Если и только если

Логическая связка

↔⇔≡⟺
Логические символы, обозначающие iff  

В логике и смежных областях, таких как математика и философия , « тогда и только если » (сокращенно « iff ») — это двуусловная логическая связка ^[1] между утверждениями, где либо оба утверждения истинны, либо оба ложны. Связка является двуусловной (утверждение о материальной эквивалентности ), ^[2] и может быть уподоблена стандартному материальному условию («только если», равному «если… то») в сочетании с его обратным («если»); отсюда и название. В результате истинность любого из связанных утверждений требует истинности другого (т.е. либо оба утверждения истинны, либо оба ложны), хотя остается спорным вопрос о том, правильно ли определённая таким образом связка переводится в английском языке «if и только если» — с его ранее существовавшим смыслом. Например, P тогда и только тогда, когда Q означает, что P истинно всякий раз, когда Q истинно, и единственный случай, в котором P истинно, — это если Q также истинно, тогда как в случае P if Q могут быть и другие сценарии, когда P истинно, а Q ложно.

В письменной речи фразы, обычно используемые в качестве альтернативы P «тогда и только если» Q, включают: Q необходимо и достаточно для P , для P необходимо и достаточно, чтобы Q , P был эквивалентен (или материально эквивалентен) Q (сравните с материальная импликация ), P точно, если Q , P точно (или точно), когда Q , P точно в случае Q и P только в случае Q. ^[3] Некоторые авторы считают «iff» непригодным для формального письма; ^[4] другие считают это «пограничным случаем» и терпят его использование. ^[5] В логических формулах вместо этих фраз используются логические символы, такие как и , ^{[6] ;} см. § Обозначения ниже. ${\displaystyle \leftrightarrow }$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$

Определение

Таблица истинности P Q выглядит следующим образом: ^{[7] [8} ] ${\displaystyle \Leftrightarrow }$

Это эквивалентно тому, что создается логическим элементом «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ» , и противоположно тому, которое создается логическим элементом «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ» . ^[9]

Применение

Обозначения

Соответствующие логические символы: " ", " ", ^[6] и , ^[10] и иногда "iff". Обычно они рассматриваются как эквивалентные. Однако в некоторых текстах по математической логике (особенно по логике первого порядка , а не по логике высказываний ) проводится различие между ними: первый, ↔, используется как символ в логических формулах, а ⇔ используется в рассуждениях о эти логические формулы (например, в металогике ). В польской системе обозначений Лукасевича это префиксный символ . ^[11] ${\displaystyle \leftrightarrow }$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle E}$

Другой термин для обозначения логической связки , т. е. символа в логических формулах, не является ни исключающим, ни .

В TeX «тогда и только если» отображается как длинная двойная стрелка: с помощью команды \iff или \Longleftrightarrow. ^[12] ${\displaystyle \iff }$

Доказательства

В большинстве логических систем утверждение вида «P тогда и только тогда Q» доказывается либо «если P, то Q» и «если Q, то P», либо «если P, то Q» и «если не-P» . , то не-Q». Доказательство этих пар утверждений иногда приводит к более естественному доказательству, поскольку не существует очевидных условий, при которых можно было бы напрямую вывести двуусловие. Альтернативой является доказательство дизъюнкции «(P и Q) или (не-P и не-Q)», которая сама по себе может быть выведена непосредственно из любого из ее дизъюнктов, то есть потому, что «iff» является истинностно-функциональным , P тогда и только тогда, когда Q" следует, если было доказано, что P и Q оба истинны или оба ложны.

