Гиперболическое пространство

Неевклидова геометрия

Перспективная проекция додекаэдрической мозаики в H 3 .
Четыре додекаэдра встречаются на каждом ребре, и восемь встречаются на каждой вершине, как кубы кубической мозаики в E 3

В математике гиперболическое пространство размерности n — это единственное односвязное n - мерное риманово многообразие постоянной секционной кривизны , равной −1. ^[1] Оно однородно и удовлетворяет более сильному свойству быть симметричным пространством . Существует много способов построить его как открытое подмножество с явно записанной римановой метрикой; такие конструкции называются моделями. Гиперболическое 2-пространство H ² , которое было первым изученным примером, также называется гиперболической плоскостью . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Иногда его также называют пространством Лобачевского или пространством Бойяи–Лобачевского по имени автора, который первым опубликовал работу по теме гиперболической геометрии . Иногда добавляется квалификатор «реальный», чтобы отличить его от комплексных гиперболических пространств , кватернионных гиперболических пространств и октононной гиперболической плоскости, которые являются другими симметричными пространствами отрицательной кривизны.

Гиперболическое пространство служит прототипом гиперболического пространства Громова , которое является далеко идущим понятием, включающим дифференциально-геометрические, а также более комбинаторные пространства посредством синтетического подхода к отрицательной кривизне. Другим обобщением является понятие пространства CAT(−1) .

Формальное определение и модели

Определение

-мерное гиперболическое пространство или гиперболическое -пространство , обычно обозначаемое , является единственным односвязным, -мерным полным римановым многообразием с постоянной отрицательной секционной кривизной, равной −1. ^[1] Единственность означает, что любые два римановых многообразия, удовлетворяющие этим свойствам, изометричны друг другу. Это следствие теоремы Киллинга–Хопфа . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Модели гиперболического пространства

Чтобы доказать существование такого пространства, как описано выше, можно явно построить его, например, как открытое подмножество с римановой метрикой, заданной простой формулой. Существует много таких конструкций или моделей гиперболического пространства, каждая из которых подходит для различных аспектов его изучения. Они изометричны друг другу согласно предыдущему параграфу, и в каждом случае явная изометрия может быть явно задана. Вот список наиболее известных моделей, которые более подробно описаны в их одноименных статьях: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• Модель полуплоскости Пуанкаре : это верхняя половина пространства с метрикой ${\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}>0\}}$ ${\displaystyle {\tfrac {dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}{x_{n}^{2}}}}$
• Модель диска Пуанкаре : это единичный шар с метрикой . Изометрия полупространственной модели может быть реализована путем гомографии, отправляющей точку единичной сферы в бесконечность. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 4{\tfrac {dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}{(1-(x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}))^{2}}}}$
• Модель гиперболоида : В отличие от предыдущих двух моделей эта реализует гиперболическое -пространство как изометрически вложенное внутрь -мерного пространства Минковского (которое не является римановым, а скорее лоренцевым многообразием ). Точнее, если посмотреть на квадратичную форму на , ее ограничение на касательные пространства верхнего листа гиперболоида, заданные как , определенно положительны, следовательно, они наделяют его римановой метрикой, которая оказывается постоянной кривизной −1. Изометрия к предыдущим моделям может быть реализована путем стереографической проекции с гиперболоида на плоскость , принимая вершину, из которой проецируется, за шар и точку на бесконечности в конусе внутри проективного пространства за полупространство. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-x_{n+1}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle q(x)=-1}$ ${\displaystyle \{x_{n+1}=0\}}$ ${\displaystyle (0,\ldots ,0,1)}$ ${\displaystyle q(x)=0}$
• Модель Бельтрами–Клейна : Это еще одна модель, реализованная на единичном шаре ; вместо того, чтобы задавать ее как явную метрику, ее обычно представляют как полученную с помощью стереографической проекции из модели гиперболоида в пространстве Минковского на ее горизонтальную касательную плоскость (то есть ) из начала координат . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{n+1}=1}$ ${\displaystyle (0,\ldots ,0)}$
• Симметричное пространство: Гиперболическое -пространство может быть реализовано как симметричное пространство простой группы Ли (группы изометрий квадратичной формы с положительным определителем); как множество последнее является пространством смежных классов . Изометрия к модели гиперболоида получается непосредственно через действие связной компоненты на гиперболоид. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)/\mathrm {O} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$

Геометрические свойства

Параллельные линии

Гиперболическое пространство, разработанное независимо Николаем Лобачевским , Яношем Бойяи и Карлом Фридрихом Гауссом , является геометрическим пространством, аналогичным евклидову пространству , но таким, что постулат параллельности Евклида больше не предполагается верным. Вместо этого постулат параллельности заменяется следующей альтернативой (в двух измерениях):

• Для любой прямой L и точки P, не лежащей на  L , существуют по крайней мере две различные прямые, проходящие через P , которые не пересекают  L.

