Теория гомотопических типов

Теория типов в логике и математике

Обложка теории гомотопических типов: одновалентные основы математики .

В математической логике и информатике теория гомотопических типов ( HoTT / h ɒ t / ) относится к различным направлениям развития интуиционистской теории типов , основанной на интерпретации типов как объектов, к которым применима интуиция (абстрактной) теории гомотопий .

Сюда входит, среди прочего, построение гомотопических и более категоричных моделей для таких теорий типов; использование теории типов в качестве логики (или внутреннего языка ) для абстрактной теории гомотопий и теории высших категорий ; развитие математики на теоретико-типовой основе (включая как ранее существовавшую математику, так и новую математику, которую делают возможными гомотопические типы); и формализация каждого из них в компьютерных помощниках по доказательству .

Существует большое совпадение между работой, называемой теорией гомотопических типов, и работой, называемой проектом унивалентных оснований . Хотя ни один из них не имеет четкого разграничения и эти термины иногда используются как взаимозаменяемые, выбор использования также иногда соответствует различиям во взглядах и акцентах. ^[1] Таким образом, данная статья не может в равной степени отражать взгляды всех исследователей в данной области. Такого рода изменчивость неизбежна, когда поле находится в быстром изменении.

История

Модель группоида

Одно время идея о том, что типы в интенсиональной теории типов с их типами идентичности можно рассматривать как группоиды, была математическим фольклором . Впервые это было уточнено семантически в статье Мартина Хофмана и Томаса Штрайхера 1994 года под названием «Модель группоида опровергает уникальность доказательств тождества» ^[2] , в которой они показали, что теория интенсиональных типов имеет модель в категории группоидов . Это была первая по-настоящему « гомотопическая » модель теории типов, хотя и только «одномерная » (традиционные модели в категории множеств гомотопически 0-мерны).

Их последующая статья ^[3] предвосхитила несколько более поздних разработок в теории гомотопических типов. Например, они отметили, что группоидная модель удовлетворяет правилу, которое они назвали «экстенсиональностью вселенной», которое представляет собой не что иное, как ограничение на 1-типы аксиомы однолистности , предложенной Владимиром Воеводским десять лет спустя. (Однако аксиому для 1-типов сформулировать заметно проще, поскольку связное понятие «эквивалентности» не требуется.) Они также определили «категории с изоморфизмом как равенство» и предположили, что в модели, использующей группоиды более высокой размерности, для таких категорий можно было бы сказать: «эквивалентность есть равенство»; позже это было доказано Бенедиктом Аренсом, Кшиштофом Капулькиным и Михаэлем Шульманом . ^[4]

Ранняя история: модельные категории и высшие группоиды

Первые многомерные модели теории интенсиональных типов были построены Стивом Аводи и его учеником Майклом Уорреном в 2005 году с использованием категорий модели Квиллена . Эти результаты были впервые представлены публично на конференции FMCS 2006 ^[5] , на которой Уоррен выступил с докладом на тему «Гомотопические модели интенсиональной теории типов», который также послужил проспектом его диссертации (в диссертационном комитете присутствовали Аводи, Никола Гамбино и Алекс Симпсон). Краткое изложение содержится в аннотации к проспекту диссертации Уоррена. ^[6]

На последующем семинаре по типам идентичности в Уппсальском университете в 2006 году ^[7] было два доклада о связи между интенсиональной теорией типов и системами факторизации: один Ричарда Гарнера, «Системы факторизации для теории типов», ^[8] и один Майкла. Уоррен, «Модельные категории и интенсиональные типы идентичности». Связанные идеи обсуждались в докладах Стива Ауоди «Теория типов многомерных категорий» и Томаса Штрейхера «Типы идентичности против слабых омега-группоидов: некоторые идеи, некоторые проблемы». На той же конференции Бенно ван ден Берг выступил с докладом «Типы как слабые омега-категории», в котором изложил идеи, которые позже стали предметом совместной статьи с Ричардом Гарнером.