Происхождение слова iff и произношение

Использование аббревиатуры «iff» впервые появилось в печати в книге Джона Л. Келли «Общая топология» 1955 года . ^[13] Его изобретение часто приписывают Полу Халмошу , который написал: «Я изобрел слово «если и только если» — но я никогда не мог поверить, что я действительно был его первым изобретателем». ^[14]

Несколько неясно, как должно было произноситься слово «iff». В современной практике одно слово «iff» почти всегда читается как четыре слова «тогда и только если». Однако в предисловии к «Общей топологии» Келли предлагает читать ее по-другому: «В некоторых случаях, когда математическое содержание требует «тогда и только тогда», а эвфония требует чего-то меньшего, я использую «ифф» Халмоша». Авторы одного учебника по дискретной математике предлагают: ^[15] «Если вам нужно произнести iff, действительно держитесь за «ff» , чтобы люди услышали разницу с «if», подразумевая, что «iff» можно произносить как [ ɪfː] .

Использование в определениях

Обычно определения представляют собой утверждения типа «тогда и только если»; некоторые тексты, такие как «Общая топология» Келли , следуют этому соглашению и используют «тогда и только тогда» или iff в определениях новых терминов. ^[16] Однако такое использование фразы «если и только если» встречается относительно редко и упускает из виду тот лингвистический факт, что «если» в определении интерпретируется как означающее «тогда и только если». Большинство учебников, исследовательских работ и статей (включая статьи в английской Википедии) следуют лингвистическому соглашению, интерпретирующему «если» как «тогда и только тогда», когда речь идет о математическом определении (например, «топологическое пространство компактно, если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие»). ^[17] Более того, в случае рекурсивного определения единственная половина определения интерпретируется как предложение на метаязыке, утверждающее, что предложения в определении предиката являются единственными предложениями , определяющими расширение предиката.

Отличие от «если» и «только если»

• «Мэдисон съест фрукт, если это яблоко». (эквивалентно: « Только если Мэдисон съест фрукт, может ли это быть яблоко» или «Мэдисон съест фрукт ← фрукт — яблоко» )

  Здесь говорится, что Мэдисон будет есть яблоки. Однако это не исключает возможности того, что Мэдисон также может есть бананы или другие фрукты. Единственное, что известно наверняка, это то, что она съест любые яблоки, которые ей попадутся. То, что фруктом является яблоко, является достаточным условием для того, чтобы Мэдисон съела этот фрукт.

• «Мэдисон съест фрукт, только если это яблоко». (эквивалентно « Если Мэдисон съест фрукт, то это яблоко» или «Мэдисон съест фрукт → фрукт — яблоко» )

  В нем говорится, что единственный фрукт, который будет есть Мэдисон, - это яблоко. Однако это не исключает возможности того, что Мэдисон откажется от яблока, если оно будет доступно, в отличие от (1), который требует, чтобы Мэдисон съел любое доступное яблоко. В этом случае тот факт, что данным фруктом является яблоко, является необходимым условием для того, чтобы Мэдисон его съел. Это не является достаточным условием, поскольку Мэдисон может не съесть все яблоки, которые ей дают.

• «Мэдисон съест этот фрукт тогда и только тогда, когда это яблоко». (эквивалент «Мэдисон съест фрукт ↔ фрукт — яблоко» )

  Это заявление ясно дает понять, что Мэдисон будет есть все и только те фрукты, которые являются яблоками. Она не оставит ни одного яблока несъеденным и не будет есть никаких других фруктов. Тот факт, что данный фрукт является яблоком, является одновременно необходимым и достаточным условием для того, чтобы Мэдисон съел этот фрукт.

Достаточность – это противоположность необходимости. Другими словами, при P → Q (т.е. если P, то Q ) , P будет достаточным условием для Q , а Q будет необходимым условием для P. Кроме того, учитывая P → Q , верно, что ¬Q → ¬P (где ¬ — оператор отрицания, т.е. «нет»). Это означает, что связь между P и Q , установленная P → Q , может быть выражена следующими, все эквивалентными способами:

P достаточно для Q

Q необходим для P

¬Q достаточно для ¬P

¬P необходим для ¬Q

В качестве примера возьмем первый пример выше, в котором говорится P → Q , где P — «рассматриваемый фрукт — яблоко», а Q — «Мэдисон съест рассматриваемый фрукт». Ниже приведены четыре эквивалентных способа выражения этой самой связи:

Если рассматриваемый фрукт — яблоко, то Мэдисон его съест.