Тогда это теорема о том, что существует бесконечно много таких прямых через P . Эта аксиома все еще не характеризует гиперболическую плоскость однозначно с точностью до изометрии ; есть дополнительная константа, кривизна K < 0 , которая должна быть указана. Однако она однозначно характеризует ее с точностью до гомотетии , то есть с точностью до биекций, которые изменяют понятие расстояния только на общую константу. Выбрав подходящий масштаб длины, можно, таким образом, предположить, без потери общности, что K = −1 .

Евклидовы вложения

Гиперболическая плоскость не может быть изометрически вложена в евклидово 3-пространство по теореме Гильберта . С другой стороны, теорема вложения Нэша подразумевает, что гиперболическое n-пространство может быть изометрически вложено в некоторое евклидово пространство большей размерности (5 для гиперболической плоскости по теореме вложения Нэша).

При изометрическом вложении в евклидово пространство каждая точка гиперболического пространства является седловой точкой .

Рост объема и изопериметрическое неравенство

Объем шаров в гиперболическом пространстве увеличивается экспоненциально по отношению к радиусу шара, а не полиномиально, как в евклидовом пространстве. А именно, если — любой шар радиуса в , то: где — полный объем евклидовой -сферы радиуса 1. ${\displaystyle B(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ $${\displaystyle \mathrm {Vol} (B(r))=\mathrm {Vol} (S^{n-1})\int _{0}^{r}\sinh ^{n-1}(t)dt}$$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle (n-1)}$

Гиперболическое пространство также удовлетворяет линейному изопериметрическому неравенству , то есть существует константа такая, что любой вложенный диск, граница которого имеет длину, имеет площадь не более . Это следует противопоставить евклидову пространству, где изопериметрическое неравенство является квадратичным. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle i\cdot r}$

Другие метрические свойства

Существует еще много метрических свойств гиперболического пространства, которые отличают его от евклидова пространства. Некоторые из них можно обобщить до случая гиперболических пространств Громова, что является обобщением понятия отрицательной кривизны на общие метрические пространства с использованием только крупномасштабных свойств. Более тонким понятием является понятие CAT(−1)-пространства.

Гиперболические многообразия

Каждое полное , связное , односвязное многообразие постоянной отрицательной кривизны −1 изометрично действительному гиперболическому пространству  H ⁿ . В результате универсальная накрывающая любого замкнутого многообразия M постоянной отрицательной кривизны −1, то есть гиперболического многообразия , есть H ⁿ . Таким образом, каждое такое M можно записать как H ⁿ ‍ / ‍ Γ , где Γ — дискретная группа изометрий без кручения на H ⁿ . То есть Γ — решетка в SO + ( n , 1) .

Римановы поверхности

Двумерные гиперболические поверхности также можно понимать в соответствии с языком римановых поверхностей . Согласно теореме об униформизации , каждая риманова поверхность является либо эллиптической, либо параболической, либо гиперболической. Большинство гиперболических поверхностей имеют нетривиальную фундаментальную группу π ₁ = Γ ; группы, которые возникают таким образом, известны как фуксовы группы . Фактор-пространство H ² ‍ / ‍ Γ верхней полуплоскости по модулю фундаментальной группы известно как фуксова модель гиперболической поверхности. Полуплоскость Пуанкаре также является гиперболической, но односвязной и некомпактной . Она является универсальным покрытием других гиперболических поверхностей.

Аналогичной конструкцией для трехмерных гиперболических поверхностей является модель Клейна .

Смотрите также

• Поверхность Дини
• Гиперболическое 3-многообразие
• Идеальный многогранник
• Теорема жесткости Мостова
• Формула Мураками–Яно
• Псевдосфера

Ссылки

Сноски

1. Григорьян, Александр; Ногучи, Масакадзу (1998), «Тепловое ядро ​​в гиперболическом пространстве», Бюллетень Лондонского математического общества , 30 (6): 643–650, doi :10.1112/S0024609398004780, MR  1642767

Библиография

• Рэтклифф, Джон Г., Основы гиперболических многообразий , Нью-Йорк, Берлин. Springer-Verlag, 1994.
• Рейнольдс, Уильям Ф. (1993) «Гиперболическая геометрия на гиперболоиде», American Mathematical Monthly 100:442–455.
• Вольф, Джозеф А. Пространства постоянной кривизны , 1967. См. стр. 67.