Все ранние конструкции моделей более высокой размерности должны были иметь дело с проблемой когерентности, типичной для моделей теории зависимых типов, и были разработаны различные решения. Одну такую ​​в 2009 году подарил Воеводский, другую в 2010 году — ван ден Берг и Гарнер. ^[9] Общее решение, основанное на конструкции Воеводского, в конечном итоге было предложено Ламсдейном и Уорреном в 2014 году. ^[10]

На PSSL86 в 2007 году ^[11] Аводи выступил с докладом под названием «Теория гомотопических типов» (это было первое публичное использование этого термина, придуманного Аводи ^[12] ). Аводи и Уоррен обобщили свои результаты в статье «Гомотопические теоретические модели типов идентичности», которая была размещена на сервере препринтов ArXiv в 2007 г. ^[13] и опубликована в 2009 г.; более подробная версия появилась в диссертации Уоррена «Гомотопические аспекты теории конструктивных типов» в 2008 году.

Примерно в это же время Владимир Воеводский самостоятельно исследовал теорию типов в контексте поиска языка практической формализации математики. В сентябре 2006 года он разместил в списке рассылки Types «Очень короткую заметку о гомотопическом лямбда-исчислении » ^[14] , в которой обрисованы контуры теории типов с зависимыми произведениями, суммами и вселенными, а также модель этой теории типов в симплициальном языке Кана. наборы . Оно начиналось со слов «Гомотопическое λ-исчисление — это гипотетическая (на данный момент) система типов» и заканчивалось словами «На данный момент многое из того, что я сказал выше, находится на уровне домыслов. Даже определение модели ТС в категория гомотопии нетривиальна», имея в виду сложные проблемы согласованности, которые не были решены до 2009 года. Эта заметка включала синтаксическое определение «типов равенства», которые, как утверждалось, интерпретировались в модели с помощью пространств путей, но не учитывали Согласно правилам Мартина-Лёфа для типов идентичности. Кроме размера, вселенные были стратифицированы по гомотопическим измерениям — идея, от которой позже практически отказались.

Что касается синтаксиса, Бенно ван ден Берг в 2006 году предположил, что башня тождественных типов типа в интенсиональной теории типов должна иметь структуру ω-категории и даже ω-группоида в «глобулярном, алгебраическом» смысле. Михаила Батанина. Позднее это было независимо доказано ван ден Бергом и Гарнером в статье «Типы являются слабыми омега-группоидами» (опубликовано в 2008 г.) ^[15] и Питером Ламсдейном в статье «Слабые ω-категории из интенсиональной теории типов» (опубликовано в 2009 г.). ) и в рамках своей докторской степени 2010 г. защитил кандидатскую диссертацию «Высшие категории из теорий типов». ^[16]

Аксиома однолистности, синтетическая теория гомотопий и высшие индуктивные типы.

Концепция однолистного расслоения была введена Воеводским в начале 2006 года. ^[17] Однако из-за того, что все представления теории типов Мартина-Лёфа настаивают на том свойстве, что тождественные типы в пустом контексте могут содержать только рефлексивность Воеводский не признавал до 2009 года, что эти типы идентичности могут использоваться в сочетании с одновалентными вселенными. В частности, только в 2009 году появилась идея о том, что однолистность можно ввести, просто добавив аксиому к существующей теории типов Мартина-Лёфа. ^{[a] [b]}

Также в 2009 году Воеводский проработал больше деталей модели теории типов в комплексах Кана и заметил, что существование универсального расслоения Кана может быть использовано для решения проблем когерентности категориальных моделей теории типов. Он также доказал, используя идею А. К. Баусфилда, что это универсальное расслоение однолистно: ассоциированное расслоение попарных гомотопических эквивалентностей между слоями эквивалентно расслоению пространства путей базы.

Чтобы сформулировать однолистность как аксиому, Воеводский нашел способ определять «эквивалентности» синтаксически, который обладал тем важным свойством, что тип, представляющий утверждение «f является эквивалентностью», был (в предположении экстенсиональности функции) (-1)-усеченным (т.е. сжимаемый, если он обитаем). Это позволило ему дать синтаксическое утверждение об однолистности, обобщив «обширность вселенной» Хофмана и Штрайхера на более высокие измерения. Он также смог использовать эти определения эквивалентности и сжимаемости, чтобы начать разработку значительного объема «синтетической гомотопической теории» в помощнике по доказательству Coq ; это легло в основу библиотеки, позже названной «Основы» и, в конечном итоге, «UniMath». ^[19]

