Квадратное поле

Поле (математика), генерируемое квадратным корнем целого числа

В алгебраической теории чисел квадратичное поле — это алгебраическое числовое поле степени два над рациональными числами . ${\displaystyle \mathbf {Q} }$

Каждое такое квадратичное поле является некоторым , где является (однозначно определенным) целым числом без квадратов, отличным от и . Если , соответствующее квадратичное поле называется действительным квадратичным полем , а если , оно называется мнимым квадратичным полем или комплексным квадратичным полем , в зависимости от того, является ли оно подполем поля действительных чисел . ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle d<0}$

Квадратичные поля были изучены очень глубоко, первоначально как часть теории бинарных квадратичных форм . Остаются некоторые нерешенные проблемы. Проблема числа классов особенно важна.

Кольцо целых чисел

Дискриминант

Для ненулевого свободного от квадратов целого числа дискриминант квадратичного поля равен , если сравнимо по модулю , а в противном случае . Например, если равно , то есть поле гауссовых рациональных чисел , а дискриминант равен . Причина такого различия в том, что кольцо целых чисел порождается в первом случае и во втором случае. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 4d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle -4}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (1+{\sqrt {d}})/2}$ ${\displaystyle {\sqrt {d}}}$

Набор дискриминантов квадратичных полей — это в точности набор фундаментальных дискриминантов (за исключением , который является фундаментальным дискриминантом, но не дискриминантом квадратичного поля). ${\displaystyle 1}$

Разложение на простые множители в идеалы

Любое простое число порождает идеал в кольце целых чисел квадратичного поля . В соответствии с общей теорией расщепления простых идеалов в расширениях Галуа , это может быть ^[1] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p{\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle p}$инертен​

${\displaystyle (p)}$является высшим идеалом.

Фактор-кольцо — это конечное поле с элементами: . ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbf {F} _{p^{2}}}$

${\displaystyle p}$ расколы

${\displaystyle (p)}$является произведением двух различных простых идеалов . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Факторное кольцо — это произведение . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbf {F} _{p}\times \mathbf {F} _{p}}$

${\displaystyle p}$разветвленный​

${\displaystyle (p)}$является квадратом простого идеала . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Фактор-кольцо содержит ненулевые нильпотентные элементы.

Третий случай происходит тогда и только тогда, когда делит дискриминант . Первый и второй случаи происходят, когда символ Кронекера равен и , соответственно. Например, если — нечетное простое число, не делящееся , то делит тогда и только тогда, когда оно сравнимо с квадратом по модулю . Первые два случая, в определенном смысле, с равной вероятностью могут возникнуть при пробеге простых чисел — см. теорему Чеботарева о плотности . ^[2] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (D/p)}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Закон квадратичной взаимности подразумевает, что поведение расщепления простого числа в квадратичном поле зависит только от модуля , где — дискриминант поля. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

Группа класса

Определение группы классов квадратичного расширения поля может быть выполнено с использованием границы Минковского и символа Кронекера из-за конечности группы классов . ^[3] Квадратичное поле имеет дискриминант , поэтому граница Минковского равна ^[4] ${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$ $${\displaystyle \Delta _{K}={\begin{cases}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}};\end{cases}}}$$ $${\displaystyle M_{K}={\begin{cases}2{\sqrt {|\Delta |}}/\pi &d<0\\{\sqrt {|\Delta |}}/2&d>0.\end{cases}}}$$

Тогда группа классов идеалов порождается простыми идеалами, норма которых меньше . Это можно сделать, посмотрев на разложение идеалов для простого числа , где ^{[1] стр. 72} Эти разложения можно найти с помощью теоремы Дедекинда–Куммера . ${\displaystyle M_{K}}$ ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle p\in \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle |p|<M_{k}.}$

Квадратичные подполя циклотомических полей

Квадратичное подполе простого циклотомического поля

Классический пример построения квадратичного поля — взять уникальное квадратичное поле внутри кругового поля, порожденного примитивным корнем th из единицы, с нечетным простым числом. Уникальность является следствием теории Галуа , поскольку в группе Галуа над существует уникальная подгруппа индекса . Как объяснено в периоде Гаусса , дискриминант квадратичного поля равен для и для . Это также можно предсказать из достаточной теории ветвления . Фактически, является единственным простым числом, которое разветвляется в круговом поле, поэтому является единственным простым числом, которое может делить дискриминант квадратичного поля. Это исключает «другие» дискриминанты и в соответствующих случаях. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=4n+1}$ ${\displaystyle -p}$ ${\displaystyle p=4n+3}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle -4p}$ ${\displaystyle 4p}$

Другие циклотомические поля

Если взять другие циклотомические поля, то они имеют группы Галуа с дополнительным -кручением, поэтому содержат по крайней мере три квадратичных поля. В общем случае квадратичное поле дискриминанта поля может быть получено как подполе циклотомического поля -х корней из единицы. Это выражает тот факт, что проводник квадратичного поля является абсолютным значением его дискриминанта, частный случай формулы проводник-дискриминант . ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

Порядки квадратичных числовых полей малого дискриминанта

В следующей таблице показаны некоторые порядки малых дискриминантов квадратичных полей. Максимальный порядок поля алгебраических чисел — это его кольцо целых чисел , а дискриминант максимального порядка — это дискриминант поля. Дискриминант немаксимального порядка — это произведение дискриминанта соответствующего максимального порядка на квадрат определителя матрицы, выражающей базис немаксимального порядка по базису максимального порядка. Все эти дискриминанты можно определить по формуле Дискриминант поля алгебраических чисел § Определение .

Для действительных квадратичных целочисленных колец число идеального класса , которое измеряет неудачу уникальной факторизации, приведено в OEIS A003649; для мнимого случая они приведены в OEIS A000924.

Некоторые из этих примеров приведены в книге Артина «Алгебра» (2-е изд.), §13.8.

Смотрите также

• Число Эйзенштейна–Кронекера
• Характер рода
• Число Хегнера
• Инфраструктура (теория чисел)
• Квадратное целое число
• Квадратичная иррациональность
• Теорема Штарка–Хегнера
• Дзета-функция Дедекинда
• Квадратично замкнутое поле

Примечания

1. Stevenhagen. «Числовые кольца» (PDF) . стр. 36.
2. Сэмюэл 1972, стр. 76f
3. Стайн, Уильям. «Алгебраическая теория чисел, вычислительный подход» (PDF) . стр. 77–86.
4. Конрад, Кит. «РАСЧЕТЫ ГРУПП КЛАССОВ» (PDF) .

Ссылки

• Бьюэлл, Дункан (1989), Бинарные квадратичные формы: классическая теория и современные вычисления , Springer-Verlag , ISBN 0-387-97037-1Глава 6.
• Сэмюэл, Пьер (1972), Алгебраическая теория чисел (издание в твердом переплете), Париж/Бостон: Hermann/Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-901-66506-5
  • Сэмюэл, Пьер (2008), Алгебраическая теория чисел (мягкая обложка), Довер, ISBN 978-0-486-46666-8
• Стюарт, ИН ; Толл, Д.О. (1979), Алгебраическая теория чисел , Чепмен и Холл, ISBN 0-412-13840-9Глава 3.1.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Квадратичное поле". MathWorld .
• «Квадратичное поле», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]