Функция идентичности

График функции тождества для действительных чисел

В математике функция тождества , также называемая отношением тождества , отображением тождества или преобразованием тождества , — это функция , которая всегда возвращает значение, которое использовалось в качестве ее аргумента , неизменным. То есть, когда $f$ — функция тождества, равенство $f (x) = x$ верно для всех значений $x,$ к которым $f$ может быть применена.

Определение

Формально, если $X$ — множество , то функция тождества $f$ на $X$ определяется как функция с $X$ в качестве области определения и области значений , удовлетворяющая условию

f (x) = x

для всех элементов

x

X

.^[1]

Другими словами, значение функции $f (x)$ в области значений $X$ всегда совпадает с входным элементом $x$ в области значений $X.$ Функция тождества на $X,$ очевидно, является как инъективной, так и сюръективной функцией (ее область значений также является ее областью значений ), поэтому она биективна . ^[2]

Функция тождественности $f$ на $X$ часто обозначается как $id X.$

В теории множеств , где функция определяется как особый вид бинарного отношения $,$ функция тождества задается отношением тождества или диагональю X. ^[3 ]

Алгебраические свойства

Если $f : X \to Y$ — любая функция, то $f$ ∘ $id$ $X$ $=$ $f$ $= id$ $Y$ $\circ$ $f$ , где «∘» обозначает композицию функций . ^[4] В частности, $id X$ — это единичный элемент моноида всех функций из $X$ в $X$ (при композиции функций).

Поскольку элемент тождества моноида уникален , ^[5] можно альтернативно определить функцию тождества на $M как этот элемент тождества$ $.$ Такое определение обобщается до концепции морфизма тождества в теории категорий , где эндоморфизмы M не обязательно должны быть функциями.

Характеристики

Функция тождества является линейным оператором при применении к векторным пространствам . ^[6]
В $n$ - мерном векторном пространстве функция тождества представлена единичной матрицей $I n$ , независимо от выбранного базиса пространства. ^[7]
Функция тождества для положительных целых чисел является полностью мультипликативной функцией (по сути, умножением на 1), рассматриваемой в теории чисел . ^[8]
В метрическом пространстве функция тождества тривиально является изометрией . Объект без какой-либо симметрии имеет в качестве своей группы симметрии тривиальную группу, содержащую только эту изометрию (тип симметрии $C 1$ ). ^[9]
В топологическом пространстве функция тождества всегда непрерывна . ^[10]
Функция тождества является идемпотентной . ^[11]

Смотрите также

Ссылки

^ Кнапп, Энтони В. (2006), Основы алгебры , Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
^ Мапа, Садхан Кумар (7 апреля 2014 г.). Высшая алгебра, абстрактная и линейная (11-е изд.). Sarat Book House. стр. 36. ISBN 978-93-80663-24-1.
^ Труды симпозиумов по чистой математике. Американское математическое общество. 1974. стр. 92. ISBN 978-0-8218-1425-3. ...тогда диагональное множество, определяемое M, является отношением тождества...
^ Нел, Луис (2016). Теория непрерывности. стр. 21. doi :10.1007/978-3-319-31159-3. ISBN 978-3-319-31159-3.
^ Росалес, JC; Гарсиа-Санчес, Пенсильвания (1999). Конечно порожденные коммутативные моноиды. Издательство Нова. п. 1. ISBN 978-1-56072-670-8. Элемент 0 обычно называют элементом идентичности, и если он существует, то он уникален.
^ Антон, Говард (2005), Элементарная линейная алгебра (версия приложений) (9-е изд.), Wiley International
^ TS Shores (2007). Прикладная линейная алгебра и матричный анализ. Бакалаврские тексты по математике. Springer. ISBN 978-038-733-195-9.
^ D. Marshall; E. Odell; M. Starbird (2007). Теория чисел через исследование . Учебники математической ассоциации Америки. Математическая ассоциация Америки. ISBN 978-0883857519.
^ Джеймс У. Андерсон , Гиперболическая геометрия , Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9
^ Коновер, Роберт А. (2014-05-21). Первый курс топологии: Введение в математическое мышление. Courier Corporation. стр. 65. ISBN 978-0-486-78001-6.
^ Конференции, Мичиганский университет Инженерное лето (1968). Основы инженерии информационных систем. мы видим, что элемент тождества полугруппы является идемпотентным.