Объединение различных потоков началось в феврале 2010 года с неформальной встречи в Университете Карнеги-Меллона , где Воеводский представил свою модель в комплексах Кана и свой код Coq группе, в которую входили Аводи, Уоррен, Ламсдейн, Роберт Харпер , Дэн Ликата, Майкл Шульман и другие. На этой встрече были выработаны наброски доказательства (Уоррена, Ламсдейна, Ликаты и Шульмана) того, что каждая гомотопическая эквивалентность является эквивалентностью (в хорошем связном смысле Воеводского), основанного на идее теории категорий об улучшении эквивалентностей до присоединенных эквивалентностей. Вскоре после этого Воеводский доказал, что из аксиомы однолистности следует экстенсиональность функции.

Следующим ключевым событием стал мини-семинар в Институте математических исследований Обервольфаха в марте 2011 года, организованный Стивом Аводи, Ричардом Гарнером, Пером Мартином-Лёфом и Владимиром Воеводским под названием «Гомотопическая интерпретация конструктивной теории типов». ^[20] В рамках учебного пособия по Coq для этого семинара Андрей Бауэр написал небольшую библиотеку Coq ^[21] , основанную на идеях Воеводского (но фактически не использующую какой-либо его код); в конечном итоге это стало ядром первой версии библиотеки Coq "HoTT" ^[22] (первый коммит последней ^[23] Майкла Шульмана отмечает: «Разработка основана на файлах Андрея Бауэра, многие идеи взяты из файлов Владимира Воеводского» ). Одной из наиболее важных вещей, высказанных на встрече в Обервольфахе, была основная идея о более высоких индуктивных типах, предложенная Ламсдайном, Шульманом, Бауэром и Уорреном. Участники также сформулировали список важных открытых вопросов, таких как, удовлетворяет ли аксиома однолистности каноничности (все еще остается открытым, хотя некоторые частные случаи были решены положительно ^{[24] [25]} ), имеет ли аксиома однолистности нестандартные модели (поскольку ответ положительный Шульмана) и как определять (полу)симплициальные типы (все еще открыто в MLTT, хотя это можно сделать в системе гомотопических типов Воеводского (HTS), теории типов с двумя типами равенства).

Вскоре после семинара в Обервольфахе были созданы веб-сайт и блог «Теория гомотопических типов» ^[26] , и под этим названием эта тема стала популяризироваться. Представление о некоторых важных достижениях за этот период можно получить из истории блога. ^[27]

Одновалентные фундаменты

Все согласны с тем, что фраза «одновалентные основания» тесно связана с теорией гомотопических типов, но не все используют ее одинаково. Первоначально он использовался Владимиром Воеводским для обозначения его видения основополагающей системы математики, в которой основными объектами являются гомотопические типы, основанной на теории типов, удовлетворяющей § аксиоме однолистности, и формализованной с помощью компьютерного помощника по доказательству. ^[28]

По мере того, как работа Воеводского интегрировалась в сообщество других исследователей, работающих над теорией гомотопических типов, «унивалентные основания» иногда использовались как синонимы «теории гомотопических типов» ^[29] , а в других случаях обозначали только ее использование в качестве фундаментальной системы (исключая (например, изучение модельно-категорической семантики или вычислительной метатеории). ^[30] Например, тема специального года IAS была официально обозначена как «универсальные основы», хотя большая часть проделанной там работы была сосредоточена не только на основах, но и на семантике и метатеории. Книга, выпущенная участниками программы IAS, называлась «Теория гомотопических типов: одновалентные основания математики»; хотя это может относиться к любому использованию, поскольку в книге HoTT рассматривается только как математическая основа. ^[29]

Специальный год одновалентных оснований математики

Анимация, показывающая разработку книги HoTT в репозитории GitHub участниками проекта Uniвалентного специального года Foundations.

В 2012–2013 годах исследователи Института перспективных исследований провели «Особый год одновалентных оснований математики». ^[31] Специальный год объединил исследователей в области топологии , информатики , теории категорий и математической логики . Организаторами программы выступили Стив Аводей , Тьерри Кокан и Владимир Воеводский .

