Контроль импеданса

Управление импедансом — это подход к динамическому управлению, связывающий силу и положение. Он часто используется в приложениях, где манипулятор взаимодействует со своей средой, и отношение силы к положению вызывает беспокойство. Примерами таких приложений являются люди, взаимодействующие с роботами, где сила, создаваемая человеком, связана с тем, насколько быстро робот должен двигаться/останавливаться. Более простые методы управления, такие как управление положением или управление крутящим моментом, плохо работают, когда манипулятор сталкивается с контактами. Таким образом, управление импедансом обычно используется в этих настройках.

Механическое сопротивление — это отношение выходной силы к входному движению. Это аналогично электрическому сопротивлению, которое является отношением выходного напряжения к входному току (например, сопротивление — это напряжение, деленное на ток). «Постоянная пружины» определяет выходную силу для смещения (растяжения или сжатия) пружины. «Постоянная затухания» определяет выходную силу для входной скорости. Если мы контролируем импеданс механизма, мы контролируем силу сопротивления внешним движениям, которые налагаются окружающей средой.

Механическая проводимость является обратной величиной импеданса — она определяет движения, возникающие в результате воздействия силы. Если механизм прикладывает силу к среде, среда будет двигаться или не двигаться в зависимости от ее свойств и приложенной силы. Например, мрамор, лежащий на столе, будет реагировать на данную силу совсем иначе, чем бревно, плавающее в озере.

Ключевая теория, лежащая в основе метода, заключается в том, чтобы рассматривать среду как доступ , а манипулятор как импеданс . Он предполагает постулат, что «ни один контроллер не может заставить манипулятор казаться среде чем-то иным, кроме физической системы». Это эмпирическое правило можно также сформулировать так: «в наиболее распространенном случае, когда среда является доступом (например, массой, возможно, кинематически ограниченной), это отношение должно быть импедансом, функцией, возможно, нелинейной, динамической или даже прерывистой, определяющей силу, производимую в ответ на движение, налагаемое средой». ^[1]

Принцип

Управление импедансом не просто регулирует силу или положение механизма. Вместо этого оно регулирует соотношение между силой и положением, с одной стороны, и скоростью и ускорением, с другой стороны, т. е. сопротивление механизма. Оно требует положение (скорость или ускорение) в качестве входных данных и имеет результирующую силу в качестве выходных данных. Обратным значением импеданса является проводимость. Оно накладывает положение. Таким образом, фактически контроллер накладывает поведение пружины-массы-демпфера на механизм, поддерживая динамическое соотношение между силой и положением, скоростью и ускорением : , где трение и статическая сила. ${\displaystyle ({\boldsymbol {F}})}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {a}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=M{\boldsymbol {a}}+C{\boldsymbol {v}}+K{\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {f}}+{\boldsymbol {s}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$

Массы ( ) и пружины (с жесткостью ) являются элементами хранения энергии, тогда как демпфер (с демпфированием ) является устройством рассеивания энергии. Если мы можем контролировать импеданс, мы можем контролировать обмен энергией во время взаимодействия, т. е. выполняемую работу. Таким образом, управление импедансом является управлением взаимодействием. ^[2] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C}$

Обратите внимание, что механические системы по своей сути многомерны — типичная рука робота может размещать объект в трех измерениях ( координатах) и в трех ориентациях (например, крен, тангаж, рыскание). Теоретически контроллер импеданса может заставить механизм демонстрировать многомерный механический импеданс. Например, механизм может действовать очень жестко вдоль одной оси и очень податливо вдоль другой. Компенсируя кинематику и инерцию механизма, мы можем ориентировать эти оси произвольно и в различных системах координат. Например, мы можем сделать держатель детали робота очень жестким по касательной к шлифовальному кругу, при этом очень податливым (контролируя силу с небольшой заботой о положении) по радиальной оси круга. ${\displaystyle (x,y,z)}$

Математические основы

Суставное пространство

Неуправляемый робот может быть выражен в лагранжевой формуле как

где обозначает угловое положение соединения, - симметричная и положительно определенная матрица инерции, кориолисов и центробежный момент, гравитационный момент, включает в себя дополнительные моменты, например, от собственной жесткости, трения и т. д., и суммирует все внешние силы из окружающей среды. Момент срабатывания с левой стороны является входной переменной для робота. ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {c}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {g}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {h}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {ext} }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$

Можно предложить закон управления следующего вида:

где обозначает желаемое угловое положение шарнира, и — управляющие параметры, а , , , и — внутренняя модель соответствующих механических членов. ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}_{\mathrm {d} }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {M}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {c}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {g}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {h}}}}$

Подставив ( 2 ) в ( 1 ), получим уравнение замкнутой системы (управляемого робота):

${\displaystyle {\boldsymbol {K}}({\boldsymbol {q}}_{\mathrm {d} }-{\boldsymbol {q}})+{\boldsymbol {D}}({\dot {\boldsymbol {q}}}_{\mathrm {d} }-{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\boldsymbol {M}}({\boldsymbol {q}})({\ddot {\boldsymbol {q}}}_{\mathrm {d} }-{\ddot {\boldsymbol {q}}})={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {ext} }.}$

