В математике тождественная функция , также называемая тождественным отношением , тождественной картой или тождественным преобразованием , — это функция , которая всегда возвращает неизменным значение, которое использовалось в качестве ее аргумента . То есть, когда f является тождественной функцией, равенство f ( x ) = x верно для всех значений x , к которым может быть применено f .
Формально, если X — множество , тождественная функция f на X определяется как функция с X в качестве области определения и кодомена , удовлетворяющая условиям
Другими словами, значение функции f ( x ) в кодомене X всегда совпадает со входным элементом x в домене X . Функция идентичности на X , очевидно, является инъективной функцией , а также сюръективной функцией , поэтому она биективна . [2]
Тождественная функция f на X часто обозначается id X .
В теории множеств , где функция определяется как особый вид бинарного отношения , тождественная функция задается тождественным отношением или диагональю X. [3]
Если f : X → Y — любая функция, то имеем f ∘ id X = f = id Y ∘ f (где «∘» обозначает композицию функции ). В частности, id X является единичным элементом моноида всех функций от X до X ( при композиции функций).
Поскольку единичный элемент моноида уникален , [4] можно альтернативно определить тождественную функцию на M как этот единичный элемент. Такое определение обобщает концепцию тождественного морфизма в теории категорий , где эндоморфизмы M не обязательно должны быть функциями .
...тогда диагональный набор, определяемый M, является тождественным отношением...
Элемент 0 обычно называют идентификационным элементом, и если он существует, он уникален.
мы видим, что единичный элемент полугруппы идемпотентен.