Во время программы Питер Аксель , который был одним из участников, инициировал рабочую группу, которая исследовала, как разрабатывать теорию типов неформально, но строго, в стиле, аналогичном тому, как обычные математики занимаются теорией множеств. После первоначальных экспериментов стало ясно, что это не только возможно, но и очень полезно, и что можно и нужно написать книгу (так называемую HoTT Book ) ^{[29] [32]} . Многие другие участники проекта затем присоединились к его усилиям, оказывая техническую поддержку, написав, вычитав корректуру и предложив идеи. Что необычно для учебника по математике, он был разработан совместно и доступен на GitHub , выпущен под лицензией Creative Commons , которая позволяет людям создавать свои собственные версии книги, и ее можно как купить в печатном виде, так и загрузить бесплатно. ^{[33] [34] [35]}

В более общем плане этот специальный год стал катализатором развития всей темы; Книга HoTT была лишь одним, хотя и наиболее заметным результатом.

Официальные участники особого года

• Питер Аксель
• Бенедикт Аренс
• Торстен Альтенкирх
• Стив Аводи
• Бруно Баррас
• Андрей Бауэр
• Ив Берто
• Марк Безем
• Тьерри Коканд
• Эрик Финстер
• Дэниел Грейсон
• Хьюго Гербелин
• Андре Джояль
• Дэн Ликата
• Питер Ламсдейн
• Ассия Махбуби
• Пер Мартин-Лёф
• Сергей Мелихов
• Альваро Пелайо
• Андрей Полонский
• Майкл Шульман
• Матье Созо
• Бас Спиттерс
• Бенно ван ден Берг
• Владимир Воеводский
• Майкл Уоррен
• Ноам Зейлбергер

ACM Computing Reviews включила эту книгу в список примечательных публикаций 2013 года в категории «Математика вычислений». ^[36]

Ключевые идеи

«Предложения как типы»

HoTT использует модифицированную версию интерпретации теории типов « предложения как типы », согласно которой типы также могут представлять предложения, а термины могут затем представлять доказательства. Однако в HoTT, в отличие от стандартных «предложений как типов», особую роль играют «просто предложения», которыми, грубо говоря, являются типы, имеющие не более одного термина, с точностью до пропозиционального равенства . Они больше похожи на традиционные логические предложения, чем на общие типы, поскольку они не имеют значения для доказательства.

Равенство

Фундаментальным понятием теории гомотопических типов является путь . В HoTT тип — это тип всех путей от точки к точке . (Следовательно, доказательство того, что точка равна точке, — это то же самое, что и путь от точки к точке .) Для любой точки существует путь типа , соответствующий рефлексивному свойству равенства. Путь типа можно инвертировать, образуя путь типа , соответствующий симметричному свойству равенства. Два пути типа соотв. могут быть объединены, образуя путь типа ; это соответствует транзитивному свойству равенства. ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=a}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle b=a}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle b=c}$ ${\displaystyle a=c}$

Самое главное, что при наличии пути и доказательства некоторого свойства доказательство можно «транспортировать» по пути , чтобы получить доказательство свойства . (Точно говоря, объект типа можно превратить в объект типа .) Это соответствует свойству подстановки равенства . Здесь проявляется важное различие между HoTT и классической математикой. В классической математике после того, как установлено равенство двух значений и , они могут впоследствии использоваться как взаимозаменяемые, не обращая внимания на какое-либо различие между ними. Однако в теории гомотопических типов может быть несколько разных путей , и транспортировка объекта по двум разным путям даст два разных результата. Поэтому в теории гомотопических типов при применении свойства подстановки необходимо указать, какой путь используется. ${\displaystyle p:a=b}$ ${\displaystyle P(a)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P(b)}$ ${\displaystyle P(a)}$ ${\displaystyle P(b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a=b}$

В общем, «предложение» может иметь несколько разных доказательств. (Например, тип всех натуральных чисел, если рассматривать его как предложение, имеет каждое натуральное число в качестве доказательства.) Даже если предложение имеет только одно доказательство , пространство путей может быть в некотором роде нетривиальным. «Простое предложение» — это любой тип, который либо пуст, либо содержит только одну точку с тривиальным пространством путей . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=a}$