Только если Мэдисон съест рассматриваемый фрукт, будет ли это яблоко.

Если Мэдисон не будет есть рассматриваемый фрукт, то это не яблоко.

Только если рассматриваемый фрукт не является яблоком, Мэдисон не съест его.

Здесь второй пример можно переформулировать в форме « если… то» как «Если Мэдисон съест рассматриваемый фрукт, то это яблоко»; рассматривая это в сочетании с первым примером, мы обнаруживаем, что третий пример можно сформулировать так: «Если рассматриваемый фрукт — яблоко, то Мэдисон съест его; а если Мэдисон съест этот фрукт, то это яблоко».

В терминах диаграмм Эйлера

• 
  A является собственным подмножеством B . Число находится в A только в том случае, если оно находится в B ; число находится в B , если оно находится в A.
• 
  C является подмножеством, но не собственным подмножеством B. Число находится в B тогда и только тогда, когда оно находится в C , а число находится в C тогда и только тогда, когда оно находится в B.

Диаграммы Эйлера показывают логические связи между событиями, свойствами и т. д. «P только если Q», «если P, то Q» и «P→Q» означают, что P является подмножеством Q , правильным или неправильным. «P если Q», «если Q, то P» и Все Q→P означают, что Q является правильным или неправильным подмножеством P. «P тогда и только тогда, когда Q» и «Q тогда и только тогда, когда P» означают, что множества P и Q идентичны друг другу.

Более общее использование

Ifff используется и за пределами логики. Везде, где применяется логика, особенно в математических дискуссиях, она имеет то же значение, что и выше: это сокращение от if и only if , указывающее, что одно утверждение одновременно необходимо и достаточно для другого. Это пример математического жаргона (хотя, как отмечалось выше, в формулировках определения чаще используется if , чем iff ).

Все элементы X являются элементами Y , что означает: «Для любого z в области дискурса z находится в X тогда и только тогда, когда z находится в Y ».

Когда «если» означает «тогда и только если»

В своей работе «Искусственный интеллект : современный подход» Рассел и Норвиг отмечают (стр. 282), ^[18] , что, по сути, часто более естественно выражать тогда и только тогда, когда как бы вместе с «семантикой базы данных (или логического программирования)». . Они приводят пример английского предложения «У Ричарда есть два брата, Джеффри и Джон».

В базе данных или логической программе это можно представить просто двумя предложениями:

Брат(Ричард, Джеффри).

Брат (Ричард, Джон).

Семантика базы данных интерпретирует базу данных (или программу) как содержащую все и только те знания, которые необходимы для решения проблем в данной области. Он интерпретирует только в том случае, если на метаязыке выражается то, что предложения в базе данных представляют собой единственное знание , которое следует учитывать при выводе выводов из базы данных.

В логике первого порядка (FOL) со стандартной семантикой одно и то же английское предложение должно быть представлено с использованием if и only if , только если интерпретировано на объектном языке, в такой форме, как:

${\displaystyle \forall }$X(Брат(Ричард, X) тогда и только тогда, когда X = Джеффри или X = Джон).

Джеффри ≠ Джон.

По сравнению со стандартной семантикой для FOL семантика базы данных имеет более эффективную реализацию. Вместо рассуждений предложениями вида:

вывод, если и только если условия

он использует предложения вида:

вывод, если условия

рассуждать вперед от условий к выводам или назад от выводов к условиям .

