Гомотопический копредел и предел

Понятия алгебраической топологии

В математике , особенно в алгебраической топологии , гомотопический предел и копредел ^{[1] стр. 52} являются вариантами понятий предела и копредела, расширенными до гомотопической категории . Основная идея такова: если у нас есть диаграмма ${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Top}})}$

${\displaystyle F:I\to {\textbf {Top}}}$

рассматриваемый как объект в гомотопической категории диаграмм (где гомотопическая эквивалентность диаграмм рассматривается поточечно), то гомотопический предел и копределы соответствуют конусу и кокону ${\displaystyle F\in {\text{Ho}}({\textbf {Top}}^{I})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {\leftarrow I}{\text{Holim}}}(F)&:*\to {\textbf {Top}}\\{\underset {\rightarrow I}{\text{Hocolim}}}(F)&:*\to {\textbf {Top}}\end{aligned}}}$

которые являются объектами в гомотопической категории , где — категория с одним объектом и одним морфизмом. Обратите внимание, что эта категория эквивалентна стандартной гомотопической категории , поскольку последняя категория гомотопических функторов имеет функторы, которые выделяют объект в , а естественное преобразование соответствует непрерывной функции топологических пространств. Обратите внимание, что эта конструкция может быть обобщена на модельные категории , которые дают методы построения гомотопических пределов и копределов в терминах других гомотопических категорий, таких как производные категории . Другой перспективой, формализующей эти виды конструкций, являются дериваторы ^{[2] стр. 193} , которые являются новой структурой для гомотопической алгебры . ${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Top}}^{*})}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Top}})}$ ${\displaystyle {\text{Top}}}$

Вводные примеры

Гомотопический выталкиватель

Концепция гомотопического копредела ^{[1] стр. 4-8} является обобщением гомотопических выталкиваний , таких как цилиндр отображения, используемый для определения кофибрации . Это понятие мотивировано следующим наблюдением: (обычный) выталкивание

${\displaystyle D^{n}\sqcup _{S^{n-1}}pt}$

это пространство , полученное стягиванием ( n −1)-сферы (которая является границей n -мерного диска) в одну точку. Это пространство гомеоморфно n -сфере S ⁿ . С другой стороны, выталкивание

${\displaystyle pt\sqcup _{S^{n-1}}pt}$

является точкой. Поэтому, даже если ( стягиваемый ) диск D ⁿ был заменен точкой (которая гомотопически эквивалентна диску), два выталкивания не являются гомотопически (или слабо ) эквивалентными.

Таким образом, pushout не очень хорошо согласуется с принципом теории гомотопии, которая рассматривает слабо эквивалентные пространства как несущие одну и ту же информацию: если одно (или несколько) пространств, используемых для формирования pushout, заменяются слабо эквивалентным пространством, pushout не гарантирует, что останется слабо эквивалентным. Гомотопический pushout исправляет этот дефект.

Гомотопическое выталкивание двух отображений топологических пространств определяется как ${\displaystyle A\leftarrow B\rightarrow C}$

${\displaystyle A\sqcup _{1}B\times [0,1]\sqcup _{0}B\sqcup _{1}B\times [0,1]\sqcup _{0}C}$,

т. е. вместо склеивания B в A и C , две копии цилиндра на B склеиваются вместе, а их концы приклеиваются к A и C. Например, гомотопический копредел диаграммы (чьи отображения являются проекциями)

${\displaystyle X_{0}\leftarrow X_{0}\times X_{1}\rightarrow X_{1}}$

это соединение . ${\displaystyle X_{0}*X_{1}}$

Можно показать, что гомотопический pushout не разделяет дефект обычного pushout: заменяя A , B и/или C гомотопическим пространством, гомотопический pushout также будет гомотопным. В этом смысле гомотопический pushout обрабатывает гомотопные пространства так же, как (обычный) pushout обрабатывает гомеоморфные пространства.

Составление карт

Другим полезным и мотивирующим примером гомотопического копредела является построение моделей для гомотопического копредела диаграммы

${\displaystyle A\xrightarrow {f} X\xrightarrow {g} Y}$

топологических пространств. Существует несколько способов моделирования этого копредела: первый — рассмотреть пространство

${\displaystyle \left[(A\times I)\coprod (X\times I)\coprod Y\right]/\sim }$

где отношение эквивалентности, идентифицирующее ${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,1)&\sim (f(a),0)\\(x,1)&\sim g(x)\end{aligned}}}$

что можно образно описать как картину

Поскольку мы можем аналогичным образом интерпретировать приведенную выше диаграмму как коммутативную диаграмму, из свойств категорий мы получаем коммутативную диаграмму

давая гомотопический копредел. Мы могли бы предположить, что это выглядит как

но обратите внимание, что мы ввели новый цикл для заполнения новых данных композиции. Это создает техническую проблему, которая может быть решена с помощью симплициальных методов: предоставление метода построения модели для гомотопических копределов. Новая диаграмма, образующая гомотопический копредел диаграммы композиции наглядно представлена ​​как

давая другую модель гомотопического копредела, которая гомотопически эквивалентна исходной диаграмме (без композиции ), приведенной выше. ${\displaystyle g\circ f}$

Картографический телескоп

Гомотопический копредел последовательности пространств

${\displaystyle X_{1}\to X_{2}\to \cdots ,}$

является отображающим телескопом . ^[3] Одним из примеров вычислений является взятие гомотопического копредела последовательности кофибраций . Копредел ^{[1] стр. 62} этой диаграммы дает гомотопический копредел. Это означает, что мы могли бы вычислить гомотопический копредел любого отображающего телескопа, заменив отображения кофибрациями.