Обратите внимание, что люди пишут для , тем самым оставляя тип неявным . Не путайте его с , обозначающим тождественную функцию на . ^[с] ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle Id_{A}(a,b)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle id_{A}:A\to A}$ ${\displaystyle A}$

Тип эквивалентности

Два типа и принадлежность к некоторой вселенной определяются как эквивалентные , если между ними существует эквивалентность . Эквивалентность – это функция ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle f:A\to B}$

который имеет как левую инверсию, так и правую инверсию, в том смысле, что для соответственно выбранных и оба следующих типа обитаемы: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle Id_{B\rightarrow B}(f\circ g,id_{B}),}$

${\displaystyle Id_{A\rightarrow A}(h\circ f,id_{A}).}$

т.е.

${\displaystyle f\circ g=_{B\rightarrow B}id_{B},}$

${\displaystyle h\circ f=_{A\rightarrow A}id_{A}.}$

Это выражает общее понятие « имеет как левую инверсию, так и правую инверсию», используя типы равенства. Обратите внимание, что приведенные выше условия обратимости являются типами равенства в типах функций и . Обычно предполагается аксиома расширенности функции, которая гарантирует, что они эквивалентны следующим типам, которые выражают обратимость с использованием равенства в области определения и кодомене и : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A\rightarrow A}$ ${\displaystyle B\rightarrow B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \Pi _{y:B}.\ Id_{B}((f\circ g)(y),id_{B}(y)),}$

${\displaystyle \Pi _{x:A}.\ Id_{A}((h\circ f)(x),id_{A}(x)).}$

т.е. для всех и , ${\displaystyle x:A}$ ${\displaystyle y:B}$

${\displaystyle f(g(y))=_{B}y,}$

${\displaystyle h(f(x))=_{A}x.}$

Функции типа

${\displaystyle A\to B}$

вместе с доказательством их эквивалентности обозначаются через

${\displaystyle A\simeq B}$.

Аксиома однолистности

Определив функции, являющиеся эквивалентностями, как указано выше, можно показать, что существует канонический способ превратить пути в эквивалентности. Другими словами, существует функция типа

${\displaystyle (A=B)\to (A\simeq B),}$

которое выражает, что равные типы, в частности, также эквивалентны. ${\displaystyle A,B}$

Аксиома однолистности утверждает, что эта функция сама по себе является эквивалентностью. ^{[29] : 115  [18] : 4–6} Следовательно, имеем

${\displaystyle (A=B)\simeq (A\simeq B)}$

«Другими словами, идентичность эквивалентна эквивалентности. В частности, можно сказать, что «эквивалентные типы идентичны». ^{[29] : 4}

Мартин Хетцель Эскардо показал, что свойство однолистности не зависит от теории типов Мартина-Лёфа (MLTT). ^{[18] : 6  [д]}

Приложения

Доказательство теоремы

Сторонники утверждают, что HoTT позволяет гораздо проще, чем раньше, переводить математические доказательства на язык компьютерного программирования для помощников по компьютерным доказательствам . Они утверждают, что такой подход увеличивает возможности компьютеров проверять сложные доказательства. ^[37] Однако эти утверждения не являются общепринятыми, и многие исследовательские усилия и помощники по доказательству не используют HoTT.

HoTT принимает аксиому однолистности, которая связывает равенство логико-математических утверждений с теорией гомотопий. Уравнение, такое как «a=b», представляет собой математическое утверждение, в котором два разных символа имеют одинаковое значение. В теории гомотопических типов это означает, что две формы, представляющие значения символов, топологически эквивалентны. ^[37]

Эти отношения эквивалентности, как утверждает директор Цюрихского института теоретических исследований ETH Джованни Фельдер , могут быть лучше сформулированы в теории гомотопии, поскольку она более всеобъемлюща: теория гомотопии объясняет не только, почему «a равно b», но и как это получить. В теории множеств эту информацию пришлось бы определять дополнительно, что, как утверждают сторонники теории множеств, затрудняет перевод математических утверждений на языки программирования. ^[37]

Компьютерное программирование

По состоянию на 2015 год велась интенсивная исследовательская работа по моделированию и формальному анализу вычислительного поведения аксиомы однолистности в теории гомотопических типов. ^[38]

