Параметры импеданса

Набор свойств, используемых в электротехнике

Параметры импеданса или Z-параметры (элементы матрицы импеданса или Z-матрицы ) — это свойства, используемые в электротехнике , электронной технике и инженерии систем связи для описания электрического поведения линейных электрических сетей . Они также используются для описания слабосигнального ( линеаризованного ) отклика нелинейных сетей. Они являются членами семейства подобных параметров, используемых в электронной технике, другими примерами которых являются: S-параметры , ^[1] Y-параметры , ^[2] H-параметры , T-параметры или ABCD-параметры . ^{[3] [4]}

Z-параметры также известны как параметры импеданса разомкнутой цепи , поскольку они рассчитываются в условиях разомкнутой цепи, т. е. I _x =0, где x = 1,2 относятся к входным и выходным токам, протекающим через порты (в данном случае двухпортовой сети ) соответственно.

Матрица Z-параметров

Матрица Z-параметров описывает поведение любой линейной электрической сети, которую можно рассматривать как черный ящик с рядом портов . Порт в этом контексте представляет собой пару электрических клемм, проводящих равные и противоположные токи в сеть и из нее и имеющих определенное напряжение между ними. Z-матрица не дает никакой информации о поведении сети, когда токи в любом порту не сбалансированы таким образом (если это возможно), и не дает никакой информации о напряжении между клеммами, не принадлежащими одному и тому же порту. Обычно предполагается, что каждое внешнее соединение с сетью находится между клеммами только одного порта, так что эти ограничения уместны.

Для определения универсальной многопортовой сети предполагается, что каждому порту выделяется целое число n в диапазоне от 1 до N , где N — общее количество портов. Для порта n соответствующее определение Z-параметра осуществляется в терминах тока порта и напряжения порта, и соответственно. ${\displaystyle I_{n}\,}$ ${\displaystyle V_{n}\,}$

Для всех портов напряжения могут быть определены через матрицу Z-параметров, а токи — с помощью следующего матричного уравнения:

${\displaystyle V=ZI\,}$

где Z — матрица N × N , элементы которой можно индексировать с помощью обычной матричной записи. В общем случае элементы матрицы Z-параметров являются комплексными числами и функциями частоты. Для однопортовой сети матрица Z сводится к одному элементу, представляющему собой обычный импеданс, измеренный между двумя клеммами. Параметры Z также известны как параметры разомкнутой цепи, поскольку они измеряются или вычисляются путем подачи тока на один порт и определения результирующих напряжений на всех портах, в то время как неуправляемые порты подключаются к разомкнутым цепям.

Двухпортовые сети

Эквивалентная схема для Z-параметров четырехполюсника.

Эквивалентная схема для Z-параметров взаимного четырёхполюсника.

Матрица Z-параметров для двухпортовой сети, вероятно, является наиболее распространенной. В этом случае соотношение между токами портов, напряжениями портов и матрицей Z-параметров определяется следующим образом:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{21}&Z_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}}$.

где

${\displaystyle Z_{11}={V_{1} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{12}={V_{1} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}}$

${\displaystyle Z_{21}={V_{2} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{22}={V_{2} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}}$

Для общего случая N -портовой сети,

${\displaystyle Z_{nm}={V_{n} \over I_{m}}{\bigg |}_{I_{k}=0{\text{ for }}k\neq m}}$

Соотношения импеданса

Входное сопротивление двухполюсника определяется по формуле:

${\displaystyle Z_{\text{in}}=Z_{11}-{\frac {Z_{12}Z_{21}}{Z_{22}+Z_{L}}}}$

где Z _L — сопротивление нагрузки, подключенной к порту два.

Аналогично выходное сопротивление определяется по формуле:

${\displaystyle Z_{\text{out}}=Z_{22}-{\frac {Z_{12}Z_{21}}{Z_{11}+Z_{S}}}}$

где Z _S — импеданс источника, подключенного к порту один.

Связь с S-параметрами

Z-параметры сети связаны с ее S-параметрами соотношением ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}Z&={\sqrt {z}}(1_{\!N}+S)(1_{\!N}-S)^{-1}{\sqrt {z}}\\&={\sqrt {z}}(1_{\!N}-S)^{-1}(1_{\!N}+S){\sqrt {z}}\\\end{aligned}}}$ 

и ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,-1_{\!N})({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,+1_{\!N})^{-1}\\&=({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,+1_{\!N})^{-1}({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,-1_{\!N})\\\end{aligned}}}$ 

где — единичная матрица , — диагональная матрица, имеющая в качестве ненулевых элементов квадратный корень характеристического сопротивления на каждом порту, ${\displaystyle 1_{\!N}}$ ${\displaystyle {\sqrt {z}}}$

