), 151-169.
• О гипотезе прямого слагаемого и ее производном варианте Бхаргава Бхатта.