Теория кубических типов — это одна из попыток придать вычислительное содержание теории гомотопических типов. ^[39]

Однако считается, что некоторые объекты, такие как полусимплициальные типы, не могут быть построены без ссылки на некоторое понятие точного равенства. Поэтому были разработаны различные теории двухуровневых типов , которые делят свои типы на фибрантные типы, которые учитывают пути, и нефибрантные типы, которые этого не делают. Декартова кубическая теория вычислительных типов — это первая двухуровневая теория типов, которая дает полную вычислительную интерпретацию теории гомотопических типов. ^[40]

Смотрите также

• Расчет конструкций
• Переписка Карри-Ховарда
• Интуиционистская теория типов
• Гомотопическая гипотеза
• Одновалентные фундаменты

Примечания

1. Однозначность — это тип, свойство тождественного типа IdU вселенной U — Мартин Хетцель Эскардо (2018) ^{[18] : стр.1}
2. «Унивалентность — это тип, и аксиома однолистности говорит, что у этого типа есть некий обитатель». ^{[18] : стр.1}
3. Здесь используется соглашение теории типов, согласно которому имена типов начинаются с заглавной буквы, а имена функций — со строчной буквы.
4. Мартин Хетцель Эскардо показал, что свойство однолистности, «свойство идентификационного типа IdU вселенной U», ^{[18] : 4} может иметь или не иметь обитателя. Согласно Аксиоме Унивалентности, тип isUniвалент(U) имеет обитателя; Хетцель Эскардо отмечает, что, когда отражение является единственным способом построения элементов тождественного типа, кроме однолистности, можно построить функцию J из тождественного типа, из отражения и из J. ^{[18] : 2.4 Тождественный тип} Хетцель Эскардо переходит к построению типа однолистности, используя повторяющиеся применения J. Когда «все типы являются множествами» (обозначается аксиомой K), ^{[18] : 2.4} Аксиома K подразумевает, что тип «isUniвалент(U)» не имеет обитателя. Таким образом, Хетцель Эскардо обнаружил, что тип isUniвалент(U) не определен в Теории типов Мартина-Лёфа (MLTT). ^{[18] : 3.2, с.6 Аксиома однолистности}