Общее определение

Гомотопический предел

Рассмотрение таких примеров, как отображающий телескоп и гомотопический выталкиватель, на равной основе может быть достигнуто путем рассмотрения I -диаграммы пространств, где I — некоторая «индексирующая» категория . Это функтор

${\displaystyle X:I\to Spaces,}$

т. е. каждому объекту i в I сопоставляется пространство X _i и выполняется отображение между ними в соответствии с отображениями в I. Категория таких диаграмм обозначается как Пространства ^I.

Существует естественный функтор, называемый диагональю,

${\displaystyle \Delta _{0}:Spaces\to Spaces^{I}}$

который отправляет любое пространство X в диаграмму, которая состоит из X везде (и тождества X как отображений между ними). ​​В (обычной) теории категорий правый сопряженный к этому функтору является пределом . Гомотопический предел определяется путем изменения этой ситуации: это правый сопряженный к

${\displaystyle \Delta :Spaces\to Spaces^{I}}$

который отправляет пространство X в I -диаграмму, которая при некотором объекте i дает

${\displaystyle X\times |N(I/i)|}$

Здесь I / i — категория среза (ее объектами являются стрелки j → i , где j — любой объект из I ), N — нерв этой категории, а |-| — топологическая реализация этого симплициального множества . ^[4]

Гомотопический копредел

Аналогично, можно определить копредел как левый сопряженный к диагональному функтору Δ _{0 ,} данному выше. Чтобы определить гомотопический копредел, мы должны изменить Δ ₀ другим способом. Гомотопический копредел можно определить как левый сопряженный к функтору Δ : Пространства → Пространства ^I , где

Δ( X )( i ) = Hom _{Пространства} (| N ( I ^op / i ) |, X ) ,

где I ^op — противоположная категория I. Хотя это не то же самое, что функтор Δ выше, он обладает тем свойством, что если геометрическую реализацию категории нерва ( | N ( -) | ) заменить точечным пространством, мы восстановим исходный функтор Δ ₀ .

Примеры

Гомотопический пулбэк (или гомотопическое волокно-произведение ) — это двойственное понятие гомотопического пулаута. Он удовлетворяет универсальному свойству пулбэка вплоть до гомотопии. ^{[ необходима цитата ]} Конкретно, учитывая и , его можно построить как ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$

${\displaystyle X\times _{Z}^{h}Y:=X\times _{Z}Z^{I}\times _{Z}Y=\{(x,\gamma ,y)|f(x)=\gamma (0),g(y)=\gamma (1)\}.}$^[5]

Например, гомотопическое волокно над точкой y является гомотопическим обратным протягиванием вдоль . ^[5] Гомотопический обратный протягивание вдоль тождества есть не что иное, как пространство путей отображения . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y\hookrightarrow Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Универсальное свойство гомотопического пулбэка дает естественное отображение , частный случай естественного отображения из предела в гомотопический предел. В случае гомотопического волокна это отображение является включением волокна в гомотопическое волокно. ${\displaystyle X\times _{Z}Y\to X\times _{Z}^{h}Y}$

Построение копределов с симплициальными заменами

Имея малую категорию и диаграмму , мы можем построить гомотопический копредел, используя симплициальную замену диаграммы. Это симплициальное пространство, заданное диаграммой ^{[1] стр. 16-17} ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle D:I\to {\textbf {Top}}}$ ${\displaystyle {\text{srep}}(D)_{\bullet }}$

где

${\displaystyle {\text{srep}}(D)_{n}={\underset {i_{0}\leftarrow i_{1}\leftarrow \cdots \leftarrow i_{n}}{\coprod }}D(i_{n})}$

заданных цепочками составных отображений в категории индексации . Тогда гомотопический копредел может быть построен как геометрическая реализация этого симплициального пространства, так что ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\underset {\to }{\text{hocolim}}}D=|{\text{srep}}(D)_{\bullet }|}$

Обратите внимание, что это согласуется с рисунком, представленным выше для диаграммы состава . ${\displaystyle A\to X\to Y}$

Отношение к (обычному) копределу и пределу

Карта есть всегда.

${\displaystyle \mathrm {hocolim} X_{i}\to \mathrm {colim} X_{i}.}$

Обычно это отображение не является слабой эквивалентностью. Например, гомотопический pushout, встречающийся выше, всегда отображается в обычный pushout. Обычно это отображение не является слабой эквивалентностью, например, join не является слабо эквивалентным pushout , который является точкой. ${\displaystyle X_{0}\leftarrow X_{0}\times X_{1}\rightarrow X_{1}}$

Дополнительные примеры и приложения

Так же, как limit используется для заполнения кольца, holim используется для заполнения спектра.

Смотрите также

• Дериватор
• Гомотопическое волокно
• Гомотопический кофибрер
• Когомологии категорий
• Спектральная последовательность гомотопических копределов

Ссылки

1. Даггер, Дэниел. "A Primer on Homotopy Colimits" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 3 декабря 2020 г.
2. Гротендик. "Pursuing Stacks". thescrivener.github.io . Архивировано (PDF) из оригинала 30 июля 2020 г. . Получено 17 сентября 2020 г. .
3. Алгебраическая топология Хэтчера, 4.G.
4. Боусфилд и Кан: Гомотопические пределы, дополнения и локализации , Springer, LNM 304. Раздел XI.3.3
5. Math 527 - Теория гомотопии Гомотопические обратные пути

• Учебник по гомотопическим пределам
• Гомотопические копределы в категории малых категорий
• Категории и Орбипространства
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0.

Дальнейшее чтение

• Диаграммы гомотопического предела-копредела в категориях стабильных моделей
• стр.80 Гомотопические копределы и пределы