Семантика базы данных аналогична юридическому принципу expressio unius est exclusio alterius (явное упоминание одной вещи исключает все остальные). Более того, он лежит в основе применения логического программирования для представления юридических текстов и юридических рассуждений. ^[19]

Смотрите также

• Определение
• Отношение эквивалентности
• Логическое двуусловие
• Логическое равенство
• Логическая эквивалентность
• Тогда и только тогда, когда в логических программах
• Полисиллогизм

Рекомендации

1. «Логические связи». site.millersville.edu . Проверено 10 сентября 2023 г.
2. Копи, ИМ; Коэн, К.; Флагж, Делавэр (2006). Основы логики (второе изд.). Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Pearson Education. п. 197. ИСБН 978-0-13-238034-8.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Если бы». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Iff.html Архивировано 13 ноября 2018 г. в Wayback Machine.
4. Например , Даепп, Ульрих; Горкин, Памела (2011), Чтение, письмо и доказательство: более пристальный взгляд на математику, Тексты для студентов по математике , Springer, стр. 52, ISBN 9781441994790, Хотя это может реально сэкономить время, мы не рекомендуем это делать в официальном письменном виде.
5. Ротвелл, Эдвард Дж.; Клауд, Майкл Дж. (2014), «Инженерное письмо по дизайну: создание официальных документов непреходящей ценности», CRC Press, стр. 98, ISBN 9781482234312, Это часто встречается в математических трудах
6. Пейл, Тимоти. «Кондиционалы и бикондиционалы». web.mnstate.edu . Архивировано из оригинала 24 октября 2020 года . Проверено 4 сентября 2020 г.
7. p <=> q ​​Архивировано 18 октября 2016 г. в Wayback Machine . Вольфрам|Альфа
8. Если и только если, Департамент математики UHM, заархивировано из оригинала 5 мая 2000 г. , получено 16 октября 2016 г. Теоремы, имеющие форму «P, если и только Q», очень ценятся в математике. Они дают так называемые «необходимые и достаточные» условия и предлагают совершенно эквивалентные и, будем надеяться, интересные новые способы сказать то же самое.
9. "XOR/XNOR/Ворота нечетной четности/четности" . www.cburch.com . Архивировано из оригинала 7 апреля 2022 года . Проверено 22 октября 2019 г.
10. Вайсштейн, Эрик В. «Эквивалент». mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 3 октября 2020 года . Проверено 4 сентября 2020 г.
11. «Ян Лукасевич> Без скобок или польская нотация Лукасевича (Стэнфордская энциклопедия философии)» . plato.stanford.edu . Архивировано из оригинала 9 августа 2019 года . Проверено 22 октября 2019 г.
12. "LaTeX: Символ" . Искусство решения проблем . Архивировано из оригинала 22 октября 2019 года . Проверено 22 октября 2019 г.
13. Общая топология, переиздание ISBN 978-0-387-90125-1 
14. Николас Дж. Хайэм (1998). Справочник письма по математическим наукам (2-е изд.). СИАМ. п. 24. ISBN 978-0-89871-420-3.
15. Маурер, Стивен Б.; Ралстон, Энтони (2005). Дискретная алгоритмическая математика (3-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. п. 60. ИСБН 1568811667.
16. Например, из «Общей топологии» , с. 25: «Множество счетно тогда и только тогда, когда оно конечно или счетно бесконечно». [жирный шрифт в оригинале]
17. Кранц, Стивен Г. (1996), Букварь математического письма , Американское математическое общество, стр. 71, ISBN 978-0-8218-0635-7
18. Рассел, Стюарт Дж .; Норвиг, Питер (2020) [1995]. Искусственный интеллект: современный подход (4-е изд.). Прентис Холл . п. 1136. ИСБН 978-0-13-461099-3. ОСЛК  359890490.
19. Ковальски Р., Давила Дж., Сартор Г. и Калехо М., 2023. Логический английский для права и образования. http://www.doc.ic.ac.uk/~rak/papers/Logical%20English%20for%20Law%20and%20Education%20.pdf В Прологе: Следующие 50 лет (стр. 287-299). Чам: Springer Nature, Швейцария.

Внешние ссылки

• «Таблицы истинности тогда и только тогда». Архивировано из оригинала 5 мая 2000 года.
• Языковой журнал: «На всякий случай»
• Философия Южной Калифорнии для аспирантов-философов: «На всякий случай»