Рекомендации

1. Шульман, Майкл (27 января 2016 г.). «Теория гомотопических типов: синтетический подход к высшим равенствам». arXiv : 1601.05035v3 [math.LO]., сноска 1
2. Хофманн, М.; Штрайхер, Т. (1994). «Группоидная модель опровергает уникальность доказательств тождества». Труды Девятого ежегодного симпозиума IEEE по логике в информатике . стр. 208–212. дои : 10.1109/LICS.1994.316071. ISBN 0-8186-6310-3. S2CID  19496198.
3. Хофманн, Мартин; Штрайхер, Томас (1998). «Группоидная интерпретация теории типов». В Самбине, Джованни; Смит, Ян М. (ред.). Двадцать пять лет конструктивной теории типов . Оксфордские руководства по логике. Том. 36. Кларендон Пресс. стр. 83–111. ISBN 978-0-19-158903-4. МР  1686862.
4. Аренс, Бенедикт; Капулькин, Кшиштоф; Шульман, Майкл (2015). «Одновалентные категории и пополнение Резка». Математические структуры в информатике . 25 (5): 1010–1039. arXiv : 1303.0584 . дои : 10.1017/S0960129514000486. МР  3340533. S2CID  1135785.
5. «Основные методы в информатике, 2006 г., Университет Калгари, 7–9 июня 2006 г.» Университет Калгари . Проверено 6 июня 2021 г.
6. Уоррен, Майкл А. (2006). Гомотопические модели интенсиональной теории типов (PDF) (Диссертация).
7. «Типы идентичности - топологическая и категориальная структура, семинар, Упсала, 13-14 ноября 2006 г.». Уппсальский университет – математический факультет . Проверено 6 июня 2021 г.
8. Ричард Гарнер, Аксиомы факторизации теории типов
9. Берг, Бенно ван ден; Гарнер, Ричард (27 июля 2010 г.). «Топологические и симплициальные модели типов идентичности». arXiv : 1007.4638 [math.LO].
10. Ламсдэйн, Питер ЛеФану; Уоррен, Майкл А. (6 ноября 2014 г.). «Модель локальных вселенных: упущенная из виду конструкция когерентности для теорий зависимого типа». Транзакции ACM в вычислительной логике . 16 (3): 1–31. arXiv : 1411.1736 . дои : 10.1145/2754931. S2CID  14068103.
11. «86-е издание перипатетического семинара по пучкам и логике, Университет Анри Пуанкаре, 8-9 сентября 2007 г.» loria.fr. Архивировано из оригинала 17 декабря 2014 года . Проверено 20 декабря 2014 г.
12. Предварительный список участников PSSL86.
13. Аводи, Стив; Уоррен, Майкл А. (3 сентября 2007 г.). «Теоретико-гомотопические модели тождественных типов». Математические труды Кембриджского философского общества . 146 (1): 45. arXiv : 0709.0248 . Бибкод : 2008MPCPS.146...45А. дои : 10.1017/S0305004108001783. S2CID  7915709.
14. Воеводский, Владимир (27 сентября 2006 г.). «Очень короткая заметка о гомотопическом λ-исчислении». ucr.edu . Проверено 6 июня 2021 г.
15. ван ден Берг, Бенно; Гарнер, Ричард (1 декабря 2007 г.). «Типы — слабые омега-группоиды». Труды Лондонского математического общества . 102 (2): 370–394. arXiv : 0812.0298 . doi : 10.1112/plms/pdq026. S2CID  5575780.
16. Ламсдейн, Питер (2010). «Высшие категории из теорий типов» (PDF) (доктор философии). Университет Карнеги Меллон.
17. Заметки о гомотопическом лямбда-исчислении, март 2006 г.
18. Мартин Хетцель Эскардо (18 октября 2018 г.) Самостоятельная, краткая и полная формулировка аксиомы однолистности Воеводского.
19. Репозиторий GitHub, Uniвалентная математика.
20. Аводи, Стив; Гарнер, Ричард; Мартин-Лёф, Пер; Воеводский Владимир (27 февраля – 5 марта 2011 г.). «Мини-семинар: Гомотопическая интерпретация конструктивной теории типов» (PDF) . Отчеты Обервольфаха . Математический научно-исследовательский институт Обервольфаха: 609–638. дои : 10.4171/OWR/2011/11 . Проверено 6 июня 2021 г.
21. Репозиторий GitHub, Андрей Бауэр, Теория гомотопии в Coq
22. Бауэр, Андрей; Воеводский Владимир (29 апреля 2011 г.). «Основная теория гомотопических типов». Гитхаб . Проверено 6 июня 2021 г.
23. Репозиторий GitHub, Теория гомотопических типов.
24. Шульман, Майкл (2015). «Онивалентность обратных диаграмм и гомотопическая каноничность». Математические структуры в информатике . 25 (5): 1203–1277. arXiv : 1203.3253 . дои : 10.1017/S0960129514000565. S2CID  13595170.
25. Ликата, Дэниел Р.; Харпер, Роберт (21 июля 2011 г.). «Каноничность двумерной теории типов» (PDF) . Университет Карнеги Меллон . Проверено 6 июня 2021 г.
26. Блог о гомотопической теории типов и одновалентных основаниях
27. Блог теории гомотопических типов
28. Теория типов и одновалентные основы
29. ^ ПрограммаГомотопическая теория типов: одновалентные основы математики. Институт перспективных исследований.
30. Теория гомотопических типов: Ссылки
31. Математическая школа IAS: Специальный год по универсальным основам математики
32. Официальный анонс книги HoTT, автор Стив Аводи, 20 июня 2013 г.
33. Монро, Д. (2014). «Новый тип математики?». Связь АКМ . 57 (2): 13–15. дои : 10.1145/2557446. S2CID  6120947.
34. Шульман, Майк (20 июня 2013 г.). «Книга ХоТТ». Кафе «Н-Категория» . Проверено 6 июня 2021 г. - через Техасский университет.
35. Бауэр, Андрей (20 июня 2013 г.). «Книга ХоТТ». Математика и вычисления . Проверено 6 июня 2021 г.
36. Обзоры вычислений ACM . «Лучшее 2013 года».
37. Мейер, Флориан (3 сентября 2014 г.). «Новый фундамент математики». Журнал НИОКР . Проверено 29 июля 2021 г.
38. Соякова, Кристина (2015). Высшие индуктивные типы как гомотопически-начальные алгебры. POPL 2015. arXiv : 1402.0761 . дои : 10.1145/2676726.2676983.
39. Коэн, Сирил; Коканд, Тьерри; Хубер, Саймон; Мёртберг, Андерс (2015). Теория кубического типа: конструктивная интерпретация аксиомы однолистности. ТИПЫ 2015.
40. Ангили, Карло; Фавония; Харпер, Роберт (2018). Декартова кубическая теория вычислительных типов: конструктивные рассуждения с путями и равенствами (PDF) . Информатика Логика 2018 . Проверено 26 августа 2018 г.(появиться)