Пусть , получаем ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}={\boldsymbol {q}}_{\mathrm {d} }-{\boldsymbol {q}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {K}}{\boldsymbol {e}}+{\boldsymbol {D}}{\dot {\boldsymbol {e}}}+{\boldsymbol {M}}{\ddot {\boldsymbol {e}}}={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {ext} }}$

Поскольку матрицы и имеют размерность жесткости и затухания, их обычно называют матрицами жесткости и затухания соответственно. Очевидно, что управляемый робот по сути является многомерным механическим импедансом (масса-пружина-демпфер) к окружающей среде, что рассматривается с помощью . ${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {ext} }}$

Пространство задач

Тот же принцип применим и к пространству задач. Неуправляемый робот имеет следующее представление пространства задач в формулировке Лагранжа:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}={\boldsymbol {\Lambda }}({\boldsymbol {q}}){\ddot {\boldsymbol {x}}}+{\boldsymbol {\mu }}({\boldsymbol {x}},{\dot {\boldsymbol {x}}})+{\boldsymbol {\gamma }}({\boldsymbol {q}})+{\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\boldsymbol {\mathcal {F}}}_{\mathrm {ext} }}$,

где обозначает угловое положение соединения, положение в пространстве задачи, симметричную и положительно определенную матрицу инерции в пространстве задачи. Члены , , , и являются обобщенной силой Кориолиса и центробежным членом, гравитацией, дополнительными нелинейными членами и контактами с окружающей средой. Обратите внимание, что это представление применимо только к роботам с избыточной кинематикой . Обобщенная сила на левой стороне соответствует входному крутящему моменту робота. ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}_{\mathrm {ext} }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}}$

Аналогично можно предложить следующий закон управления:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}={\boldsymbol {K}}_{\mathrm {x} }({\boldsymbol {x}}_{\mathrm {d} }-{\boldsymbol {x}})+{\boldsymbol {D}}_{\mathrm {x} }({\dot {\boldsymbol {x}}}_{\mathrm {d} }-{\dot {\boldsymbol {x}}})+{\hat {\boldsymbol {\Lambda }}}({\boldsymbol {q}}){\ddot {\boldsymbol {x}}}_{\mathrm {d} }+{\hat {\boldsymbol {\mu }}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\hat {\boldsymbol {\gamma }}}({\boldsymbol {q}})+{\hat {\boldsymbol {\eta }}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}}),}$

где обозначает желаемое положение в пространстве задачи, а — матрицы жесткости и демпфирования в пространстве задачи, а , , , и — внутренняя модель соответствующих механических членов. ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{\mathrm {d} }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {K}}_{\mathrm {x} }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{\mathrm {x} }}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\Lambda }}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\mu }}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\gamma }}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}$

Аналогично, есть

${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{\mathrm {x} }={\boldsymbol {x}}_{\mathrm {d} }-{\boldsymbol {x}}}$,

как замкнутая система, которая по сути является многомерным механическим сопротивлением окружающей среде ( ). Таким образом, можно выбрать желаемое сопротивление (в основном жесткость) в пространстве задач. Например, можно заставить управляемого робота действовать очень жестко в одном направлении, но относительно податливо в других, установив ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}_{\mathrm {ext} }}$

${\displaystyle {\boldsymbol {K}}_{\mathrm {x} }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1000\end{pmatrix}}\mathrm {N/m} ,}$

предполагая, что пространство задачи является трехмерным евклидовым пространством. Матрица затухания обычно выбирается так, чтобы замкнутая система ( 3 ) была устойчивой . ^[3] ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{\mathrm {x} }}$

Приложения

Управление импедансом используется в таких приложениях, как робототехника, в качестве общей стратегии для отправки команд на роботизированную руку и конечный эффектор, учитывающий нелинейную кинематику и динамику манипулируемого объекта. ^[4]

Ссылки

1. Hogan, N. (6–8 июня 1984 г.). «Управление импедансом: подход к манипуляции» (PDF) . American Control Conference . стр. 304, 313. Архивировано (PDF) из оригинала 21 декабря 2021 г. . Получено 19 сентября 2013 г. .{{cite web}}: CS1 maint: date and year (link)
2. Buchli, J. (12 июля 2011 г.). «Управление силой, податливостью, сопротивлением и взаимодействием, Летняя школа динамической ходьбы и бега с роботами» (PDF) . стр. 212–243. Архивировано из оригинала (PDF) 16 октября 2017 г.
3. Альбу-Шеффер, А.; Отт, К.; Хирцингер, Г. (2004), «Пассивный контроллер декартового импеданса для гибких сочлененных роботов — часть II: полная обратная связь по состоянию, проектирование импеданса и эксперименты». Труды Международной конференции IEEE по робототехнике и автоматизации 2004 г. , стр. 2666–2672
4. Дитрих, А. (2016). Управление импедансом всего тела колесных гуманоидных роботов. Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-40556-8. Архивировано из оригинала 7 сентября 2017 г. . Получено 1 сентября 2017 г. .