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {z_{01}}}&\\&{\sqrt {z_{02}}}\\&&\ddots \\&&&{\sqrt {z_{0N}}}\end{pmatrix}}}$

и — соответствующая диагональная матрица квадратных корней характеристических проводимостей . В этих выражениях матрицы, представленные заключенными в скобки множителями, коммутируют и, как показано выше, могут быть записаны в любом порядке. ^{[5] [примечание 1]} ${\displaystyle {\sqrt {y}}=({\sqrt {z}})^{-1}}$

Два порта

В частном случае двухполюсной сети с одинаковым характеристическим сопротивлением на каждом порту приведенные выше выражения сводятся к ${\displaystyle z_{01}=z_{02}=Z_{0}}$

${\displaystyle Z_{11}={((1+S_{11})(1-S_{22})+S_{12}S_{21}) \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}$

${\displaystyle Z_{12}={2S_{12} \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}$

${\displaystyle Z_{21}={2S_{21} \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}$

${\displaystyle Z_{22}={((1-S_{11})(1+S_{22})+S_{12}S_{21}) \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}$

Где

${\displaystyle \Delta _{S}=(1-S_{11})(1-S_{22})-S_{12}S_{21}\,}$

Двухпортовые S-параметры могут быть получены из эквивалентных двухпортовых Z-параметров с помощью следующих выражений ^[6]

${\displaystyle S_{11}={(Z_{11}-Z_{0})(Z_{22}+Z_{0})-Z_{12}Z_{21} \over \Delta }}$

${\displaystyle S_{12}={2Z_{0}Z_{12} \over \Delta }\,}$

${\displaystyle S_{21}={2Z_{0}Z_{21} \over \Delta }\,}$

${\displaystyle S_{22}={(Z_{11}+Z_{0})(Z_{22}-Z_{0})-Z_{12}Z_{21} \over \Delta }}$

где

${\displaystyle \Delta =(Z_{11}+Z_{0})(Z_{22}+Z_{0})-Z_{12}Z_{21}\,}$

Выражения выше обычно используют комплексные числа для и . Обратите внимание, что значение может стать 0 для определенных значений , поэтому деление на в вычислениях может привести к делению на 0. ${\displaystyle S_{ij}\,}$ ${\displaystyle Z_{ij}\,}$ ${\displaystyle \Delta \,}$ ${\displaystyle Z_{ij}\,}$ ${\displaystyle \Delta \,}$ ${\displaystyle S_{ij}\,}$

Отношение к Y-параметрам

Преобразование из Y-параметров в Z-параметры намного проще, поскольку матрица Z-параметров является просто инверсией матрицы Y-параметров. Для двухпортового:

${\displaystyle Z_{11}={Y_{22} \over \Delta _{Y}}\,}$

${\displaystyle Z_{12}={-Y_{12} \over \Delta _{Y}}\,}$

${\displaystyle Z_{21}={-Y_{21} \over \Delta _{Y}}\,}$

${\displaystyle Z_{22}={Y_{11} \over \Delta _{Y}}\,}$

где

${\displaystyle \Delta _{Y}=Y_{11}Y_{22}-Y_{12}Y_{21}\,}$

является определителем матрицы Y-параметров.

Примечания

1. Любая квадратная матрица коммутирует сама с собой и с единичной матрицей, и если две матрицы A и B коммутируют, то также коммутируют A и B ⁻¹ (так как AB ⁻¹  =  B ⁻¹ BAB ⁻¹  =  B ⁻¹ ABB ⁻¹  =  B ⁻¹ A )

Ссылки

1. Дэвид М. Позар (2004-02-05). Микроволновая инженерия . Wiley. стр. 170–174. ISBN 978-0-471-44878-5.
2. Дэвид М. Позар, 2005 (указ. цит.); стр. 170-174.
3. Дэвид М. Позар, 2005 (указ. цит.); стр. 183-186.
4. AH Morton, Advanced Electrical Engineering , Pitman Publishing Ltd., 1985; стр. 33-72, ISBN 0-273-40172-6 . 
5. Russer, Peter (2003). Электромагнетизм, микроволновые цепи и антенны для инженерии связи . Artech House. стр. 420. ISBN 1-58053-532-1.
6. Саймон Рамо; Джон Р. Уиннери; Теодор Ван Дузер (1994-02-09). Поля и волны в коммуникационной электронике . Wiley. стр. 537–541. ISBN 978-0-471-58551-0.

Библиография

• Дэвид М. Позар (2004-02-05). Микроволновая инженерия . Wiley. ISBN 978-0-471-44878-5.
• Саймон Рамо; Джон Р. Уиннери; Теодор Ван Дузер (1994-02-09). Поля и волны в коммуникационной электронике . Wiley. ISBN 978-0-471-58551-0.

Смотрите также

• Параметры рассеяния
• Параметры пропускания
• Двухпортовая сеть