Библиография

• Программа Uniвалентных фондов (2013). Гомотопическая теория типов: одновалентные основы математики. Принстон, Нью-Джерси: Институт перспективных исследований . МР  3204653.(Версия GitHub указана в этой статье.)
• Аводи, С. ; Уоррен, Массачусетс (январь 2009 г.). «Теоретико-гомотопические модели типов идентичности». Математические труды Кембриджского философского общества . 146 (1): 45–55. arXiv : 0709.0248 . Бибкод : 2008MPCPS.146...45А. дои : 10.1017/S0305004108001783. S2CID  7915709.В формате PDF.
• Аводи, Стив (2012). «Теория типов и гомотопия» (PDF) . В Дюбьере, П.; Линдстрем, Стен; Палмгрен, Эрик; и другие. (ред.). Эпистемология против онтологии . Логика, эпистемология и единство науки. Спрингер. стр. 183–201. CiteSeerX  10.1.1.750.3626 . дои : 10.1007/978-94-007-4435-6_9. ISBN 978-94-007-4434-9. S2CID  4499538.
• Аводи, Стив (2014). «Структурализм, инвариантность и одновалентность». Философия Математика . 22 (1): 1–11. CiteSeerX  10.1.1.691.8113 . дои : 10.1093/philmat/nkt030.
• Хофманн, Мартин; Штрайхер, Томас (1998). «Группоидная интерпретация теории типов». В Самбине, Г.; Смит, Дж. М. (ред.). Двадцать пять лет конструктивной теории типов . Кларендон Пресс. стр. 83–112. ISBN 978-0-19-158903-4.Как постскриптум.
• Рийке, Эгберт (2012). Гомотопическая теория типов (PDF) (магистратура). Утрехтский университет.
• Воеводский, Владимир (2006), Очень краткая заметка о гомотопическом лямбда-исчислении (PDF)
• Воеводский, Владимир (2010), Аксиома эквивалентности и одновалентные модели теории типов , arXiv : 1402.5556 , Bibcode : 2014arXiv1402.5556V
• Уоррен, Майкл А. (2008). Гомотопические теоретические аспекты конструктивной теории типов (PDF) (доктор философии). Университет Карнеги Меллон.

дальнейшее чтение

• Дэвид Корфилд (2020), Модальная теория гомотопических типов: перспективы новой логики философии , Oxford University Press.
• Эгберт Рийке (2022), Введение в теорию гомотопических типов , arXiv : 2212.11082. Вводный учебник.

Внешние ссылки

• Теория гомотопических типов
• Теория гомотопических типов в n Lab
• Вики теории гомотопических типов
• Сайт Владимира Воеводского, посвященный Uniвалентным фондам
• Гомотопическая теория типов и одновалентные основания математики, Стив Аводи
• «Конструктивная теория типов и гомотопия» - видеолекция Стива Аводи в Институте перспективных исследований.

Библиотеки формализованной математики

• Библиотека фондов (с 2010 г. по настоящее время)
• Библиотека HoTT (с 2011 г. по настоящее время), 30 января 2022 г.
• Библиотека П-адикс (2011-2012)
• Библиотека RezkCompletion, январь 2022 г.(теперь интегрирован в UniMath, где происходит дальнейшее развитие)
• Библиотека теории
• Библиотека UniMath (с 2014 г. по настоящее время), 25 января 2022 г.